六年级奥数计数综合Word下载.doc

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如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从个不同的元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．

根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：

步骤：

从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；

从剩下的（）个元素中任取一个元素排在第二位，有（）种方法；

……

从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有（种）方法；

由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。

二、组合

一般地，从个不同元素中取出个（）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从个不同元素中取出个元素（）的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。

一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：

第一步：

从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；

　　第二步：

将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．

根据乘法原理，得到．因此，组合数．

这个公式就是组合数公式．

例题精讲：

一、排列组合的应用

【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。

【例2】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复

数字的五位数？

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；

若将这些四位数按从小到大的顺

序排列，则5687是第几个数？

【例3】用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成

多少个不同的偶数？

【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四

个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？

【例5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，

（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的坐法？

【例6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:

24：

30，那么从8时到9时这段时间

里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?

【例7】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6

个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?

【例8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至

第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：

“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：

“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？

【例9】名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

⑷男女相间．

【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演

节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。

【例10】一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：

⑴当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【巩固】由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱

节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？

【例11】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？

（要

求列式）

⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？

⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？

⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？

⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？

⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？

【巩固】现有男同学3人，女同学4人（女同学中有一人叫王红），从中选出男女同学各2

人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：

（1）共有多少种选法?

（2）其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?

（3）参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?

（4）参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?

【例12】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：

将参加比赛

的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；

第二阶段：

将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；

第三阶段：

由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：

整个赛程一共需要进行多少场比赛？

【例13】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这

样的五位数共有________个。

（2007年“迎春杯”高年级组决赛）

【例14】个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？

【例15】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相

邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？

【例16】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的

吃法?

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【巩固】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【例17】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐

人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

【例18】从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种

选法？

⑴恰有名女生入选；

⑵至少有两名女生入选；

⑶某两名女生，某两名男生必须入选；

⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；

⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。

【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人

医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？

⑴有3名内科医生和2名外科医生；

⑵既有内科医生，又有外科医生；

⑶至少有一名主任参加；

⑷既有主任，又有外科医生。

【例19】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装

电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？

【例20】有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英

语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？

二、几何计数