小学奥数工程问题分类讲解Word下载.docx
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一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。
甲乙合做1
小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交
替下去，则完成该工程共用小时。
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试
甲乙合做1小时后，还剩下：
1-^-^17，甲乙单独做2小时，共做
151220
-11=3-，还需要做2X5=10小时，还剩下1，需要甲做1小时，还有
15122010
1-1=1：
，乙还需要做1-1=1小时，一共需要1+10+1+0.25=12.25小时
10126060154
【答案】8.5天
【例2】一项工程，乙单独做要17天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，
这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工.问：
甲单独做需要几天？
甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；
所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的.那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的.如果设甲、乙工作效率分别为V和V2,那么V1=V2」V1,
2
所以V/M，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要17"
2=8.5天.
规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着
做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小
时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、
甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
根据题意，有：
甲乙甲乙川甲1小时•乙0.8小时，可知，甲做i_o.6"
4小时与乙做乙甲乙甲III乙1小时+甲0.6小时
1一0.8=0.2小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量.
所以，乙单独工作需要9.8_55、2=7.3小时.
【答案】7.3小时
【例3】蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需
5小时；
排光一池水，单开排水管需3小时.现在池内有半池水，如
果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时.问：
多
长时间后水池的水刚好排完？
（精确到分钟）
法一：
1小时排水比1小时进水多,说明排水开了3小
351521510
时后（实际加上进水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的丄，
10
再过1小时，水池里的水为一池子水的丄」3,
10510'
把这些水排完需要色-」=2小时，不到1小时，
10310
所以共需要61—7—小时=7小时54分.
1010
法二：
1小时排水比1小时进水多［-〕2,-^-=-,
351515230
说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的丄
30
排一池子需要3小时，排一池子水的丄需要3丄二丄小时，
303010
所以实际需要8一丄7—小时=7小时54分.
【答案】7小时54分
蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开
甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有1的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、
6
丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：
，循环5次后水池还
345660
空：
1」一工5」，1的工作量由甲管注水需要：
小时），所以经过
66044434
453=203小时后水开始溢出水池.
44
【答案】203
4
【例4】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；
乙、丙两管同时开，
小时灌满.现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满？
由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6
小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时
开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为1—12-12二丄，所以乙的工作效率为：
丄」（6一2一2）=丄，所以整池
54101020
水由乙管单独灌水，需要1-吕=20（小时）.
【答案】20小时
某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙
管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放小时.
要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小.所以，乙开放的时间为1-丄10」=4（小时），即
V12丿24
甲、乙最少要同时开放4小时.
【答案】4小时
【例5】一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时
半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放
空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4X60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240-（5X150-8X90）=8（立方米），8个水龙头1个
半小时放出的水量是8X8X90,其中90分钟内流入水量是4X90,因此原来水池中存有水8X8X90-4X90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8X13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水，放空原存的5400,需要5400-（8X13-4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在
题目中却是隐含着的.
【答案】54分钟
一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空.如果打开7个出水口，18小时可以把水排空.如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空.
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】对比思想方法
【解析】本题是牛吃草问题的变形.
设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：
（718-99）"
（18-9）=5，半池水的量为：
（9-5）9=36，所以一池水的量为
72.
如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72“（15一5）=7.2小时，即7小时12分钟.
【答案】7小时12分钟
【例6】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水.若只开甲、丙两管，
甲管注入18吨水时，水箱已满；
若只开乙、丙两管，乙管注入27
吨水时，水箱才满.又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.则该水箱最多可容纳多少吨水？
由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.那么甲管注入18
吨水的时间是乙管注入182=36吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:
27=4:
3.那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:
3,而且前一种情况比后一种情况多注入27_18=9吨水，则甲管注入
18吨水时，丙管注入水9-（4-3）4=36吨.
所以该水箱最多可容纳水1836=54吨.
【答案】54吨
一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入
30吨水时，水箱已满；
如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱
才满.已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可容纳
吨水.
