自动控制原理习题集.doc
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自动控制原理习题集
前言
编写这本习题集的目的是为了配合自动控制原理课程教学，便于学生自主学习和自由发展。
并且按照课程的要求和习题难易程度，将每章习题分为：
基础练习题（下标为a），本章概念直接应用；难题（下标为b），要求将本章概念加以扩展；设计题（下标为c），要求学生应用学过的控制系统理论求解控制工程实际问题；MATLAB题，应用MATLAB语言及相应的工具箱进行控制系统分析和设计等几个层次；逐步提高学生解决问题的能力。
第一章控制系统导论
图1-1电冰箱制冷系统原理图
1-1a电冰箱制冷原理图如图1-1所示，简述系统工作原理，指出被控对象，被控量和给定量，并画出系统方框图。
解：
被控对象是看得见的实体，
不能与物理量相混淆。
被控制量则是
被控对象中表征被控制对象工作状态
的物理量。
确定控制对象要看控制的
目的与任务。
控制的任务是保持冰箱内的温度
Tc等于设定的温度Tr。
冰箱的箱体是
被控对象，箱内温度是被控量。
由控制
器旋钮设定出电位器输出电压（与希望
温度Tr值对应）是给定量。
温度控制器中的双金属温度传感器（测量元件）感受冰箱内的温度，并把它转换为电压信号，与控制器旋钮设定出电位器（给定元件）输出电压（对应于与希望温度Tr）相比较，利用偏差电压（表征实际温度和希望温度的偏差）控制继电器。
当大到一定的值时，继电器接通压缩机起动将蒸发器中的高温低压气态制冷液送到冷却器散热。
降温后流出的低温低压冷却液被压缩成低温高压液态进入蒸发器急速降压扩散成气体，吸收箱体内的热量，使箱体内温度降低，而高温低压制冷剂又被吸入冷却器。
如此循环，使冰箱达到制冷效果。
继电器，压缩机，蒸发器和冷却器组成系统的执行机构，完成降温功能。
冰箱制冷系统方框图如图1-2所示。
图1-2冰箱制冷系统方框图
1-2a图1-3为液位控制系统的示意图，试说明其工作原理并绘制系统的方框图。
图1-3液位控制系统示意图
说明液位控制系统是一典型的过程
控制系统。
控制的任务是：
在各种扰动的
作用下尽可能保持液面高度在期望的位置
上。
故它属于恒值调节系统。
现以水位控
制系统为例分析如下。
解分析图1-3可以看到：
被控量为水位
高度h（而不是水流量Q2或进水流量Q1）；
受控对象为水箱；使水位发生变化的主要
原因是用水流量Q2，故它为系统的负载扰
动；而进水流量Q1是用以补偿用水流量的
改变，使水箱的水位保持在期望的位置上的
控制作用；控制进水流量的使由电动机驱动的阀门V1，故电动机-减速器-阀门V1一起构成系统的执行机构；而电动机的供电电压ud取决于电位器动触点与接零点之间的电位差，若记接零点与电位参考点之间的电压为ug，则它便是系统的给定信号，记动触点与电位参考点之间的电压为uf，而ud=ug-uf，故uf为负反馈信号。
于是可绘制系统方框图，如图1-4所示。
图1-4液位控制系统方块图
Q2
Q1
系统的调节过程如下：
调整系统和进水阀V1的开度使系统处于平衡状态，这时进水流量Q1和额定的用水流量Q2保持动态平衡，液面的高度恰好在期望的位置上，而与浮子杠杆相联接的电位器动触头正好在电位器中点（即接零点）上，从而ud＝0电动机停止不动；当用水流量发生变化时，比如用水流量增大使得液面下降，于是浮子也跟着下降，通过杠杆作用带动电位器的动触点往上移，从而给电动机电枢提供一定的电压，设其极性为正的（即ud>0）,于是电动机正转，通过减速器驱动阀门V1增大其开度。
图1-5烤面包机
1-3b图1-5是烤面包机的原理图。
面包的烘烤质量烤箱内的温度决及烘烤时间决定。
（1）试说明传动带速度自动控制的工作原理，并绘制相应的原理方框图。
（2）绘制烤面包机的方框图。
解
（1）传送带
由电动机和减速器驱动，传送带的
线速度与电动机及减速器的角速度
是固定比例关系，因此控制电动机
减速器的角速度就控制了传送器的
线速度。
传送器的希望速度与温度
有关。
温度高，要求速度快，温度
