大学物理课后习题答案详解.docx
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大学物理课后习题答案详解
第一章质点运动学
1、(习题1.1):
一质点在xOy平面内运动,运动函数为x=2t,y=4t28。
(1)求质点的轨道方程;
(2)求t=1s禾口t=2s时质点的位置、速度和加速度。
解:
(1)由x=2t得,
y=4t2-8可得:
y=x2-8即轨道曲线
rrcr
(2)质点的位置:
rr
r2ti
(4t28)j
rr
rr
r
由vdr/dt则速度:
v2i
8tj
rr
rr
由adv/dt则加速度:
a8j
r
r
rr
rrr
r
则当t=1s时,有r
2i
4j,v
2i8j,a
8j
r
r
Jr
rrr
r
当t=2s时,有r
4i
8j,v
2i16j,a
8j
2、(习题1.2):
质点沿x在轴正向运动,
加速度a
kv,k为常数.设从原点出发时速
度为Vo,求运动方程xx(t).
心dv
v1
t
kt
解:
-
kv
-dv
kdt
vv°e
dt
vov
0
dx
kt
v°e
x
dx
tkt
v°edt
vo0kt\
x—(1e)
dt
0
oo
k
3、一质点沿
x轴运动,其加速度为a4t(SI),
已知t
o时,质点位于
x1om处,初
速度v
0•试求其位置和时间的关系式.
t
4tdt
o
解:
adv/dt4tdv41dt
v
dv
o
v2t2
2Xt2
vdx/dt2t2dx2t2
Xoo
dt
x2t3
/3+1o(SI)
4、一质量为m的小球在高度
h处以初速度vo水平抛出,求:
(1)小球的运动方程;
(2)小球在洛地之前的轨迹方程;
dv
dv
dv
(3)
落地前瞬时小球的,
dt
dt
dt
解:
(1)x
vot
式
(1)
y
h=gt2
式
(2)
2
2
(2)联立式
(1)、式
(2)得yhg_2"
2vo
drvv
⑶dTv°i-gtv而落地所用时间
dV
dt
戸2i~2/772
vVxVyVo(gt)
dvg2tg、2gh
5、已知质点位矢随时间变化的函数形式为
2vV
t2i2tj,式中r的单位为m,t的单位为s.
dt[v:
(gt)2]'2(v02gh「2
求:
(1)任一时刻的速度和加速度;
(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。
卄V
dV
VV
vdJv
解:
1)V
2ti2j
a2i
dt
dt
2)v
2
[(2t)
4「22(t2
1
1)2
dv
2t
/222
at
dt
.■■t21
ana可.2d
Vt1
第二章质点动力学
1、(牛顿定律)质量为M的气球以加速度a匀加速上升,突然一只质量为m的小鸟飞到气球
上,并停留在气球上。
若气球仍能向上加速,求气球的加速度减少了多少?
解:
f为空气对气球的浮力,取向上为正。
分别由图(a)、(b)可得:
FMgMa
F(Mm)g(Mm)a-i
则印亠四Vaa务
mMmM
2、(牛顿定律)两个圆锥摆,悬挂点在同一高度,具有不同的悬线长度,若使它们运动时
两个摆球离开地板的高度相同,试证这两个摆的周期相等.
h和J,摆线与竖直轴之间的夹角分别为
1和2,摆线中
证:
设两个摆的摆线长度分别为
的张力分别为F,和F2,则
解得:
第一只摆的周期为
F1cos1
mp0
①
F1sin1
2
gv1/(11sin1)
②
v1sin
1gh/cos1
2
丨1sin1
;11cos1
T1
同理可得第二只摆的周期
.'l2COS2
\g
由已知条件知
11COSi
12COS2
TiT2
子弹走完枪筒全长所用的时间
t;
(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I
;(3)子弹
习题2.1—2.6
习题2.1一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F4004105t/3,
求:
(1)
子弹从枪口射出时的速率为300m/s。
设子弹离开枪口处合力刚好为零
的质量。
解:
(1)由F400
105t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零,
则可以得
到:
F4004105t/3
算出t=0.003s。
(2)由冲量定义:
33
10Fdt0(400
105t/3)dt400t2105t2/3
3
00.6Ns
(3)由动量定理:
I
3
FdtP
0
mv0.6N?