方法一：
乙注入40吨水的时间相当于甲注入凹吨水的时间，甲注入30
1.5
吨水，丙可注水量为x，那么，乙注40吨水丙可注水量为坐-x，所以
1.530
方法二：
如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；
如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水.由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入301.5=45吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了
40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管
所用时间的45.9倍.可以假设打开乙、丙两管的情况下丙管注了a吨
408
水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了9a吨水，所以有9a3^a40,
88
得到a=80，所以水箱注满时可容纳80•40=120吨水.在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时间的9倍之后，可以假设第二种情况
8
此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的三倍，也就是
与第一种情况所用时间相同.此时，注入的水量也是水箱容积的？
倍，
即比第一种情况多了1倍.然而此时注水时间相同，所以丙管注入的
水量相同，乙管则注入301.5=45吨水，比甲管多注了45—30=15吨，所
以这15吨就是水箱容积的1，那么水箱容积为15-」=120吨.
【答案】120吨
【例7】放满一个水池，如果同时打开1,2号阀门，则12分钟可以完成；
如果同时打开1,3号阀门，则15分钟可以完成；
如果单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；
那么，如果同时打开1,2,3号阀门，分钟可以完成。
【关键词】2009年，学而思杯，6年级
单独打开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成丄，而同时
20
打开1、2号闸门12分钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成丄一丄二丄，而现在同时打开1、3号闸门，15分钟可以完成，说明3号闸门每分钟完成—就，则同时打开1、2、3号闸门，需要1亠昇君"
0分钟。
【答案】10分钟
放满一个水池，如果同时打开1,2，3号阀门，贝V20分钟可以完成；
如果同时打开2,3,4阀门，贝V21分钟可以完成；
如果同时打开1,3,4号阀门，则28分钟可以完成；
如果同时打开1,2,4号阀门，则30分钟可以完成.问：
如果同时打开1,2,3,4号阀门，那么多少分钟可以完成？
根据条件，列表如下（画O表示阀门打开，画X表示阀门关闭）：
1
号
3
工作效
号率
O
X
21
28
从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：
丄•丄1•丄--31，那么同时打开这4个阀门，需要V-18（分
202128301818
钟）.
【答案】18分钟
比例法及工资分配问题
【例8】有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程
队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完
工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工天.需要支付速度最快的队伍
元.
【关键词】2010年，学而思杯，5年级
效为60廿30，丙的工效为60-矿60，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工60—15=45天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是
乙的费用为1825-1250=575（元），丙的费用为1825-1800=25（元），所以需要支付速度最快的队伍122515=18375（元）
甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资.按两队原计
划的工作效率，乙队应获5040元.实际上从第5天开始，甲队的工作效率
提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元.那么两队原计划完
成修路任务要多少天？
开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:
5040；
甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为（3360960）:
4504£
96设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为
“3”，设甲在提高工效后还需x天才能完成任务.有（244x）:
（343x）=18:
17,化简为21654x=13668x，解得x諾.工程总量为547弓=60，所以原计划60亠（23）=12天完成.
【答案】12天
【例9】一项工程，甲15天做了1后，乙加入进来，甲、乙一起又做了1,
这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完.已知乙、丙的工作效率的比
为3:
5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2:
1,问题中情
形下做完整个工程需多少天？
先把整个工程分为三个阶段：
1、口、山；
且易知甲的工作效率为丄又乙、丙工作的天数之比为（n+m）:
山=2：
1，所以有口阶段和山
60
阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的1的工程与甲、乙、丙合作完
成1_丄」J的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有：
（甲+乙）X2=（甲
442
+乙+丙），甲+乙二丙，那么有丙-乙二丄又有乙、丙的工作效率的比为3:
5.易
60'
知乙的工作效率为2,丙的工作效率为：
A.那么这种情形下完成整个工程
120120
所需的时间为:
113118工
15（）（）=15亠6亠6=27大.