低要求速度慢。
烤箱内温度检测器测出烤箱内
的温度，传给指示调节器。
指示调节
器根据预先规定的函数关系求出希望的速度，并变成相应的电信号作为调速系统的控制输入加到控制器上。
控制器带动电动机，减速器驱动传送带运动。
转速表测出减速器的实际速度，反馈到控制器，若与要求转速不等，则产生偏差信号。
通过控制器控制电动机加速或减速，使速度趋于希望的速度。
该调速系统的方框图如图1-6所示。
图1-6调速系统方框图
图1-7烤面包机方框图
（2）面包的烘烤质量与烤箱温度与面包在烘箱内的时间有关，而烘烤时间又与传送带的速度有关。
在该烤面
包机中，只控制烘烤时间
而未控制烘烤温度。
但希
望的烘烤时间又与温度有
关。
该系统可以看作一个
按扰动补偿的开环控制系
图1-8晶体管稳压电路
VT1
统，温度就是扰动量，方框图如图1-7所示。
1-4c一晶体管稳压电源如图1-8所示。
试画出其方框图，并说明在该电路图中
u1
哪些元件起着测量、放大、执行的作用，
以及系统的干扰量和给定值是什么？
说明在抽象闭环系统方框图时，
首先要抓住比较点，搞清比较的时什么量；
对于恒值控制系统，要明确基准是什么量？
还应当清楚输入和输出量是什么？
解本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压Uw，输出电压U2通过电阻R3和R4分压后与稳压管电压Uw比较，如果输出电压偏高，则经过R3和R4分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极电流增大，集电极电流也随之增大，使在R1两端电压也增大，于是输出电压就减小。
相反，如果输出电压偏低，则通过类似过程使输出电压增大，以达到稳压的目的，可画出方块图如图1-9所示。
图1-9晶体管稳压电路方框图
第二章控制系统的数学模型
（a）
图2-1
（b）
2-1a试证明图2-1（a）所示电气网络与图2-1（b）所示的机械系统具有相同的传递函数。
解：
对于图（a）所示的电气网络，其传递函数，可以求得为
（1）
而图（b）所示的机械系统的运动方程
（2）
（3）
假设初始条件为零对上述二个微分方程进行拉氏变换得到
（4）
（5）
从（4）（5）两个方程中消去Y（S）得到
即（6）
因此，
比较式
（1）与式（7）可知，两个系统传递函数相同，且两系统变量间有如下相似对应关系
电压u对应位移x
电阻R对应粘滞阻尼系数B
电容C对应弹性系数得倒数1/k
（a）
（c）
（b）
图2-2
2-2a试分别写出图2-2中各有源网络的传递函数Uc（s）/Ur（s）。
解：
图2-2（a）所示的有源网络传递函数Uc（s）/Ur（s）可以求得为，
图2-2（b）示的有源网络传递函数Uc（s）/Ur（s）可以求得为，
图2-2（c）所示的有源网络传递函数Uc（s）/Ur（s）可以求得为，
图2-3
2-3a图2-3是一个转速控
制系统，输入量是电压U，
输出量是负载的转速ω,画
出系统结构图，并写出输入
输出间的数学表达式。
解：
1列出各部分的微分方程
1）
2}ω
3）Md=Kmia
4），为电磁力矩与负载力矩
2对上面的方程组进行拉氏变换，并画出系统结构图如图2-4所示
图2-4转速系统结构图
1）
2）Eb（s）=Keω（s）
3）Md（s）=Kmia（s）
4）
3消除中间变量，得到系统传递函数：
2-4b图2-5是一个模拟控制器的电路示意图。
1）写出输入Ur与输出Uc之间的微分方程；2）建立该控制器的结构图；3）求闭环传递函数Uc（s）/Ur（s）；4）当R1=R2=R3=R4=100KΩ；；输入，求的稳态输出。
图2-5
解：
（1）列出输入Ur与输出Uc之间的微分方程
（2）将上式两边拉氏变换并画出系统结构图如图2-6所示。
图2-6
（3）求闭环传递函数Uc（s）/Ur（s）
（4）当；
2-5b天线方位角位置随动系统建摸系统的原理图如图2-7所示，其方块图如图2-8所示。
系统的任务是使输出的天线方位角θ0（t）跟踪输入方位角θi（t）的变化，试建立该系统的数学模型。
