电磁感应中的能量问题练习.doc
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电磁感应中的能量问题练习
一、单项选择题
1．如图所示，固定的水平长直导线中通有电流I，矩形线框与导线在同一竖直平面内，且一边与导线平行．线框由静止释放，在下落过程中（）
A．穿过线框的磁通量保持不变B．线框中感应电流方向保持不变
C．线框所受安培力的合力为零D．线框的机械能不断增大
答案:
B
解析:
当线框由静止向下运动时，穿过线框的磁通量逐渐减小，根据楞次定律可得产生的感应电流的方向为顺时针且方向不发生变化，A错误，B正确；因线框上下两边所在处的磁场强弱不同，线框所受的安培力的合力一定不为零，C错误；整个线框所受的安培力的合力竖直向上，对线框做负功，线框的机械能减小，D错误．
2．如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒（电阻也不计）放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中
①恒力F做的功等于电路产生的电能
②恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
③克服安培力做的功等于电路中产生的电能
④恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和
以上结论正确的有（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
答案:
C
解析:
在此运动过程中做功的力是拉力、摩擦力和安培力，三力做功之和为棒ab动能增加量，其中安培力做功将机械能转化为电能，故选项C正确．
3．一个边长为L的正方形导线框在倾角为θ的光滑固定斜面上由静止开始沿斜面下滑，随后进入虚线下方方向垂直于斜面的匀强磁场中．如图所示，磁场的上边界线水平，线框的下边ab边始终水平，斜面以及下方的磁场往下方延伸到足够远．下列推理判断正确的是（）
A．线框进入磁场过程b点的电势比a点高
B．线框进入磁场过程一定是减速运动
C．线框中产生的焦耳热一定等于线框减少的机械能
D．线框从不同高度下滑时，进入磁场过程中通过线框导线横截面的电荷量不同
答案:
C
解析:
ab边进入磁场后，切割磁感线，ab相当于电源，由右手定则可知a为等效电源的正极，a点电势高，A项错．由于线框所受重力的分力mgsinθ与安培力大小不能确定，所以不能确定其是减速还是加速，B项错；由能量守恒知C项对；由q＝n知，q与线框下降的高度无关，D项错．
4．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于（）
A．棒的机械能增加量 B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量 D．电阻R上放出的热量
答案:
A
解析:
由动能定理有WF＋W安＋WG＝ΔEk，则WF＋W安＝ΔEk－WG，WG<0，故ΔEk－WG表示机械能的增加量．选A项．
5．两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻R，导轨所在平面与匀强磁场垂直.将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和导轨接触良好，重力加速度为g，如图所示.现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（）
A.金属棒在最低点的加速度等于g
B.回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C.当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D.金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
答案:
D
解析:
如果不受安培力，棒和弹簧组成了一个弹簧振子，由简谐运动的对称性可知其在最低点的加速度大小为g，但由于金属棒在运动过程中受到与速度方向相反的安培力作用，金属棒在最低点时的弹性势能一定比没有安培力做功时小，弹性形变量一定变小，故加速度小于g，选项A错误；回路中产生的总热量等于金属棒机械能的减少量，选项B错误；当弹簧弹力与安培力之和等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大，选项C错误；由于金属棒运动过程中产生电能，金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度，选项D正确.