460120260120
显然甲的工作效率为丄，设乙的工作效率为3x，那么丙的工
作效率为5x.所以有乙工作的天数为!
-：
■（丄3x）!
■（丄8x）,丙工作的天
460260
数为1（丄•8x）.且有1-■（1x・3_）---1<
x18）J即1-■（
26046026026
丄-：
-（丄3x^^-（l8x）,解得x二丄.所以乙的工作效率为—,丙的工作效
460260120120
率为高A.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
120
15—亠（）一"
（）=1566=27天.
【答案】27天
某工地用3种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三种卡车载重量之
比为10:
7:
6，速度比为6:
8:
9，运送土方的路程之比为15:
14:
14，三种车的辆数之比为10:
5:
7.工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【关键词】2007年，二中
由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:
14，速度之比为
6:
9,所以它们运送1次所需的时间之比为辛普普有J普，相同时间内它
689249
们运送的次数比为：
2:
-:
-.在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、
5714
乙、丙的数量之比为5:
7.由于三种卡车载重量之比为10:
6，所以三种卡车的总载重量之比为50:
35:
42.那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：
后15天里的工作量之比为40:
20:
27.所以在这25天内，甲的工作量与总工作
量之比为:
20x10+40x1532
（202027）10（402027）1^79
【答案】3|
【例10】一项工程，甲、乙两队合干需2-天，需支付工程款2208元；
乙、丙
5
两队合干需3-天，需支付工程款2400元；
甲、丙两队合干需2-天，47
需支付工程款2400元.如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程
队？
甲、乙一天完成工程的1-2-5；
乙、丙一天完成工程的V'
3-4；
甲、
512415
丙一天完成工程的1-■267.所以，甲的工效为（仝*=4）-：
-2=丄；
乙的工效
7201220154
为2」」；
丙的工效为上_丄=丄.甲、乙一天需工程款220旷2?
=920（元）；
1246204105
乙、丙一天需工程款2400"
33=640（元）；
甲、丙一天需工程款2400^27=840（元）.所以，甲一天的工程款为
（920840-640）：
-256（0元）；
乙一天的工程款为920-560=360（元）.丙一天
的工程款为840—560二28（（元）.单独完成整个工程，甲队需工程款
5604二2240（元）；
乙队需工程款3606=2160（元）；
丙队需工程款
28010=2800（元）.所以应该选择乙队.
【答案】乙队
甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这
项工程的具体情况是：
甲、乙两人合作6天完成了工程的1，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的丄，以后三人合作5天完成了这项工程，
按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
【关键词】2008年，清华附中根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为丄乂1；
318
乙、丙两人的工作效率之和为（1—1）!
--21；
甲、乙、丙三人的工作效率之和为（1—1）（1-丄）亠51.
3410
分别可求得甲的工作效率为丄一丄」，乙的工作效率为丄一丄二丄,
1012601860180
丙的工作效率为丄一丄2，则甲完成的工程量为：
-65，乙
10184560'
60
完成的工程量为：
180625=180，丙完成的工程量为：
4525=45，
三人所完成的工作量之比为丁：
巴上=33:
91:
56
6018045
所以，甲应得侦0过話9=r330元，乙应得330寻910元，丙应得
33056=560元.
33
【答案】甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元
【随练1】为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜
水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，
单独打开出水管4小时可以排完满池水。
水池建成后，发现水池漏水。
这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。
则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过小时
池水就会漏完。
【关键词】希望杯
设满水池水位单位“1”，水池漏水相当于一个工作效率为------的
341484
出水管，因此关闭进水管与出水管，经过84小时池水就会漏完
【答案】84小时
【随练2】公园水池每周需换一次水.水池有甲、乙、丙三根进水管.第一周
小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰
好在打开水管整数小时后灌满空水池.第二周他按乙、丙、甲、乙、
丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；
第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开
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