数学教学是思维的教学.docx

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数学教学是思维的教学

数学教学是思维的教学

——听课有感

陶维林（江苏南京师大附中210003）

我们常说，数学教学是思维的教学．怎样在课堂教学中实施思维教学？

思维教学的材料从哪里来？

如何适时介入把握思维教学的契机？

最近我听了一堂课，就颇有感触．这里先把教学的主要过程写出来，并就在课堂教学中实施思维教学的问题谈一点想法，供同行参考．不当之处，敬请指正．

1教学过程简述

教学内容是新课程标准教材《数学4》[3]，三角函数的应用．

数学教学应当从问题开始，上课伊始，教师亮出问题1：

如图1，在一个半径为r的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？

师：

（不到2分钟教师开始提问）我请一位同学说说你的解法．

这不是一道难题，同学们稍作思考是能够说出解法的．

生1：

设∠AOD＝θ，θ∈（0，π）．

S矩形ABCD＝4S△AOD＝2r2sinθ．

当θ＝

时，sinθ＝1，（S矩形ABCD）max＝2r2．图1

所有内接矩形中，正方形面积最大．

生2：

建立直角坐标系．如图2，设∠EOC＝θ，θ∈（0，

）．

CE＝rsinθ，OE＝rcosθ，S矩形ABCD＝

4r2sinθcosθ＝2r2sin2θ．当θ＝

时，

sin2θ＝1，（S矩形ABCD）max＝2r2．图2图3

生3：

（主动要求发言）如图3，连结AC．在（直径AC所分的）每一个半圆中，直角三角形斜边长2r一定，斜边AC上的高最大时，每一个直角三角形面积最大，矩形面积最大．在Rt△ABC中，过B作AC的垂线，垂足为H，当H与圆心O重合时，BH最大，Rt△ABC面积最大．

同学们鼓起掌来，赞扬他主动发言的勇气，赞扬他解法的巧妙．

正当同学们为前一位同学的解法鼓掌叫好时，又一位同学要求发言．

生4：

设AB＝x，则BC＝

，x∈（0，2r）．S矩形ABCD＝x

．

教室里很安静，大家都在看他怎样对付x

，求出最大值．

他不慌不忙地说，x

≤

＝2r2，最大值是2r2．

同学们又鼓起掌来，而且掌声更响．因为，“平均不等式”还没有学，在《数学5》的第三章呢．

教师指出还要给出不等式中等号成立的条件．生4补充说，等号在x＝

r时成立．

还有生5提出，在图2中，设OE＝x，得到

S矩形ABCD＝4x

＝4

＝4

．

当x2＝

，x＝

r时，S矩形ABCD取得最大值2r2．

同学们思维活跃，积极参与，课堂气氛热烈．

师：

同学们给出了这道题的多种解法，很好．我们把题目改一下，把圆改成半圆，请看下一道题．教师又亮出问题2：

如图4，在所有内接于半径为r的半圆的矩形中，怎样的矩形面积最大？

有了解前一题的经验，同学们也很快给出了类似于前的几种解法．

紧接着，教师又亮出问题3：

如图5，矩形MNPQ内接于半径为r，圆心角为60°的扇形AOB，点M，N在半径OA上，点P在弧AB上，点Q在半径OB上．求矩形MNPQ面积最大值．

这道题可不容易，同学们不知道怎样选择图4图5

自变量好．如何列出函数式？

即便列出了函数式求出最大值也决非易事．

各自埋头演算起来，教室里静悄悄．片刻，教师着急起来，要求同学们抬起头听他讲．有少数几个人抬起头来，多数学生并不想听老师讲，还在埋头演算．虽然没几个学生抬起头来，但是教师还是讲起来了．显然，教学效果就很难保证了．

2对教学过程的几点思考

应该说这堂课并不差，这样的教学过程也许并不少见．教师进行了精心设计，从一个问题开始，通过一题多解、一题多变，实施“变式教学”，发挥开放题的作用，发展学生的思维能力；