s
所以:
m0.6/3000.002kg
习题2.2质量为M=1.5kg的物体,用一
根长为1=1.25m的细绳悬挂在天花板上•今有一质
量为m=10g的子弹以v°=500m/s的水平速度射穿
物体,刚穿出物体时子弹的速度大小V=30m/s,设
穿透时间极短•求:
习题2.2图
(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小;
(2)子弹在穿透过程中所受的冲量.
解:
(1)取子弹与物体为研究对象,子弹前进方向为
x轴正向,因穿透时间极
物体系统上的外力均在竖
短,故可认为物体未离开平衡位置•因此,作用于子弹、
直方向,故系统在水平方向动量守恒•令子弹穿出时物体的水平速度为v
mv。
=mv+Mv
v=m(v0v)/M=3.13m/s
T=Mg+Mv2/l=26.5N
(2)ftmvmv04.7Ns(设v0方向为正方向)
负号表示冲量方向与v。
方向相反.
习题2.3一人从10m深的井中提水.起始时桶中装有10kg的水,桶的质量为1kg,由于水桶漏水,每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶匀速地从井中提到井口,人所作的功.
即:
解:
选竖直向上为坐标y轴的正方向,井中水面处为原点.由题意知,人匀速提水,所以人所用的拉力F等于水桶的重量
FPF0kymg0.2gy107.81.96y
人的拉力所作的功为:
H10
WdWoFdy=°(107.81.96y)dy=980J
m
习题2.4图
•」:
rB!
"_E-严一;
习题2.4如图所示,质量m为0.1kg的木块,在一个水平面上和一个劲度系数k为20N/m的轻弹簧碰撞,木块将弹簧由原长压缩了x=0.4m•假设木块与水平面间的滑动摩擦系数为0.25,问在将要发生碰撞时木块的速率v
为多少?
解:
根据功能原理,木块在水平面上运动时,摩擦力所作的功等于系统(木块和弹簧)机械能的增量.由题意有frx丄kx2丄mv2
22
而frkmg
木块开始碰撞弹簧时的速率为v
'J
kgx
kx2
m
5.83m/s
习题2.5某弹簧不遵守胡克定律.设施力F,相应伸长为X,力与伸长的
关系为F=52.&+38.4x2(SI)求:
(1)将弹簧从伸长X1=0.50m拉伸到伸长X2=1.00m时,外力所需做的功.
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上,一端固定,另一端系一个质量为2.17kg
的物体,然后将弹簧拉伸到一定伸长刈=1.00m,再将物体由静止释放,求当弹
簧回到xi=0.50m时,物体的速率.
