平行四边形 专题训练文档格式.docx

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AND的面积

ABM的面积有怎样的数量关系？

请说明理由．

平行四边形的判定

1、（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

2、（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

3、（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，

且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

4、（2006•巴中）已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

5、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

6、已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

7、（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

8、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？

如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

9、（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

10、（2006•大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°

，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

11．（2005•贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　_________　组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

提示答案：

1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

考点：

平行四边形的判定与性质；

全等三角形的判定与性质。

分析：

（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：

有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．

解答：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：

有

（1）可知：

BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，

∴△DNF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．

专题：

证明题。

（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°

，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

3、解答：

解：

猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：

平行且相等．

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴CD

AE．

此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

4、分析：

若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．

设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．

5、解答：

（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，

∴DM=

=6，

∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：

BP=10﹣3t，DQ=2t

∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12

∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=

；

6、分析：

要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和△OEB≌△OFD得出．

如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=

OA，OH=

OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

此题主要考查平行四边形的判定：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

7、解答：

（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=

AC

同理HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH为正方形，

∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

8、答：

四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°

﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）

∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°

+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）

∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

9、解答：

图2结论：

过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

由题意得PE+PF=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：

PE+PF﹣PD=AB．

此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．

10、解答：

（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，

∴四边形PAEB是平行四边形．

∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，

∴MN∥BC，MN=

BC．

又∵PN=ND，PM=ME，

∴MN∥DE，MN=

DE．

∴BC⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．

此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，

难易程度适中．

（1）无数；

（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：

AE=BE=DF=CF，AM=CN．

（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．