注意到数学教学是活动的教学，积极引导学生参与教学过程，让同学们活动起来．但是，笔者总觉得意犹未尽．

2.1适时介入，捕捉思维教学的契机．在问题1的解答过程中，笔者以为还有许多“金子”可挖．

比如，追问学生：

“你怎么想到设AB＝x，用边长做自变量的？

”“你怎么想到设∠AOD＝θ，用角做自变量的？

”“你的解法怎么这么巧，只要关注点B到直径AC的距离就可以了？

”“你是怎么想到建立直角坐标系的？

”等等，这是一些更值得关注的深层问题，是实施思维教学的极好材料．教学实践表明，在学生回答问题、板演、练习、作业等各种活动中，都存在思维教学的材料．教师适时介入，把这些活动背后的思维过程挖掘出来，不放过实施思维教学的契机，把思维活动引向纵深，推向高潮，提高思维的层次，发展思维能力．但是，这些来自学生的思维教学的丰富材料往往不被注意，白白流失了．因此，捕捉来自学生的思维材料用于课堂教学是教师的基本功．不仅解题教学中有思维，同样概念形成的背后也充满思维教学的材料．为什么要定义这个概念？

这样定义合理吗？

如何理解这个概念？

等等．

2.2思维教学提倡学生独立思考．经常见到这样的情况，教师把题目朝黑板上刚写完，没等学生弄清怎么回事，就开始头头是道地分析起来，或者没等学生进行比较充分的思考就开始提问，剥夺了学生思维的时间与空间．只能用教师的思维，被提问同学的思维填补其他同学的思维．这样做的结果是强迫学生接受，破坏了思维的自主性、独立性，有碍于学生的思维发展．要尊重学生的思维过程，让其暴露出来，即便是错误的甚至可笑的，而这是实际存在的，你不可以视而不见．有一个例子说，教师问学生“天上的云彩象什么？

”一学生回答“象狗”．教师很不高兴，答案是“象棉花”．“象狗”就很形象，为什么非象棉花不可呢？

一个有关洗衣机的广告，把洗衣机滚筒想像成海底世界就极具想像力．学生的思维丰富多彩，有奇思妙想，教师可能始料未及．让学生的思维暴露出来，有错误就找原因，经过交流、讨论，解决问题，要特别注意寻找其中合理的成分．同时，也要关注他们怎样表达自己的观点，怎样交流．发展是多方面的，除对数学知识的理解，还有表达能力，心理素质等其他方面的发展．让学生暴露思维过程，教师要学会倾听，让人把话讲完，不要扑灭学生思维的“火花”．尊重学生的思维过程，就要敢于挑战自我，不怕“挂黑板”，丢面子，让自己活动在能力的边缘．尊重学生的思维过程，还要有耐心，学会等待，注意推迟判断，不能图省事，把结果“抛”给学生．必须真正让学生有独立思考的时间和空间，“重结果，轻过程”不可取．

2.3培养学生主动思维的习惯．问题3写上黑板以后，同学们都埋头在纸上画起来，积极思考着，并不想马上就听老师讲．“老师，你先让我想一想”这是主动学习的表现，十分可贵．只有学生的学习是主动的才是最有效的．要增强教学效果，培养学生主动学习的习惯至关重要，是教师必须长期坚持的任务．那种老师写完题目后就等老师讲的学习习惯是思维懒惰，不可能有好的学习效果．学生是学习的主体，学生力所能及的事让他们自己去做，不要越俎代庖，是教学的一条原则．不要剥夺学生能力发展的每一时机，让学生被动接受教师的讲解、教师的思维．这堂课的教学意图是三角函数的应用，而实际上许多同学并不理会教师课前的“预设”，并不朝这个方向想，后面3位同学的解法就很能说明问题．这就是思维，十分自然的思维．

2.4数学活动是思维的活动．“数学教学是数学活动的教学”已经成为广大一线教师的共识．尤其在当前新课程改革，倡导改变学生学习方式的大势下，几乎没有学生不活动的课堂．特别是“新课改展示课”更是如此．但是，笔者从听过的一些课中发现，教师对“为什么要活动？

”“活动在哪里？

”“怎样活动？

”等许多问题并不十分清晰，并没有完全理解学生在课堂教学中活动的意义，并没有认识到“数学活动是思维活动”这一特点．这样一来，流于形式做表面文章就难免了．一个很简单的问题，几乎没有多少思维价值，并不处于思维的“最近发展区”内，并不需要“跳一跳摘果子”，也要4人一个小组讨论一番．甚至教师已经把答案写在黑板上，也让学生开展一番“探究活动”．课堂上确实是热热闹闹，但真正让学生体验数学思维的特点，发展学生的思维能力就可想而知了．解题训练也不等于思维训练！

一题多解，一题多变的热热闹闹，也要看思维价值的高低．一堂课是不是好课，其中一个重要指标是，看有没有高水平的思维活动，而不是表面上的热热闹闹，“重操作，轻思维”不可取．教师提出一个有较高思维价值的问题，同学们积极思考，教室里静悄悄，这算不算活动？