系统的参数值如下：
电源电压V=10v；功率放大器的增益和时间常数K1=1，T1=0.01s；伺服电动机的电枢回路电阻Rd=
图2-7天线方位角位置随动系统原理图
8Ω，转动惯量Ja=0.02Kgm2，
粘性摩擦系数fa=0.01Nms/rad，
反电势系数Ce=0.5Vs/rad，转矩
系数Cm=0.5Nm/A；减速器各齿
轮的齿数为Z1=25，Z2=Z3=250；
负载端的转动惯量JL=1Kgm2粘
性摩擦系数fL=1Nms/rad。
解：
采用组合系统建摸法，根
据原理图2-7可以将系统划分为六个
环节：
输入电位器，差分放大器，功率放大器，电动机，减速器和输出电位器。
首先建立各个环节的数学模型，然后将它们组合起来则可得系统的数学摸型。
1环节的数学模型
（1）输入电位器与输出电位器
由于输入电位器与输出电位器的线路和电位器的结构均相同，故这两个环节的传递函数是一样的。
对电位器环节的输出电压与输入角位移的特性进行线性化处理则可视其为一比例环节。
由图2-7可知；当动触头位于电位器中心时其输出电压为零；朝前或朝后转动5圈其输出电压变化均为10V。
于是可得它们的传递函数为
（2）差分放大器与功率放大器
放大器通常工作在放大状态，可不考虑饱和的影响。
差分放大器的时间常数比起功率放大器以及系统的其他环节的时间常数要小得多，可以忽视不计。
故这两个环节的输入输出传递函数分别为
差分放大器
功率放大器
（3）电动机
在小功率伺服系统中直流电动机的结构图中，由于电动机的电枢回路电感很小，可以忽略不计。
图中的J与f为折算至电动机轴上系统转动部分的等效转动惯量和等效粘性摩擦系数，其值分别为
将具体参数值代入，于是可求得电动机的电枢（空载）电压与转子角位移之间的传递函数为
（4）减速器
齿轮减速器的传动比为=250/25=10，于是减速器的传递函数为
2系统的输入输出模型
将个环节的数学模型按照信号的传递关系组合起来，则可绘制系统的结构图如图2-8所示。
应用梅森公式或结构图化简，由图则可求得系统的传递函数为
图2-8天线方位角位置随动系统结构图
θi（s）
θ0（s）
θm（s）
减速器
图2-9倒立摆系统示意图
2-6c图2-9所示为装在小车上的倒立摆系统。
该系统与空间飞行器在发射过程中空间助推器姿态控制的模型一致。
姿态控制的任务是，保持空间助推器在垂直位置。
这和杂技表演中艺人顶立杆的平衡系统是相类似的。
显然若不
外施控制，该系统是不稳定的，倒立的摆随时
都可能倒下来。
为了简化讨论，假设摆的质量
m集中在杆顶（摆杆无质量），而且只作为二
维问题来处理，即摆只在图示的平面上运动。
小车质量为M，作用在小车上的外施控制力
为u，试求该系统的数学模型。
解系统的运动方程
设摆杆偏离垂直直线的角度为，由于要
求倒立摆保持在垂直位置上故可认为角很小。
取坐标系如图所示，于是质量m的重心坐标为
横坐标纵坐标
根据牛顿第二定律，则可列写系统在z方向的运动方程为
（2-1）
质量m绕p点转动的运动方程为
即（2-2）
式中g=9.81为重力加速度，L摆杆长度。
而
于是（2-1）和（2-2）可分别改写为
（2-3）
和
上式可进一步化简为
（2-4）
非线性模型的线性化式（2-3）和（2-4）是描述倒立摆系统运动的非线性微分方程。
由于控制的目的在于保持倒立摆在垂直位置上，故可假设和均较小。
于是，从而可将系统的非线性模型（2-3）和（2-4）线性化为
或者由上面两个式子分别消去或，则可将线性化模型进一步改写为
（2-5）
其中表示摆杆绕p点转动的情况，z表示小车的位置。
它们都是易于测量的，若取为系统的输出量，并对式（2-5）取拉氏变换，则可求得倒立摆系统的复域模型为
系统的传递函数由上式即可导出倒立摆系统的输入输出（复域）模型为
2-7c设系统处于静止状态，当输入单位阶跃函数时其输出响应为
t>0
试求该系统的传递函数。
解由题意可知：
系统的初始条件为零，r（t）=1（t）于是R（s）=L[1（t）]=1/s。
对上述响应表达式的两边取拉氏变换，则有