2
mv
2
xi'
Fdx
X2
Xi
X2
FdxW
31J
解:
(1)外力做的功
⑵设弹力为F'
习题2.6两个质量分别为m1和m2的木块A、B,用一劲度系数为k的轻弹簧
vJ2Wm5.34ms1
连接,放在光滑的水平面上。
A紧靠墙。
今用力推B块,使弹簧压缩X。
然后释
放。
(已知m1m,m23m)求:
(1)释放后A、B两滑
块速度相等时的瞬时速度的大小;
(2)弹簧的最大伸长量
习题2.6图
12V2
解:
m2v20kx0
2
A
2
m2v20(mi
m2)v
所以
3k
v4x0,m
(2)1
2
21,2m2v20kx
2
1
2(m1
m2)
2v
计算可得:
x
1
X。
2
r
r
r
3、(变力作功、
功率、质点的动能定理
股F
7i
6j(N)
(1)当
'质点从原点运动到
rrrrrrr
r3i4j16k(m)时,求F所作的功;
(2)如果质点到r处时需0.6s,试求F的平均
rr
r
rrr
r
r
r
-3
4
解:
(1)
A=F
0
dr=
0(7i6j)
(dxi
dyj
dzk)=
:
7dx
0
°6dy
45J,做负功
A
45
Ek
rr
r丿
4
(2)
P-
75W
(3)
A
mgjdr
=-45+
mgdy=-85J
t
0.6
0
0
功率;(3)如果质点的质量为1kg,试求动能的变化。
4、(机械能守恒、动量守恒)如图所示,一个固定的光滑斜面,倾角为B,有一个质量为m
小物体,从高H处沿斜面自由下滑,滑到斜面底C点之后,继续沿水平面平稳地滑行。
设
m所滑过的路程全是光滑无摩擦的,试求:
(1)m到达C点瞬间的速度;
(2)m离开C点
的速度;(3)m在C点的动量损失。
解:
(1)由机械能守恒有
12mgH-mVc
带入数据得Vc,2gH,方向沿AC方向
(2)由于物体在水平方向上动量守恒,所以
mvccosmv,得v
2gHcos,方向沿CD方向
(3)由于受到竖直的冲力作用,m在C点损失的动量pm2gHsin,方向竖直向下。
第三章刚体的运动
书:
3.3用落体观察法测定飞轮的转动惯量,是将半径为R的飞轮支承在0点上,然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物,令重物以初速度为零下落,带动飞轮转动,记下重物下落的距离和时间,就可算出飞轮的转动惯量。
试写出
它的计算式。
(假设轴承间无摩擦
解:
如习题3.3(b图,对飞轮而言,根据转动定律,有
FtRJ
(1)
对重物而言,由牛顿定律,有
mgFtmaFtFt
由于绳子不可伸长,因此,有
由上述各式可解得飞轮的转动惯量为
mR2匡
2h
aR
(3)
重物作匀加速下落,则有
h-at2
2
(4)
3.4如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的
两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组
(TTi)rJ
(4)
ar
联立
(5)
1
a4g,
11
mg
8
的水
3.6有一质量为mi、长为I的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为
平桌面上,它可绕通过其端点0且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后的速度分别为Vi和V2,如图所示。
求碰撞后从细棒
开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕0点的转动惯量J1m112)
3
解:
碰撞时角动量守恒
m2v1I1m1l2wm2v2I
3
3m2(V1V2)
m1I
细棒运动起来所受到的摩擦力矩
士1=1
VJ
习题3.6图
m1gxdx
migl
Mdt
1mil
3
migl
2l
t
3g
2m2(v1v2)
mig
1.如图所示,物体i和2的质量分别为mi与m2,滑轮的转动惯量为
与桌面间的摩擦系数为
,设绳子与滑轮间无相对滑动,滑轮与转轴
无摩擦。
求系统的加速度
migTfm^a
a及绳中的张力Ti和T2。
T2m2gm2a
Tir
T?
r
J
a
r
解得
a
mim2
2
gr
2
Jmj
2
m?
r
2
ggm2gr
22
Jgrm2r
2、如图系统中,mi=50kg,m2=40kg,圆盘形滑轮m=i6kg,半径r=0.im,斜面是光滑的,倾角9=30°,绳与滑轮无相对滑动,转轴摩擦不计,求:
(i)绳中的张力;
(2)设开始时mi距离地面高度为im,需多长时间mi到达地面?
mig
Tiga
T2
m2gsinm2a
Tir
T,rJ
ar
J!
mr2解得30rad/s2,a3m/s2T340N,T23i6N
2,
12h
由hv0tat2,v00,所以t—0.8i6s
2\a
3.一长为im的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动•抬起另一端使
丄ml2
棒向上与水平面成
30°,然后无初转速地将棒释放•已知棒对轴的转动惯量为3,求:
(i)放手时棒的角加速度;
(2)棒转到水平位置时的角速度.
