波利亚怎样解题实例分析报告Word格式文档下载.docx

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1、以前做过同类型的题吗？

它与同类型的其它题有什么异同？

2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

3、解题过程能简化吗？

例1、

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC

求证：

∠B=∠C

分析：

问题1、未知是什么？

你能复述它吗？

答：

问题2、已知是什么？

在三角形ABC中，AB=AC

问题3、以前做过类似的题吗？

似乎没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？

能不能直接用公式？

不能直接用定理解出此题。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？

此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？

似乎不能。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？

1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。

由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？

观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。

但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将∠B、∠C分别处于两个三角形中，可在A点引下一条线与BC相交。

2、新问题出现了：

如何证明⊿ABD≌⊿ACD？

已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。

3、新问题：

加入什么条件就可以了？

∠BAD=∠CAD，可利用角边角进行判定。

或BD=CD，可利用边边边进行判定。

或AD⊥BC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。

4、新问题：

如何实现？

在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。

如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。

到此，此题可解。

问题8、如何书写过程？

先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。

问题9、解题过程能简化吗？

尚无更简化方法。

问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。

可得到一个结论：

利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。

要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。

例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。

二次函数图象的顶点坐标。

二次函数解析式y=-3x2-6x+5

做过。

能直接运用公式（—

，

）求解。

问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。

例3、已知：

如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点，求AD取值范围。

求AD的取值范围。

在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点

没有。

我知道三角形三边关系：

三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。

条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为△ABC，而所求AD边长所属是△ACD或△ADC。

已知中的边长为AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。

考虑：

需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。

移动的方法考虑使用全等三角形的方法。

延长AD至E，使AD=AE，则可出现△ACD≌△EBD，可得AC=BE，则2<

AE<

8,可得1<

AD<

4。

问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

1、有三角形的中线，可构造全等三角形。

2、当条件分散时，可向定理集中。

例4、已知：

如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，ED∥BC，求证：

DE=BE+CD

线段DE的长等于EF与FD的和。

角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。

角分线定理，平行线性质。

从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。

根据角平分线性质，可得∠CBF=∠EBF，根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB，进而可得∠EFB=∠CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。

根椐对称原则可得CD=FD。

进而此题可解。

1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。

2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。

例6、已知x 

= 

1是一元二次方程x

+mx+n=0的一个根，则m

+2mn+n

的值。

代数式m

x 

+mx+n=0的一个根。

不能直接运用公式求解。

不能。

根据方程根的含义可知1

+1×

m+n=0，进而可得m+n=0。

根据因式分解的公式可将未知变形为m

=（m+n）

，即若知m+n的值可得未知。

例7、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=

，求∠NMP的度数。

求∠NMP的度数。

AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=

。

相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；

不能直接运用公式求解。

1、由中位线定理可知，AB=2MP；

cos∠ABD=

可知∠ABD=300；

进而可得∠MPD=300；

2、由中位线定理可知DC=2NP；

由∠BDC=700，可知∠BPN=700；

进而可得∠NPD=1100；

进而可得∠MPN=1400；

3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP；

进而可知MP=NP；

进而可得∠PMN=∠PNM。

综合以上因素，可得∠NMP=∠MNP=200。

1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。

2、有中位线，可寻找相等的线段。

例8、如图所示：

已知∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C，求∠ACB的度数。

求∠ACB的度数

∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C

三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。

∠ABO的外角的度数与∠BAO是有关联的，但这中间似乎很乱。

清理一下：

∠ABO的外角∠ABE在度数上等于（900+∠OAB），则外角的一半∠EDB应等于

（900+∠OAB），而∠ABO应等于（900-∠OAB），则∠ABC应等于二者之和：

∠ABC=

（900+∠OAB）+（900-∠OAB）=（1350-

∠OAB）。

1、未知是求∠ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC的度数。

2、根据以上所得，则有∠ACB=1800—∠CBA—∠BAC=1800—（1350-

∠OAB）—

∠OAB=450。

原题得解。

即无论A、B如何运动，只要角平线不改，∠ACB永远等于450。

问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？

例9、如图，△ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD。

DB=DE。

△ABC为正三角形，BD是中线，CE=CD。

等腰三角形性质和判定。

不能直接用定理证明。

根据已知中△ABC为正三角形，BD是中线可得∠DBC=

∠ACB。

根据已知中CE=CD，可得∠CED=∠CDE。

1、未知是求证DB=DE，如何能出现？

在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要∠DBC=∠CDE即可；

2、新问题：

与此相关联的角有那些？

与∠DBC相关联的角是∠ACB，而∠ACB又是△DCE的外角，这似乎可行；

3、有新进展吗？

由三角形外角定理可得∠CED=

∠ACB，进而可得∠DBC=∠CDE。

原题得证。

1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。

2、在同一三角形中有等边就有等角。

例10．AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：

AD垂直平分EF。

AD垂直平分EF

AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高

解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。

角平分线定理。

垂直平分线定理。

AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，联和可得DE=DF。

未知是求AD垂直平分EF，在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理，只要能证明DE=DF即可。

例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子，遗嘱上说，老大应比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗，问他们各分了多少？

求兄弟三人各分多少钱。

共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。

问题3、你能表示出所有的量吗？

可设小儿子得x克朗，则有以下量出现：

小儿子：

x克朗

二儿子：

（x+100）克朗

大儿子：

[（x+100）+200]克朗

总钱数：

1600克朗

问题4、你能用不同的式子表示出同一个量吗？

1、小儿子钱数+二儿子钱数+大儿子钱数=总钱数

2、小儿子钱数+二儿子钱数=总钱数-大儿子钱数

3、小儿子钱数=总钱数-大儿子钱数-大儿子钱数-二儿子钱数

4、3×

小儿子钱数=总钱数-100-（100+200）

5、3×

大儿子钱数=总钱数+100+（100+200）

原题得解。

问题5、从中可以借鉴那些经验？

分量和等于总量。