令Y（s）=G（s）R（s）=G（s）/s,由上式便可求得系统的传递函数为
讨论传递函数是线性定常单变量系统常用的输入输出模型，是经典控制理论的重要基础。
求取传递函数的常用方法有下列四种：
（1）根据系统的工作原理绘制结构图（或信号流图）来求取。
（2）由系统的微分方程（或微分方程组）通过拉氏变换来导出。
（3）根据系统响应表达式来推导，如本例；（4）由系统的状态空间表达式转换而得。
2-8a系统的结构图如图2-10所示，试求该系统的输入输出传递函数。
图2-10系统结构图
（简记Gi（s）=Gi，Hi（s）=Hi，R（s）=R，Y（s）=Y）
说明由结构图求系统的传递函数既可通过结构图化简也可以用梅森公式来计算，所得结果（即传递函数）是唯一的，但是结构图等效变换的方案则不是唯一的。
而且等效性只保证总的输入输出关系（即传递函数）不变，而结构图内部则不等效，本题就是对此的一个实例说明。
解
（1）结构图化简方案1
将G3环节输出端的引出点前移并合并局部反馈环节，如图2-11（a）所示；然后进行串联和反馈的等效变换，如图2-11（b）和（c）所示；由图2-11（c）通过并联的等效变换，则可求得系统的传递函数为
（b）
（a）
图2-11系统结构图化简方案1
（2）结构图化简方案2
（a）
（b）
图2-12系统结构图化简方案2
将G2环节输出端的引出点后移，合并局部反馈环节并作串联等效变换，如图2-12（a）所示。
然后进行反馈和串联的等效变换，如图2-12（b）所示。
再通过反馈变换则可化成图2-11（c）所示的形式，从而可导出与方案1相同的传递函数。
（3）结构图化简方案3
将G2环节输出端的引出点后移，把中间的相加点前移和左端的相加点合并并作串联等效变换，如图2-13（a）所示。
然后合并局部反馈环节，如图2-12（b）所示。
再通过反馈变换则可化成图2-11（c）所示的形式，同样可导出与前两个方案相同的传递函数。
图2-13系统结构图化简方案3
（a）
（b）
图2-14系统信号流图
（4）应用梅森公式求解
为了便于观察，先把结构图改画
成信号流图。
改画过程如下：
将结构图
2-10上用符号“。
”标出各信号在信号
流图上设置相应的节点，则可将结构图
改画成图2-14所示的信号流图。
由图可知：
它有3个单独的回路，其回路增益分别为
没有互不接触的回路，故信号流图的特征式为
从输入到输出的前向通道有2条，它们的增益及相应得余因子式分别为
于是根据梅森公式，则可求得该系统的传递函数为
所得结果与结构图化简的结构相同。
讨论
（1）结构图简化虽然方案较多，但所得的结果（即传递函数）是唯一的。
化简的基本思路是：
解除交叉，由里往外逐步地化简；相邻的相加点之间或相邻的引出点之间可互换位置，但是相邻的相加点与引出点之间一般不能简单地互换位置，若需要互换则必须保证其输入输出关系的等效性；对于多输入或多输出的复杂线性系统，则应用叠加原理以简化求传递函数的复杂性。
（2）对于复杂的结构图，应用梅森公式可不必进行繁杂的结构图化简工作。
为了便于观察往往先将结构图改画成信号流图。
应用梅森公式解题的关键是要细心观察，把所有的各种类型的回路，通向通道增益及其余因子式，一个不漏且一个也不多的找出来，谨防粗心出错。
2-9a试化简图2-15所示的系统结构图，求传递函数,并试用梅逊公式求解。
图2-15
图2-16
解：
1将G4前输出移到G4后输出消
除交叉，得到多回路结构的等效框
图如图2-16所示：
2由内到外进行反馈连接的等效变换，直到变换为一个等效方框，即得到所求的传递函数。
图2-17
3试用梅逊公式求解
将系统结构图转换成信号流图
如图2-17所示:
一条前向通路
回路有四个：
L1=；L2=；
L3=；L4=
则用梅逊公式可求得系统传递函数
2-10a系统的信号流图如图2-18所示，试求C（S）/R（S）
图2-18
解：
2-11b试求图2-19所示结构图的传递函数C（S）/R（S）。
图2-19
图2-20
解：
解法
（1）应用梅逊公式求解，先将结
构图2-19转化成信号流图如图2-20所示：