解:
1、
mg*cos300手mgl
】m|2
3
屈|
Tmgl
-ml2
3
33g33g
41
2、机械能守恒
mg*sin30°
1J
2
l.0
mg§sin30
11T"
ml
23
1
mg4
1
ml
6
3
2g
3g=3.83rad/s
;2
4.一根长为丨、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。
现有一质量为m的子弹以水平速度vo射向棒的中心,并以V0/2的水平速度穿出棒,此后棒的最大偏转角恰为90,求V0的大小。
角动量守恒mv0丄mV°-J
222
J1mi2
l
V
V0/2
m
m
M
l
12
mv0-
—Ml
4
3
、一112机械能守恒Ml
2l
Mg-
23
2
2
lmV。
一4“123
3mv
4Ml
2
1123mv0
Ml
234Ml
l
Mg?
V。
16M2l
5•—根长为丨、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。
现有一质量
1
为mM的子弹以水平速度w射入棒的下端,并留在棒里。
此后棒的最大偏转角恰为
6
60°,求v°。
“my角动量守恒
mv0l
(ml2
1M
Vo
3
机械能守恒
12122
2(ml3Ml)
Mg-(1cos60°)mgl1cos60°
6、如图所示,长为
l的轻杆,两端各固定质量分别为
m和2m的小球,杆可绕水平光滑固
12
定轴0在竖直面内转动,转轴0距两端分别为-I和I•轻杆原来静
33
止在竖直位置。
今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球
1
m作对心碰撞,碰后以Vo的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角
2
速度。
解:
角动量守衡-mvol(?
)2m
33
(3)2m
?
ml
3
1
Vo
2
3vo
2l
第四章振动与波动
振动部分:
习题4.2、4.4、4.5
习题4.2—物体沿x轴做简谐运动,振幅为0.06m,周期为2.0s,当t=0时位移为0.03m,且向x轴正方向运动。
求:
(1)t=0.5s时,物体的位移、速度和加速度;
(2)物体从x=0.03m处向x轴负向运动开始,到平衡位置,至少需
要多少时间?
解:
(1)由题意知A=0.06m、2订s1由旋转矢量(a)图可确定初
相则°3,振动方程为
x(0.06m)cos(s1)t3
习题4.2(a)图
/xk
丫\
、■
1
V
b)
习题4.2(b)图
当t=0.5S时质点的位移、速度、加速度分别为
x(0.06m)cos(23)0.052m
vdxdt(0.06ms1)sin(23)0.094ms1
ad2xdt2(0.062ms2)cos(23)0.513ms2
(2)质点从x=0.03m运动到平衡位置的过程中,旋转矢量从(b)图中的位
置M转至位置N,矢量转过的角度(即相位差)56。
该过程所需时间为
t一0.833s
习题4.4某质点振动的x-t曲线如题图所示.求:
(1)质点的振动方程;
(2)质点到达P点相应位置所需的最短时间.
0.4s
x0.12cos(t
3
0.12cos—
6
0.103m
解:
(1)设所求方程为:
x=Acos(®t+%)
从图中可见,t=0,x=A/2,v>0
由旋转矢量法可知;0=-n
03
□—nn
乂Qt=1s,cot-=
32
5n
o=一
6
5nn
故:
x=0.1cos(t-)m
63
(2)QP点的相位为0
5
tt-0t0.4s
P06P3P
即质点到达P点相应状态所要的最短时间为
习题4.5—质点沿x轴作简谐振动,振幅为12cm,周期为2s。
当t0时,位
移为6cm,且向x轴正方向运动。
求:
(1)振动表达式;
(2)t0.5s时,质点的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于x6cm,且向x轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解:
由题已知A=12X102m,T=2.0s
o=2WT=nad•s-1
又,t=0时,x°6cm,V00•••由旋转矢量图,可知:
0—
3
故振动方程为x0.12cos(t
3
(2将t=0.5s代入得
v0.12sin(t3)0.12cose0.189m/s
222
a0.12cos(t3)0.12cos61.03m/s
方向指向坐标原点,即沿x轴负向.
