7-2乘法原理.题库版Word文档下载推荐.doc

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1、完成一件事分N个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；

3、步步相乘

四、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；

2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．

例题精讲

模块一、简单乘法原理的应用

【例1】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

（2级）

【解析】把可能出现的情况全部考虑进去．

第一步　　　第二步

由分析知邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法．根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有3×

2=6种方法．

【巩固】如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？

【解析】从A地经B地去C地分为两步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地为第二步，完成第一步有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法．根据乘法原理，从A地经B地去C地，共有5×

3=15种方法．

【例2】如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过．问：

他最多有几种不同走法？

【解析】从家到中间结点一共有2种走法，从中间结点到学校一共有3种走法，根据乘法原理，一共有3×

2=6种走法．

【巩固】在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：

这只甲虫最多有几种不同走法？

【解析】甲虫要从A点沿着线段爬到B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有3种走法；

第二步是从C点到B点，一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×

3=9种走法．

【例3】在右图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：

（4级）

【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；

第二步，从C点到D点，有1种走法；

第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有3×

1×

【巩固】在右图中，一只蚂蚁要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：

这只蚂蚁最多有几种不同走法？

【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A点到C点的走法是3种；

但第三步，从D点到B点的走法并不是3种，由D出去有2条路选择，到下一岔路口又有2条路选择，所总共有2×

2=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有（种）不同走法．

【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：

第二步，从点到点，一共也有3种走法；

第三步，从点到点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有种走法．

【巩固】在右图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：

这只甲虫最多有几种不同走法?

（6级）

【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，点到点的走法不是3种，而是4种，点到点的走法也是4种，根据乘法原理，这只甲虫最多有种走法．

【例4】按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？

【解析】1、造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地．

　　2、那么这个句子可以分成三个部分；

第一个步——选择人物，有三种选择；

第二步——选择交通工具，有三种选择；

第三个步——选择目的地，有三种选择．

　　3、根据乘法原理：

3×

3=27．

【例5】题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：

由该题库共可组成多少种不同的试卷？

【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法．根据乘法原理，一共有30×

40×

45=54000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷．

【巩固】文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？

【解析】完成这件事需要两步：

一步是从女生中选1人，有4种选法；

另一步是从男生中选1人，有3种选法．因此，由乘法原理，选出1男1女的方法有种．

还可以用乘法的意义来理解这道题：

男生有3种选法，每选定1个男生，再选1个女生，对应着4种选法，即3个男生，每个男生对应4种选女生的方法，因此选出1男1女共有种方法．

【巩固】小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：

共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？

【解析】小丸子搭配服装分四步．第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有种选法；

第二步选上衣，有10种选法；

第三步选裤子，有8种选法；

第四步选皮鞋，有6种选法．根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配．一共有种选法，所以一共可以组成2880种不同搭配．

【例6】要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？

【解析】第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体一共有6种方法，第三步选出卫生先进集体一共有6种评选方法，根据乘法原理，一共有种评选方法．

【巩固】从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？

【解析】第一步选出学习先进集体共有6种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5种方法，第三步选出卫生先进集体只剩有4种评选方法，根据乘法原理，共有6×

5×

4=120种评选方法．

【例7】从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？

【解析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有20，19，18种挑选法，一共有种排法．

【例8】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？

（6级）

【解析】五位同学的排列方式共有5×

4×

2×

1=120（种）．

如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×

1=24（种）；

因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×

2=48（种）；

贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）．

【巩固】10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？

【解析】两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×

6=60（种）共有60种不同的选法．

【例9】“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？

【解析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：

　　第1步——对字母“M”染色，此时有种颜色可以选择；

　　第2步——对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有4种颜色可以选择；

　　第步——对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了2种颜色，所以对字母“T”染色只剩种颜色可以选择；

　　第4步——对字母“H”，染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了3种颜色，所以对字母“H”染色只有2种颜色可以选择．

由乘法原理，共可以得到种不同的染色方式．

【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：

思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？

　　　　　每个字母都有５种颜色可选，那么染色方式一共有5×

5=625种染色方式．

【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【解析】第一步写“I”有5种方法，第二步写“M”有4种方法，第三步写“O”有3种方法，共有种方法．

【例10】“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【解析】第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，根据乘法原理，一共有种方法．

【巩固】有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？

【解析】写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有5种选择，所以，有种写法．

【巩固】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？

【解析】第一个字有5种写法，第二个字有4种写法，第三个字也是4种写法，同理后面的字也是4种写法，共有5×

4=320种．

模块二、较复杂的乘法原理应用

【例11】北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？

（往返车票算不同的两种）（6级）

【解析】京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，相同的起点站又可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8×

7=56种不同的车票．

【巩固】（难度等级※※※）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？

【解析】将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是56÷

2=28条线段．

【巩固】某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？

【解析】不同的车票上起点站可以有6种，相同的起点站又可以配5种不同的终点站，所以一共要准备种不同的车票．

【巩固】北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？

【解析】京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×

11=44种不同的车票．

【例12】⑴由数字1、2可以组成多少个两位数？

⑵由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？

【解析】⑴组成两位数要分两步来完成：

第一步，确定十位上的数字，有2种方法；

第二步确定个位上的数字，有2种方法．根据乘法原理，由数字1、2可以组成2×

2=4个两位数，即11，12，21，22．

⑵组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：

第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有1种方法，由乘法原理，能组成2×

1=2个两位数，即12，21．

【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：

⑴三位数？

⑵没有重复数字的三位数？

【解析】⑴组成三位数可分三步完成．第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选．

⑵也分三步完成．第一步，百位上有4种选择；

第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4种方法；

第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择．根据乘法原理，可以组成个没有重复数字的三位数．

【巩固】⑴由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

⑵由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？

【解析】⑴分三步完成：

第一步排百位上的数，有3种方法；

第二步排十位上的数，有2种方法；

第三步，排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成个没有重复数字的三位数．

⑵分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法，由乘法原理，由3、6、9这3个数字一共可以组成个三位数．

