小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全Word文档格式.doc

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”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

”在第三个○内时，可得下面的填法：

（5+13×

7）÷

（17-9）=12。

　　例2将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：

□□□×

□□=□□×

□□=5568。

　　解：

将5568质因数分解为5568=26×

3×

29。

由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：

58×

96和64×

87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：

　　12×

464，16×

348，24×

232，

　　29×

192，32×

174，48×

116。

　　显然，符合题意的只有下面一种填法：

174×

32=58×

96=5568。

　　例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。

先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。

由

　　443000÷

573=773……71

　　推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。

　　例4已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。

因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。

　　先从右边做除法。

由被除数的个位是4，推知商的个位是6；

由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。

这时，虽然89×

96=8544，但不能认为六位数中间的两个□内是85，因为还没有考虑前面两位数。

　　再从左边做除法。

如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。

　　由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。

由3796×

89=337844，3896×

89=346744

　　知，商是3796，所求六位数是337844。

　　例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。

先看竖式的个位。

由Y+N+N=Y或Y+10，推知N要么是0，要么是5。

如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。

　　此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。

　　竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。

因为N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。

　　再看竖式的百位加法。

因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X≠0或1，所以R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。

　　若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的数，矛盾。

　　若T=8，则R只能取6或7。

R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；

R=7时，X=4，剩下数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。

　　所求竖式见上页右式。

　　解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。

这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40，10，10，60，而40+10+10正好是60，真是巧极了！

　　例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。

请你填上适当的数字，使竖式成立。

按减法竖式分析，看来比较难。

同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？

不妨试试看。

　　因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。

　　如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。

余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。

　　所求竖式是

　　解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。

另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。

练习1

　　1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。

　　2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。

请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：

　　3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：

1÷

2÷

3÷

4÷

5÷

6÷

7÷

8÷

9。

　　4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：

9=2.8。

　　5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：

□□×

□□□=3634。

　　6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。

　　7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。

这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

　　例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相

　分析与解：

这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个

　　（100000+x）×

3=10x+1，

　　　　　300000+3x=10x+1，

　　　　　　　　7x=299999，

　　　　　　　　　x=42857。

　　这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。

我们再看几个例子。

　　例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。

　　求竖式。

　　例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。

竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位

数，所以x=112，被除数为989×

112=110768。

右上式为所求竖式。

　　代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。

　　例4在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。

先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。

可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×

53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。

又由竖式特点知a=9，从而除数应是96

　　的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。

因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。

因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。

至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.375×

16=102。

右式即为所求竖式。

　　求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5），另一个含有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解。

　　例5一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式

（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式

（2），求这个五位数。

由竖式

（1）可以看出被除数为10**0（见竖式

（1）'

），竖式

（1）的除数为3或9。

在竖式

（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。

　　当竖式

（1）的除数为3时，由竖式

（1）'

知，a=1或2，所以被除数为100*0或101*0，再由竖式

（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式

（2）的除数为4，被除数为10020；

　　当竖式

（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。

因为竖式

（2）的除数只能是4，6，8，由竖式

（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式

（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式

（2）的除数为8，被除数为10440。

　　所以这个五位数是10020或10440。

练习2

　　1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的

　　2.用代数方法求解下列竖式：

　　3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：

　　我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？

这两讲我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

　　例1对于任意数a，b，定义运算“*”：

　a*b=a×

b-a-b。

　　求12*4的值。

根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×

4-12-4=48-12-4=32。

根据以上的规定，求10△6

的值。

3，x>

=2，求x的值。

按照定义的运算，

　　<

1，2，3，x>

=2，

　　x=6。

　　由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。

新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×

，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。

如例1中，a*b=a×

b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。

按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。

　　四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。

　按通常的规则从左至右进行运算。

从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得

35=3+33+333+3333+33333=37035。

　　从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。

　　例6对于任意自然数，定义：

n！

=1×

2×

…×

n。

　　例如4！

4。

那么1！

+2！

+3！

+…+100！

的个位数字是几？

1！

=1，

　　2！

2=2，

　　3！

3=6，

　　4！

4=24，

　　5！

4×

5=120，

　　6！

5×

6=720，

　　……

　　由此可推知，从5！

开始，以后6！

，7！

，8！

，…，100！

的末位数字都是0。

　　所以，要求1！

的个位数字，只要把1！

至4！

的个位数字相加便可求得：

1+2+6+4=13。

所求的个位数字是3。

　　例7如果m，n表示两个数，那么规定：

m¤

n=4n-（m+n）÷

2。

　　求3¤

（4¤

6）¤

12的值。

3¤

12

　　=3¤

[4×

6-（4+6）÷

2]¤

19¤

　　=[4×

19-（3+19）÷

　　=65¤

　　=4×

12-（65+12）÷

2

　　=9.5。

　练习3

1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×

a-b÷

3。

求8*9的值。

2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。

3.已知ab表示（a-b）÷

（a+b），试计算：

（53）（106）。

4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。

　　5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即　m◇n=3m-2n。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