二、多项选择题
6．如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是（）
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做的功等于系统产生的电能
C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案:
AC
解析:
根据动能定理，合力做的功等于动能的增量，故A对；重力做的功等于重力势能的减少，重力做的功等于克服F所做的功与产生的电能之和，而克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，所以B、D错，C对．
7．如图所示水平光滑的平行金属导轨，左端接有电阻R，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在空间内，质量一定的金属棒PQ垂直于导轨放置．今使棒以一定的初速度v0向右运动，当其通过位置a，b时，速率分别为va，vb，到位置c时棒刚好静止．设导轨与棒的电阻均不计，a，b与b，c的间距相等，则金属棒在由a→b与b→c的两个过程中下列说法中正确的是（）
A．金属棒运动的加速度相等B．通过金属棒横截面的电量相等
C．回路中产生的电能Eabab
答案:
BD
解析:
由F＝BIL，I＝，F＝ma可得a＝，由于速度在减小，故加速度在减小，A项错，D项正确；由q＝It，I＝，E＝n可得q＝，由于两个过程磁通量的变化量相同，故通过金属棒横截面的电量相等，B项正确；由克服安培力做的功等于产生的电能，即W＝FL，由于安培力越来越小，故第二个过程克服安培力做的功小于第一个过程，因此C项错误．
8．如图所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计。
绝缘轻绳一端固定，另一端系于导体棒a的中点，轻绳保持竖直。
将导体棒b由边界水平的匀强磁场上方某一高度处静止释放。
匀强磁场的宽度一定，方向与导轨平面垂直，两导体棒电阻均为R且与导轨始终保持良好接触。
下列说法正确的是（）
A．b进入磁场后，a中的电流方向向左
B．b进入磁场后，轻绳对a的拉力增大
C．b进入磁场后，重力做功的瞬时功率可能增大
D．b由静止释放到穿出磁场的过程中，a中产生的焦耳热等于b减少的机械能
答案:
AC
解析:
b进入磁场后，b中电流方向向右，a中的电流方向向左，选项A正确；b进入磁场后，由于ab二者电流方向相反，二者相斥，轻绳对a的拉力减小，选项B错误；b进入磁场后，所受安培力可能小于重力，继续加速运动，重力做功的瞬时功率可能增大，选项C正确；b由静止释放到穿出磁场的过程中，a和b中产生的焦耳热等于b减少的机械能，选项D错误。
9．如图所示，倾斜的平行导轨处在匀强磁场中，导轨上、下两边的电阻分别为R1＝3Ω和R2＝6Ω，金属棒ab的电阻R3＝4Ω，其余电阻不计。
则金属棒ab沿着粗糙的导轨加速下滑的过程中（）
A．安培力对金属棒做功等于金属棒机械能的减少量
B．重力和安培力对金属棒做功之和大于金属棒动能的增量
C．R1和R2发热功率之比P1∶P2＝1∶2
D．R1、R2和R3产生的焦耳热之比Q1∶Q2∶Q3＝2∶1∶6
答案:
BD
解析:
由能量守恒定律，安培力对金属棒做功小于金属棒机械能的减少量，选项A错误；由动能定理可知，重力和安培力对金属棒做功之和大于金属棒动能的增量，选项B正确；导轨上、下两边的电阻属于并联关系，两者电压相等，R1和R2发热功率之比P1∶P2＝2∶1，选项C错误；R1和R2并联等效电阻为2Ω，ab中电流等于R1和R2二者中电流之和，金属棒ab的电阻R3产生的焦耳热是R1和R2并联等效电阻产生焦耳热的2倍，选项D正确。
10．两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻R，导轨所在平面与匀强磁场垂直。
将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和导轨接触良好，重力加速度为g，如图所示。
现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（）
A．金属棒在最低点的加速度小于g
B．回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C．当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D．金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
答案:
AD
解析:
如果不受安培力，杆和弹簧组成了一个弹簧振子，由简谐运动的对称性可知其在最低点的加速度大小为g，但由于金属棒在运动过程中受到与速度方向相反的安培力作用，金属棒在最低点时的弹性势能一定比没有安培力做功时小，弹性形变量一定变小，故加速度小于g，选项A正确；回路中产生的总热量等于金属棒机械能的减少量，选项B错误；当弹簧弹力与安培力之和等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大，选项C错误；由于金属棒运动过程中产生电能，金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度，选项D正确。
11．在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场,区域I的磁场方向垂直斜面向上,区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下,磁场的宽度均为L,一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框,由静止开始沿斜面下滑,t1时ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区,此时线框恰好以速度v1做匀速直线运动;t2时ab边下滑到JP与MN的中间位置,此时线框又恰好以速度v2做匀速直线运动.重力加速度为g,下列说法中正确的有（）
A.t1时,线框具有加速度a=3gsinθ
B.线框两次匀速直线运动的速度v1:
v2=2:
1
C.从t1到t2过程中,线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量.
D.从t1到t2,有机械能转化为电能.