图2-21
解法
（2）用解析法求C（S）/R（S），
如图2-21
E（S）=R（S）-C（S）
分析求得：
图2-22
2-12b已知系统结构如图2-22所示。
1）求传递函数C（S）/R（S）和C（S）/N（S）。
2）若要消除干扰对输出的影响
（即C（S）/N（S）=0），问=？
解：
1）令N（S）=0，求
图2-23
令R（S）=0，求先作等效变换框图,如图2-23所示,
2）要使，则须
求得
图2-24
2-13d考虑图2-24所示的反馈系统。
1）利用函数series与cloop函数，
计算闭环传递函数，并用printsys
函数显示结果；
2）用step函数求取闭环系统的单位
阶跃响应，并验证输出终值为2/5。
解：
MATLAB文本如下：
图2-25
numg=[1];deng=[11];
numc=[12];denc=[13];
[num1,den1]=series（numc,denc,numg,deng）;
[num,den]=cloop（num1,den1,-1）
Printsys（num,den）
//其结果为：
Step（num,den）,grid
//其闭环系统的单位阶跃响应如图2-25所示。
t=[0:
0:
1:
10];
[y,x,t]=step（num,den,t）;
Plot（t,y）,grid
图2-26
2-14d考虑图2-26所示的方框图。
1）用MATLAB化简方框图，并
计算系统的闭环传递函数；
2）利用pzmap函数绘制闭环传
递函数的零极点图；
3）用roots函数计算闭环传递
函数的零点和极点，并与2）的
结果比较。
解MATLAB文本如下：
nG1=[4];dG1=[1];nG2=[1];dG2=[11];
nG3=[1,0];dG3=[1,0,2];nG4=[1];dG4=[1,0,0];
nh1=[4,2];dh1=[1,2,1];nh2=[50];dh2=[1];nh3=[1,0,2];dh3=[1,0,0,14];
[nG5,dG5]=series（nG2,dG2,nG3,dG3）;
Printsys（nG5,dG5）//其结果为：
[nG6,dG6]=feedback（nG5,dG5,nh1,dh1,-1）
Printsys（nG6,dG6）//其结果为：
[nG7,dG7]=feedback（nG4,dG4,nh2,dh2,+1）;
Printsys（nG7,dG7）//其结果为：
[nG8,dG8]=series（nG6,dG6,nG7,dG7）;
Printsys（nG8,dG8）
//其结果为:
[nG9,dG9]=feedback（nG8,dG8,nh3,dh3,+1）;
Printsys（nG9,dG9）
//其结果为：
[num,den]=series（nG1,dG1,nG9,dG9）;
Printsys（num,den）
//其结果为：
pzmap（num,den）//其闭环传递函数的零极点图如图2-27所示。
Z=roots（num）
P=roots（den）//计算所得的闭环传递函数的零点和极点结果为：
图2-27
由以上分析可见，利用pzmap函数绘制闭环传递函数的零极点图所得结果与用roots函数计算的闭环传递函数零点和极点的结果是相同的。
第三章控制系统时域分析
3-1a系统结构图如图3-1所示。
（1）当r（t）=t，n（t）=t时，试求系统总稳态误差；
（2）当r（t）=1（t），n（t）=0）时，试求σp，tp。
解：
1.令
2．
3-2a试选择K1和K2的值，使图3-2所示系统阶跃响应的峰值时间为0.5s，超调量可以忽略不计（即0.5％<超调量<2.0％）。
图3-2
解取
求得
3-3b3个二阶系统的闭环传递函数的形式都是φ（s）=C（s）/R（s）=wn2/（s2+2ξwns+wn2），它们的单位阶跃响应曲线如图3-3中的曲线1、2、3。
其中ts1，ts2是系
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