教师在黑板上写完题目，让学生想一想，这时需要静悄悄，不要立即滔滔不绝地讲，打搅学生思维．实施思维教学的关键在于提高教师“数学教学是思维的教学，数学活动是思维活动”的意识．数学活动是师生、生生之间的思维交流．这个交流是独立思考后的交流，不进行独立思考哪来交流？

通过交流，互相启发，互相借鉴，互相学习，发展思维能力．

2.5发挥教师的主导作用．教师的主导作用在哪里？

从上面的分析可以看出，适时介入挖掘思维过程是其中之一，另外，还要引导学生比较、归纳、概括．比如，在挖掘对问题1多种解法的思维过程以后，比较生2与生5的解法：

生2设∠EOC＝θ，得到S＝4r2sinθcosθ；生5设OE＝x，得到S＝4x

，能揭示它们之间的联系吗？

这几种解法的共同点是什么（如都关注图形的对称性这一重要特征）？

不同点在哪里（如造成矩形面积变化的原因不尽相同）？

哪一种方法最好（如选择角作为自变量的方法比较简便）？

培养学生提出问题、研究问题的能力，而不仅仅是解决问题．再比如，研究函数最大、最小值的应用问题，要关注引起函数值变动的原因．这个原因可能是某个角的变化引起的，可能是某条边的变化引起的，可能是某个点到某条线的距离的变化引起的，等等．一类问题解决以后可以归纳解这类问题的大致步骤，形成简缩思维，努力提升学生分析问题解决问题的能力．授人以“鱼”，更教人以“渔”．这样，在遇到问题3时，学生就可能把从解答问题1所产生的经验迁移过来．在问题3中，矩形面积之所以变动是因为点P在变动，而点P绕点A转动（在圆上运动），刻画转动用角比较恰当，因此可以设∠AOP＝θ，建立矩形MNPQ的面积与θ的函数关系；也可以说，是因为点M的变动引起了矩形MNPQ面积的变动，设OM＝x，建立矩形MNPQ的面积与x的函数关系，等等，教学生学会思考．这样做学生不仅不会感到无从下手，只会感到合理、自然，乐于接受．虽然“设OM＝x”不如“设∠AOP＝θ”简单，但是，两种方法的繁简、它们之间的联系的比较过程又是一次思维教学的过程．教师不应把“设∠AOP＝θ”强加给学生．否则就显得很生硬，学生就会常常有“老师想得真好，离开老师，我怎么总想不到”的困惑．实际上，教师在备课时也许采用过“设OM＝x”的方法，但是建立起的函数式比较复杂，难以求出它的最大值．教师所走过的“弯路”也是实施思维教学的好材料，有时让学生经历一次也并非坏事．暴露学生的思维过程是实施思维教学的好材料，暴露教师的思维过程也是实施思维教学的好材料．要暴露怎样由失败走向胜利的思维过程，还要敢于暴露失败了没有结果的思维过程，分析其中的原因．

教师的主导作用还在于引导学生反思，反思问题解决的过程．条件用到哪里？

有没有更好的方法？

这样做行吗？

等等．尤其要注意使用元认知提示语，反思监控思维过程．

数学教学承载着培养思维能力的特殊任务，应该重视发展学生思维能力的教学设计．

参考文献

1曹才翰，章建跃．数学教育心理学．北京师范大学出版社．2006，6．第2版

2钱佩玲．如何认识数学教学的本质．数学通报，2004，10

3普通高中课程标准实验教科书·数学必修4．南京：

江苏教育出版社，2005，12．第3版

2008年3月发表于《数学通报》。

从几道题的不同解法中归纳出解决这类问题的“算法”。

这就是，

S1：

找出影响函数值变动的因素，选择自变量；

S2：

用含自变量的代数式表示函数式中要用到的其他量；

S3：

建立目标函数，明确定义域；

S4：

求出最大（或最小）值，并指出相应的自变量的值；

S5：

回答实际问题。

这一回顾、反思，示范出解答这类问题的一般思维方法，大大提高了解题质量，发挥了这道题的教育作用。

这道题目似乎很简单，但是，要挖掘简单后面的“不简单”。

——提炼思想与方法。

做题目，为什么？

做任何事都有目的，目的不清楚是做不好那件事的！

弄清目的，你就会把反思作为自觉行动。

反思出算法，反思出方法，出“渔”，出“宗”，反思出规律，反思出经验，反思更容易看到宏观，反思更容易看清问题的本质，反思往往能够把书读薄……

例题是话题，借题发挥，把教育作用发挥到极致。

再看下一道题，同学们就可能把从解答这道题中获得的经验迁移过来，感觉到有“门”，不困难了。

例2如图11，矩形MNPQ内接于半径为r的扇形AOB，点P在弧AB上，点Q在半径OB上，点MN在半径OA上，∠AOB=α（α是锐角），求矩形MNPQ面积的最大值。