答案:
AD
12．如图所示,倾角为的平行金属导轨宽为,导轨电阻不计,底端与阻值为R的定值电阻相连,磁感强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面.有一质量为m、电阻为R的导体棒从位置以初速度v沿斜面向上运动,最远到达的位置,滑行的距离为s.已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为.则
A.上滑过程中导体棒受到的最大安培力为
B.上滑过程中安培力、滑动摩擦力对导体棒做的总功为
C.上滑过程中电流做功产生的热量为
D.上滑过程中导体棒损失的机械能为
答案:
CD
13．如图所示，一个矩形线框从匀强磁场的上方自由落下，进入匀强磁场中，然后再从磁场中穿出．已知匀强磁场区域的宽度L大于线框的高度h，那么下列说法中正确的是（）
A．线框只在进入和穿出磁场的过程中，才有感应电流产生
B．线框从进入到穿出磁场的整个过程中，都有感应电流产生
C．线框在进入和穿出磁场的过程中，都是机械能转变成电能
D．整个线框都在磁场中运动时，机械能转变成电能
答案:
AC
解析:
产生感应电流的条件是穿过闭合回路的磁通量发生变化，线框全部在磁场中时，磁通量不变，不产生感应电流，故B错．而进入和穿出磁场的过程中磁通量发生变化，也就产生了感应电流，故A正确．在产生感应电流的过程中消耗了机械能，故C正确D错误．
14．如图所示，在光滑水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大．一个边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属线框沿垂直磁场方向，以速度v从图示位置向右运动，运动过程中线框始终与磁场垂直当线框中心线AB运动到与PQ重合时，线框的速度为，则（）
A．此时线框的电功率为B．此时线框的加速度为
C．此过程通过线框截面的电荷量为D．此过程回路产生的电能为0.375mv2
答案:
BCD
三、计算题
15．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为L＝0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02kg，电阻均为R＝0.1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止．取g＝10m/s2，问：
（1）通过棒cd的电流I是多少，方向如何？
（2）棒ab受到的力F多大？
（3）棒cd每产生Q＝0.1J的热量，力F做的功W是多少？
答案:
（1）1A 方向由d到c
（2）0.2N （3）0.4J
解析:
（1）
对cd棒受力分析如图所示
由平衡条件得mgsinθ＝BIL
得I＝＝A＝1A.
根据楞次定律可判定通过棒cd的电流方向为由d到c.
（2）
棒ab与cd所受的安培力大小相等，对ab棒，受力分析如图所示，由共点力平衡条件知
F＝mgsinθ＋BIL
代入数据解得F＝0.2N.
（3）设在时间t内棒cd产生Q＝0.1J的热量，
由焦耳定律知Q＝I2Rt
设ab棒匀速运动的速度是v，其产生的感应电动势E＝BLv
由闭合电路欧姆定律知I＝
时间t内棒ab运动的位移x＝vt
力F所做的功W＝Fx
综合上述各式，代入数据解得W＝0.4J.
16．相距L＝1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m＝1kg的光滑金属棒ab通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，金属棒cd水平固定在金属导轨上，如图甲所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同，ab、cd两棒的电阻均为r＝0.9Ω，导轨电阻不计.ab棒在方向竖直向上大小按图乙所示规律变化的外力F作用下从静止开始，沿导轨匀加速运动，g取10m/s2.求：
（1）在运动过程中，ab棒中的电流方向？
cd棒受到的安培力方向？
（2）求出ab棒加速度大小和磁感应强度B的大小？
（3）从t1＝0到t2＝2s，金属棒ab的机械能变化了多少？
答案:
（1）从b流向a；垂直导轨平面向里
（2）a＝1m/s2；B＝1.2T （3）ΔE＝22J
解析:
（1）在运动过程中，ab棒中的电流方向从b流向a.cd棒受到的安培力方向是垂直导轨平面向里．
（2）设ab棒加速度大小为a，当t1＝0时，F1＝11N，则
F1－mg＝ma
a＝1m/s2
当t2＝2s时，F2＝14.6N，设ab棒速度大小为v，其中电流为I，则
F2－mg－BIL＝ma
v＝at2
BLv＝2Ir
解得B＝1.2T
（3）从t1＝0到t2＝2s，ab棒通过的距离为h，则h＝at
设金属棒ab的机械能变化为ΔE，则
ΔE＝mgh＋mv2
ΔE＝22J
17．如图甲所示，空间存在一垂直纸面向里的水平磁场，磁场上边界OM水平，以O点为坐标原点，OM为x轴，竖直向下为y轴，磁感应强度大小在x方向保持不变、y轴方向按B＝ky变化，k为大于零的常数．一质量为m、电阻为R、边长为L的正方形线框abcd从图示位置由静止释放，运动过程中线框始终在同一竖直平面内且ab边水平，当线框下降h0（h0（1）线框下降h0高度时的速度大小v1和匀速运动时的速度大小v2；
（2）线框从开始释放到cd边刚进入磁场的过程中产生的电能ΔE；
（3）若将线框从图示位置以水平向右的速度v0抛出，在图乙中大致画出线框上a点的轨迹．
答案:
（1）
（2）mgL－ （3）
解析:
（1）线框下降h0高度时达到最大速度，此时其所受合外力为零，电路中产生的感应电流
I1＝
由平衡条件有mg＝B1I1L
而B1＝kh0
解得v1＝
线框cd边进入磁场开始做匀速运动时，电路中产生的感应电流
I2＝
则I2＝
由平衡条件有mg＝B2I2L
解得v2＝
（2）由能量守恒定律有
ΔE＝mgL－mv
解得ΔE＝mgL－
（3）线框上a点的轨迹如图所示
18．如图所示，两根竖直放置的平行光滑金属导轨，上端接阻值R＝3Ω的定值电阻．水平虚线A1、A2间有与导轨平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d＝0.5m．导体棒a的质量ma＝0.2kg，电阻Ra＝3Ω；导体棒b的质量mb＝0.1kg，电阻Rb＝6Ω.它们分别从图中P、Q处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时a正好进入磁场．设重力加速度为g＝10m/s2，不计a、b之间的作用，整个过程中a、b棒始终与金属导轨接触良好，导轨电阻忽略不计．求：
（1）在整个过程中，a、b两棒克服安培力分别做的功；
（2）a、b棒进入磁场的速度；
（3）分别求出P点和Q点距A1的高度．
答案:
（1）Wa＝1.0J，Wb＝0.5J
（2）va＝5.16m/s，vb＝3.87m/s（3）ha＝1.33m，hb＝0.75m.