【例13】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：

可以组成多少个不同的偶数？

【解析】分三步取出卡片．首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、8三种不同的选择；

第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有4种不同的选法；

最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有3种不同的选择．根据乘法原理，可以组成3×

3=36个不同的三位偶数．

【例14】有5张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6可以作9用，那么从中任意取出3张卡片，并排放在一起．问

⑴可以组成多少个不同的三位数？

⑵可以组成多少个不同的三位偶数？

【解析】⑴先考虑6只能当6的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以2就可以了，分三步取出卡片:

第一步确定百位，有5种选择；

第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他4个数字都可以，所以有4种方法；

第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择．根据乘法原理，考虑6可以当作9，可以组成（个）不同的三位数．

⑵先考虑6只能当6的情况，分三步取出卡片．首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、6三种不同的选择；

第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有4种不同的选法；

最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有3种不同的选择．根据乘法原理，6只是6时，可以组成（个）不同的三位偶数．这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以2就可以的，因为如果个位是6的话变成9就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是6一共有（个）不同的三位偶数，所以，可以组成（个）不同的三位偶数．

【例15】用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？

如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？

【解析】排百位、十位、个位依次有3种、2种、1种方法,故一共有3×

1=6（种）方法,即可以组成6个不同三位数.它们依次为123,132,213,231,312,321．故213是第3个数．

【巩固】有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35个为．（6级）

【解析】4个互不相同且不为0的数字之和等于12，只有两种可能：

1+2+3+6或者1+2+4+5．根据乘法原理，每种情况可组成4×

1=24个不同的四位数，一共可组成48个不同的四位数．要求从小到大排列的第35个数，即求从大到小排列的第14个数．我们从千位最大的数开始往下数：

千位最大可以取6，而千位是6的数共有3×

2=6个；

接下来是5，千位为5的数也有6个．所以第13个数应为4521，第14个是4512，答案为4512．

【例16】将1332，332，32，2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？

（8级）

【解析】从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑．从位数最多的1332开始：

⑴划掉1332中的1，剩下332，332，32，2四个数；

⑵划掉位数最多的332中的2，有2种不同的顺序，划掉后剩下33，33，32，2四个数；

⑶划掉32中的2，剩下33，33，3，2；

⑷两个33中，各划掉一个3，有4×

2=8种划掉的顺序，之后剩下3，3，3，2四个数；

⑸划掉2后，剩下3，3，3，有3×

2=6种划掉的顺序．

根据乘法原理，共有不同的划法：

8×

6=96种．

【巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：

532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉．问：

能吃掉678的三位数共有多少个？

【解析】即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8的自然数．百位数不小于6，有4种；

十位数不小于7，有3种；

个位不小于8，有2种．由乘法原理，能吃掉678的三位数共有种．

【例17】如果一个四位数与一个三位数的和是，并且四位数和三位数是由个不同的数字组成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？

【解析】四位数的千位数字是．由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于，所以这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和均等于．这两个数的其他数字均不能为．

四位数的百位数字可在、、、、、、中选择（不能是9），有7种选择，这时三位数的百位数字是；

四位数的十位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的十位数字是．四位数的个位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的个位数字是．因此，根据乘法原理，这样的四位数有个．

【例18】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：

如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数？

【解析】1）9×

7=504个．

2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×

6-7×

6=210个；

（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，×

6是对3个数字全排列，7×

6是三个数连续的123、234、345、456、567、789这7种情况）．

【例19】电子表用表示点分，用表示点分，那么点到点之间电子表中出现无重复数字的时刻有________次．（8级）

【解析】根据题意，在2点到10点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为0，后一位可以为2～9；

表示分钟数的二位数字前一位可以为0～5，后一位可以为0～9，再考虑到无重复数字，当时间为2点多、3点多、4点多或5点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有种选择，后一位数字有种选择，此时有种可能，比如时，可以为1，3，4，5，就剩下种可以选择．所以这几种情况下共有种．

类似分析可知，当时间为6点多、7点多、8点多、9点多时，每种情况下都有种，共有种．

所以共种．

【例20】（2008年西城实验考题）在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种．（8级）

【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．

8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．

奇数的排列一共有种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有种，所以一共有种．

【例21】在右图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．（8级）

【解析】因为每个圆内个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的个区域一共有种染色方法．如右图所示，当一个圆内的、、、四个区域的颜色染定后，由于号区域的颜色不能与、、三个区域的颜色相同，所以只能与号区域的颜色相同，同理号区域只能与号区域的颜色相同，号区域只能与号区域的颜色相同，所以当、、、四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有种不同的染法．

【例22】如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?

【解析】为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：

第一步：

给染色，有种颜色可选．

第二步：

给染色，由于不能与同色，所以有种颜色可选．

第三步：

给染色，由于不能与、同色，所以有种颜色可选．

第四步：

给染色，由于不能与、同色，但可以与同色，所以有种颜色可选．

根据分步计数的乘法原理，用种颜色给地图染色共有种不同的染色方法．

【巩固】如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

【解析】第一步，给国上色，可以任选颜色，有四种选择；

第二步，给国上色，国不能使用国的颜色，有三种选择；

第三步，给国上色，国与，两国相邻，所以不能使用，国的颜色，只有两种选择；