二次函数讲义-详细Word文件下载.doc
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C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°
的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．
（1）求梯形的面积y与高x的表达式；
（2）求x的取值范围．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
10．已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：
AE=；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
第二讲二次函数的图像和性质
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质：
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；
当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；
当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；
a越小，抛物线开口越大．
（2）二次函数的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
3、图象的平移：
左加右减，上加下减
例1、
抛物线
y=－2x2＋6x－1
y=2x2＋6x－1
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．
例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
例4、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是．
例7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
例5、二次函数y=a（x－h）2的图象如图：
已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。
例6、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；
（2）左移个单位；
（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
例7、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。
1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．
2．当m=时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．
4．当m=时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；
在对称轴右侧，y随x的增大而．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）
11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）
A．4 B．2 C． D．
12.已知二次函数y=x2－x＋6，当x=时，y最小=；
当x时，y随x的增大而减小．
13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。
15．当n＝______，m＝______时，函数y＝（m＋n）xn＋（m－n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.
17.二次函数y=3x2－6x+5，当x>
1时，y随x的增大而；
当x<
当x=1时，函数有最值是。
18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。
19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝.
20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为_.
21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
22、函数y=ax2（a≠0）的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）
（1）求a和b的值
（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。
23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
最大利润是多少？
24、某商场批单价为25元的旅游鞋。
为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：
按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；
按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。
（1）求Y与X之间的函数关系式；
（2）在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；
（3）销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？
是多少？
第三讲函数的图象特征与a、b、c的关系
知识点：
a看开口方向，c看与y轴的交点位置，b结合a、看对称轴的位置。
例1、已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：
④，其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤其中所有正确结论的序号是（）
A．①② B． ①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤
1
O
x
y
训练题
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A.a>
0,b>
0,c>
0 B.a>
0,c=0
C.a>
0,b<
0,c=0 D.a>
0,c<
0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a+b+c>
0 B．b>
-2a
C．a-b+c>
0 D．c<
0
3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：
①c>
0；
②a+b+c>
0 ③a-b+c>
0 ④b2-4ac<
0 ⑤abc<
0；
其中正确的为（）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤
4.当b<
0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>
b>
c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的（）
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c
四个代数式中，值为正数的有（）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）
8、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（）
9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a，b同号；
②当x＝1和x＝3时，函数值相同；
③4a＋b＝0;
④当y＝－2时，x的值只能取0；
其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
12、二次函数的图象如图，下列判断错误的是 （ ）
A． B． C． D．
第13题图
y
－1
13、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）
A．a＜0
B．c＞0
C．＞0
D．＞0
第四讲二次函数的交点问题
二次函数与x轴、y轴的交点的求法：
分别令y=0,x=0；
二次函数与一次及反比例函数等的相交：
联立两个函数表达式，解方程.
例1、已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：
该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积
例2、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
例3、.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：
5：
4的点P的坐标。
例4、已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
训练题
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（）
A．－3 B．3 C． D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）
A．0＜－＜1B．0＜－＜2C．1＜－＜2D．－=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：
无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
第五讲函数解析式的求法
例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
例二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a（x－h）2+k求解。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a（x－x1）（x－x2）。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
6．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。
例4、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
例5、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．
（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：
市场售价和种植成本的单位：
元/102kg，时间单位：
天）
训练题
1．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。
2．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝.
3．若抛物线与x轴交于（2，0）、（3，0），与y轴交于（0，－4），则该二次函数的解析式。
4．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）
（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=
（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（4）当x=1时，y=0;
x=0时,y=－2，x=2时，y=3
（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）
5．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式。
7．知二次函数图象顶点坐标（－3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。
8．已知二次函数图象与x轴交点（2,0），（－1,0）与y轴交点是（0,－1）求解析式及顶点坐标。
9．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=对称，那么图象还必定经过哪一点？
10．y=－x2+2（k－1）x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。
11．抛物线y=（k2－2）x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=－x+2上，求函数解析式。
第六讲一元二次函数的应用
例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：
若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售（y）箱与每箱售价x（元）之间的函数关系式．（注明范围）
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系
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