解析:
（1）导体棒只有通过磁场时才受到安培力，因两棒均匀速通过磁场，由能量关系知，克服安培力做的功与重力功相等，有
Wa＝magd＝1.0J，
Wb＝mbgd＝0.5J.
（2）设b棒在磁场中匀速运动的速度为vb，此时b棒相当于电源，a棒与电阻R并联，此时整个电路的总电阻为R1＝7.5Ω，b棒中的电流为Ib＝，
根据平衡条件有：
＝mbg.
设a棒在磁场中匀速运动时速度为va，此时a棒相当于电源，b棒与电阻R并联，此时整个电路的总电阻为R2＝5Ω.a棒中的电流为Ia＝，
根据平衡条件有：
＝mag，
解得＝.
设b棒在磁场中运动的时间为t，有d＝vbt，
因b刚穿出磁场时a正好进入磁场，则va＝vb＋gt，
解得va＝5.16m/s，vb＝3.87m/s.
（3）设P点和Q点距A1的高度分别为ha、hb，两棒在进入磁场前均做自由落体运动，有：
v＝2gha，v＝2ghb，
解得ha＝1.33m，hb＝0.75m.
19．如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。
初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0。
沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。
（1）求初始时刻导体棒受到的安培力；
（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？
（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？
从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？
答案:
（1），方向水平向左
（2）Ep－mv02 mv02－Ep（3）初始位置 mv02
解析:
（1）初始时刻棒中感应电动势E＝BLv0①
棒中感应电流I＝，②
作用于棒上的安培力F＝ILB，③
联立①②③，得F＝，方向水平向左。
（2）由功和能的关系得，安培力做功
W1＝Ep－mv02，
电阻R上产生的焦耳热
Q1＝mv02－Ep。
（3）由能量转化及平衡条件等可判断：
棒最终静止于初始位置，电阻R上产生的焦耳热Q＝mv02.
P
Q
M
P
′
Q
′
M
′
a
b
d
c
A
B
20．在如图所示的装置中,PQM和是两根固定的平行、光滑金属轨道,其中PQ和水平而QM和竖直,它们之间的距离均为L.质量为m、电阻为R的光滑金属棒ab垂直于PQ放置在水平轨道上,在它的中点系着一根柔软轻绳,轻绳通过一个被固定的轻小的定滑轮在另一端系住一个质量为m的物块A,定滑轮跟水平轨道在同一个平面内,轻绳处于绷直状态.另一根质量为m、电阻为R的金属棒cd垂直于QM和紧靠在竖直轨道上,它在运动过程中始终跟轨道接触良好.整个装置处在水平向右的、磁感应强度为B的匀强磁场中.已知重力加速度为g,轨道和轻绳足够长,不计其余各处摩擦和电阻.现同时由静止释放物块A和金属棒cd,当物块A的速度达到某个值时,cd棒恰好能做匀速运动.求:
（1）cd棒匀速运动的速度大小;
（2）运动过程中轻绳产生的张力的大小;
（3）若cd棒从静止释放到刚达到最大速度的过程中产生的焦耳热为W,求此过程中cd棒下落的距离.
答案:
（1）
（2）（3）
解析:
（1）cd棒匀速运动时,所受安培力跟重力相平衡,令此时回路中的电流为I,cd棒的速度为,有
由以上两式可解得:
（2）令细绳产生的张力大小为T,物块的加速度大小为a,由牛顿第二定律:
对物块有
对ab棒有
由以上两式可解得:
（3）由能量的转化和守恒定律有:
可解得
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