　　7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×

Q）÷

例如：

2☆8=（2×

8）÷

已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

　　8.定义：

a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。

计算：

（4△3）△（2b）。

　9.已知：

23=2×

4，

　45=4×

6×

7×

8，……

　求（44）÷

（33）的值。

　　例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。

但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

　　a※b=（a+b）-（a-b）

　　=a+b-a+b=2b。

　　所以，9※2=2×

2=4。

　　由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。

这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

　　例2定义运算：

a⊙b=3a+5ab+kb，

　　其中a，b为任意两个数，k为常数。

比如：

2⊙7=3×

2+5×

7+7k。

（1）已知5⊙2=73。

问：

8⊙5与5⊙8的值相等吗？

（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，

　　即新运算“⊙”符合交换律？

（1）首先应当确定新运算中的常数k。

因为5⊙2=3×

5+5×

2+k×

　　=65+2k，

　　所以由已知5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷

定义的新运算是：

a⊙b=3a+5ab+4b。

　　8⊙5=3×

8+5×

8×

5+4×

5=244，

　　5⊙8=3×

8+4×

8=247。

　　因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有

　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，

　　3a+kb-3b-ka=0，

　　3×

（a-b）-k（a-b）=0，

　　（3-k）（a-b）=0。

　　对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

　　当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即　a⊙b=b⊙a。

　　例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

　　比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。

　　因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。

所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28，29，30，33。

这四个数中只有30是6的倍数，所以6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。

因为a×

b=[a，b]×

（a，b），

　　所以6×

x=30×

3，由此求得x=15。

　　例4a表示顺时针旋转90°

，b表示顺时针旋转180°

，c表示逆时针旋转90°

，d表示不转。

定义运算“◎”表示“接着做”。

求：

a◎b；

b◎c；

c◎a。

a◎b表示先顺时针转90°

，再顺时针转180°

，等于顺时针转270°

，也等于逆时针转90°

，所以a◎b=c。

　　b◎c表示先顺时针转180°

，再逆时针转90°

，等于顺时针转90°

，所以b◎c=a。

　　c◎a表示先逆时针转90°

，再顺时针转90°

，等于没转动，所以c◎a=d。

　　对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。

比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。

因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。

　　例5对任意的数a，b，定义：

f（a）=2a+1，g（b）=b×

b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g

（2））+g（f

（2））的值；

　　（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

（1）f（5）-g（3）=（2×

5+1）-（3×

3）=2；

（2）f（g

（2））+g（f

（2））

　　=f（2×

2）+g（2×

2+1）

　　=f（4）+g（5）=（2×

4+1）+（5×

5）=34；

　　（3）f（x+1）=2×

（x+1）+1=2x+3，

　　由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

练习4　2.定义两种运算“※”和“△”如下：

　　a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，

　　a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。

　　比如：

4※5=4×

3=12，4△5=5×

2.5=12.5。

　　计算：

[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷

[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。

　　4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×

m-n）÷

　　并且2⊙3=0.75。

试确定常数A，并计算：

（5⊙7）×

（2⊙2）÷

（3⊙2）。

　　5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：

　　a表示顺时针旋转240°

，

　　b表示顺时针旋转120°

　　c表示不旋转。

　　运算“∨”表示“接着做”。

试以a，b，c为运算对象做运算表。

　　6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。

比如73=1，529=4，420=0。

（1）计算：

19982000，（519）19，5（195）；

（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。

　　7.对于任意的自然数a，b，定义：

f（a）=a×

a-1，g（b）=b÷

2+1。

（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。

　第5讲数的整除性

（一）

　　三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。

这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。

　　数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

　　（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

　　例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。

因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×

25×

8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；

再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。

这个七位数是4735800。

　　例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

因为41×

271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。

按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷

5=400，就有400节，

　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质

（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。

　　例3现有四个数：

76550，76551，76552，76554。

能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：

12=12×

1=6×

2=3×

　　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；

　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。

　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第

（1）种情况不存在。

　　对于第

（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

　　对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

　　综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：

76550和76554，76552和76554，76551和76552。

　　例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？

从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：

　　①各数位上的数字之和等于43；

　　②能被11整除。

　　因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。

有两种情况：

（1）五位数由一个7和四个9组成；

（2）五位数由两个8和三个9组成。

　　上面两种情况中的五位数能不能被11整除？

9，8，7如何摆放呢？

根据被1