图11

数学教学不仅要讲过程，更要讲思想！

思想蕴涵在过程之中，没有过程等于没有思想。

教师要经常问一问“你是怎么想到的？

”“你凭什么这么说？

”挖掘背后的思维过程。

有了“第三”，你的数学课就有“味道”了。

第一是提出问题，第二是解决问题，第三是挖掘解决问题背后的思维过程。

当然，这里还有谁来“发现问题”、“提出问题”的问题，

应该尽可能引导学生发现问题、提出问题，而

不要总是由教师来提出问题。

在挖掘对例1的多种解法的思维过程以后，比较生1与生2的解法：

生1设∠AOD＝θ，得到S＝2r2sinθ；生2设AB＝x，得到S＝4x

，表面上不同，能揭示它们之间的联系吗？

这几种解法的特点分别是什么？

哪一种方法最好？

培养学生提出问题、研究问题的能力，而不仅仅是解决问题。

在例2中，矩形MNPQ的面积之所以变动是因为点P在变动，而点P绕点A转动（在圆上运动），刻画转动用角比较恰当，因此可以设∠AOP＝θ，建立矩形MNPQ的面积与θ的函数关系；也可以说，是因为点M的变动引起了矩形MNPQ面积的变动，设OM＝x，建立矩形MNPQ的面积与x的函数关系，等等。

这样做，同学们不仅不会感到无从下手，只会感到合理、自然，乐于接受，是上面哪个算法的运用。

虽然“设OM＝x”不如“设∠AOP＝θ”简单，但是，两种方法的繁简、它们之间的联系的比较过程又是一次思维教学的过程。

教师不应把“设∠AOP＝θ”强加给学生。

否则就显得很生硬，学生就会常常有“老师想得真好，离开老师，我怎么总想不到”的困惑。

实际上，教师在备课时也许采用过“设OM＝x”的方法，但是建立起的函数式比较复杂，求出它的最大值比较困难。

教师所走过的“弯路”也是实施思维教学的好材料，有时让学生经历一次也并非坏事。

暴露学生的思维过程是实施思维教学的好材料，暴露教师的思维过程也是实施思维教学的好材料。

要暴露怎样由失败走向胜利的思维过程，还要敢于暴露失败了没有结果的思维过程，分析其中的原因又是一次思维教学的过程。

不放过每一次思维教学的机会。

要教学生学会思考！

让学生掌握数学思考的方法。

对于（3），经过分析（什么引起面积的变化），较好的方法（怎么知道较好？

）是设θ＝∠AOP，θ∈（0，

）。

让学生感到自然。

对于（3），如果出了下面的解法，怎么办？

设OM＝x，x∈（0，r）。

S＝

x（

－x）。

对于这个函数，怎么办？

判别式法：

12x4＋（2

S－3r2）x2＋S2＝0。

△≥0，得3r4－4

Sr2－12S2≥0，（

r2＋2S）（

r2－6S）≥0，

S≤

r2。

等号在x＝

r∈（0，r）时成立。

三角换元法（设x＝

cosα，α∈（0，

））。

S＝

r2sin（2α－

）－

r2。

当α＝

，x＝

r时，Smax＝

r2。

几种方法之间要加以比较。

这样，教育作用就大了。

不能获得结果则罢，更不能追求结果。

而综观解题教学，基本是为结果而教。

数学“难学”，对知识的应用能力要求高是原因之一，数学“好学”是因为“万变不离其宗”。

要经常把那个“宗”教给学生。

要“活中找死”，形成“套路”。

当问题（3）求出结果后，还可以提出：

如果矩形这样放置呢？

为什么一定是对称的呢？

（PN的中垂线一定经过圆心，而MN，PQ是与PN垂直的）

为结果？

开始的那道题就不必讲。

从教育价值上选择例题，而不是难题？

教师要做充分准备。

讲一道题就讲深、讲透，在“质”上狠下功夫，把教育作用发挥到极致。

一定要反思。

变解决问题为研究问题，研究问题才会提出问题，要引导学生自己提出问题。

数学是思维科学，你承认吗？

那你教思维吗？

你不教思维，那叫做教数学吗？

带领学生琢磨问题，学生有会觉得数学有趣，学习积极性会高起来。

只有把思考当乐趣的人才能学好数学。