⑶由题知,某时刻质点位于x6cm,且向x轴负方向运动
即Xo=-A/2,且vv0,故t=2n3,它回到平衡位置需要走5d6,所以:
•••t=△/併(5n6)/(n=5/6s
(加题)1•有两个同方向同频率的振动,其合振动的振幅为0.2m,合振动的相位与第一个
振动的相位差为/6,第一个振动的振幅为0.173m,求第二个振动的振幅及两振动的相位
差。
分析根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。
解:
采用旋转矢量合成图求解
取第一个振动的初相位为零,则合振动的相位为
—t-*■■-fc-—*■*■
据AAiA可知AAA,如图:
AA12A22AAcos0.1(m)
——■>■
由于A、Ai、A2的量值恰好满足勾股定理,
故A-i与A垂直.
即第二振动与第一振动的相位差为/2
(加题)2.—质点同时参与两个同方向的简谐振动,其振动方程分别为
Xi5102cos(4t/3)(SI),X23102sin(4t/6)(SI)画出两振动的旋转矢量图,
并求合振动的振动方程.
分析须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量,画出矢量图。
解:
x2310sin(4t/6)
3102cos(4t/6/2)
2
310cos(4t2/3)
作两振动的旋转矢量图,如图所示•
由图得:
合振动的振幅和初相分别为
A(53)cm2cm,/3.
合振动方程为x2102cos(4t/3)(SI)
(加题)3•—物体质量为0.25kg,在弹性力作用下作简谐振动,弹簧的劲度系数
1
k25Nm,如果起始振动时具有势能
0.06J和动能0.02J求
(1)振幅;
(2)动能恰
等于势能时的位移;
(3)经过平衡位置时物体的速度.
解:
⑴
Ek
Ep
1kA2=0.08
2
20.08
25
0.08m
!
kx2
2
2
x
2x2
1
mv
2
22
Asin(
A2,
m2x2
2A2sin2(t)
过平衡点时,
(加题)
EEk
Ep
4.一弹簧振子
22
A[1cos(
A/20.0566m
)]
A2
此时动能等于总能量
1mv2=0.08
2
20.08
.0.25
0.8m/s
,弹簧的劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动
(1)振幅是多大
解:
(1)
弹簧振子的总机械能为E
Ek
12
Ep1kA,故A
2®Ep)0.253m
Ep
1kA2
2kx2
1kA2
x二A0.179m
2
(2)位移多大时,其势能和动能相等?
(3)位移是振幅的一半
时,势能是多大?
Ep
hx2
2
波动部分:
习题4.7、
4.8、4.10
何
习题4.7图
习题4.7有一平面简谐波在介质中传播,波
速u=100m/s,波线上右侧距波源0(坐标原点)
为75.0m处的一点P的运动方程为
1
yp(0.30m)cos[(2S)t/2]。
求
(1)波向x轴正方向传播时的波动方程;
(2)波向x轴负方向传播时的波动方程。
解:
(1)设以波源为原点O,沿x轴正向传播的波动方程为
yAcostxu
将u=100ms1代人,且取x=75m得点P的运动方程为
yPAcost0.75s
与题意中点P的运动方程比较可得A=0.30m、2s1、02。
则所
求波动方程为
11
y(0.30m)cos[(2s)(tx/100ms)]
(2)当沿x轴负向传播时,波动方程为
yAcostxu0
将x=75m>u100ms1代人后,与题给点P的运动方程比较得A=0.30m、
2s1、0,则所求波动方程为
11
y(0.30m)cos[(2s)(tx/100ms)]
讨论:
对于平面简谐波来说,如果已知波线上一点的运动方程,求另外一点
的运动方程,也可用下述方法来处理:
波的传播是振