综上可得正确答案是A、B。
（4）带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。
特点1入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。
例1。
如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为，求此离子在磁场区域内飞行的时间。
★解析：
设正离子从磁场区域的b点射出，射出速度方向的延长线与入射方向的直径交点为O，如图2，正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，该轨迹圆弧对应的圆心O’位于初、末速度方向垂线的交点，也在弦ab的垂直平分线上，O’b与区域圆相切，弦ab既是轨迹圆弧对应的弦，也是区域圆的弦，由此可知，OO’就是弦ab的垂直平分线，O点就是磁场区域圆的圆心。
又因为四边形OabO’的四个角之和为，可推出，因此，正离子在磁场中完成了1/6圆周，即
特点2入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为，轨迹圆弧对应的圆心角也为，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
如图3，带电粒子从a点射入匀强磁场区域，初速度方向不指向区域圆圆心，若出射点为b，轨迹圆的圆心O’在初速度方向的垂线和弦ab的垂直平分线的交点上，入射速度方向与该中垂线的交点为d，可以证明：
出射速度方向的反向延长线也过d点，O、d、O’都在弦ab的垂直平分线上。
如果同一种带电粒子，速度方向一定、速度大小不同时，出射点不同，运动轨迹对应的弦不同，弦切角不同，该轨迹圆弧对应的圆心角也不同，则运动时间也不同。
例2。
如图4所示，在xOy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为m，带电荷量为+q，以初速度从P点进入第一象限，，经过该圆形有界磁场时，速度方向偏转了，从x轴上的Q点射出。
问：
在第一象限内圆形磁场区域的半径多大？
分析：
根据上述特点2可知，速度偏转角为，那么弦切角就为，我们可以先做出弦，并且弦一定过Q点，因此，做出过Q点且平行于y轴的直线，与初速度方向的交点为A，A点就是入射点，AQ就是弦，又因为区域圆在Q点与x轴相切，AQ也是区域圆的直径，如图4。
轨迹圆心为O’，圆心角为，为等边三角形，半径
，
所以圆形磁场区域的半径为
也可在图4中体会一下，如果区域圆半径过大或过小，弦（入射点和Q点的连线）也会发生变化，可以看出弦切角不再是，那么偏转角也就不会是了。
x
y
R
O/
O
v
带点微粒发射装置
C
19、（2009年浙江卷）25．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速度v的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。
已知重力加速度大小为g。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。
（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？
并说明理由。
答案
（1）；方向垂直于纸面向外
（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x>0.
【解析】本题考查带电粒子在复合场中的运动。
带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。
设电场强度大小为E，由
可得方向沿y轴正方向。
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。
且r=R
如图（a）所示，设磁感应强度大小为B。
由
得方向垂直于纸面向外
X
y
R
O/
O
v
C
A
x
y
R
O/
v
Q
P
O
R
θ
图（a）
图（b）
（2）这束带电微粒都通过坐标原点。
解析：
从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。
如图b示，若P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为。
而磁场的边界是圆心坐标为（0，R）的圆周，其方程为
X2+（Y-R2）=R2
联立以上两式知：
带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为
x=-Rsinθx=0
y=R（1+cosθ）或y=0
坐标为[-Rsinθ,R（1+cosθ）]的点就是P点，须舍去。
由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。
（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0
带电微粒在磁场中经过一段半径为r′（r′=2R）
的圆弧运动后，将在y轴的右方（x>0）的区域离开磁场并做匀速直线运动，
如图c所示。
靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。
y
所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0.
M带点微粒发射装置N
P
v
R
r
C
O/
O
x
Q
图（c）
5、带电粒子在环状磁场中的运动
【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。
如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。
设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×c/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。
试计算
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
★解析：
（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图18所示。
r1
由图中知
解得
由得
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。
（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图19所示。
O
O2
由图中知
由
得
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
6、带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动
【例题】如图所示，在xoy平面内有很多质量为m、电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限。
现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。
求符合条件的磁场的最小面积。
（不考虑电子之间的相互作用）
★解析：
如图21所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为。
在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过1/4圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。
下面确定磁场区域的下边界。
设某电子做匀速圆周运动的圆心O/与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。
由图中几何关系可得
x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，
消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为x2+（R-y）2=R2，（x>0，y>0）
这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处。
磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。
磁场的最小面积为;
23、（2009年海南物理）16．如图，ABCD是边长为的正方形。
质量为、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。
不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：
（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力
A
B
C
D
E
F
p
q
O
θ
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧的圆心在CB边或其延长线上。
依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为按照牛顿定律
有
联立①②式得
（2）由
（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。
因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。
该电子的运动轨迹如右图所示。
图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为，在D为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为
7、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动
【例题】如图22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝ａ、ｂ、ｃ和ｄ，外筒的外半径为ｒ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为Ｂ。
在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。
一质量为ｍ、带电量为＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点Ｓ，则两电极之间的电压Ｕ应是多少？
（不计重力，整个装置在真空中）
a
b
c
d
S
o
★解析：
a
b
c
d
S
o
如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。
粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d。
只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。
设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有：
设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：
由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r。
由以上各式解得：
。
8、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动
【例题】如图24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。
左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。
一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。
求：
B
B
E
L
d
O
（1）中间磁场区域的宽度d;
（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。
★解析：
（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：
带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：
O
O3
O1
O2
600
由以上两式，可得。
可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图25所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。
所以中间磁场区域的宽度为
（2）在电场中
，
在中间磁场中运动时间
在右侧磁场中运动时间，
则粒子第一次回到O点的所用时间为
。
综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难
5.如图14所示,边长为L的等边三角形ABC为两个有界匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里,磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿∠A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v= 的负电粒子（粒子重力不计）.求:
（1）从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少?
（2）带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期.
解析
（1）带电粒子垂直进入磁场,做匀速圆周运动
qvB=T=
将已知条件代入有r=L
从A点到达C点的运动轨
迹如图所示,可得
tAC=T
tAC=
（2）带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第
（1）问图所示.
粒子通过圆弧从C点运动至B点的时间为
tCB=
带电粒子运动的周期为TABC=3（tAC+tCB）
解得TABC=
答案
（1）
（2）
26（21分）
图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V;两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。
图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。
假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。
不计重力
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。
（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。
解：
（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有
①
式中，是离子运动的速度，是平行金属板之间的匀强电场的强度，有
②
由①②式得
③
在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。
设离子甲质量为，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
④
式中，是离子甲做圆周运动的半径。
离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为：
这半圆刚好与边相切于，与边交于点。
在中，垂直于。
由几何关系得
⑤
由⑤式得
⑥
联立③④⑥式得,离子甲的质量为
⑦
（2）同理，
有洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
⑧
式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。
离子乙运动的圆周的圆心必在两点之间，又几何关系有
由⑨式得
⑩
联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为
（3）对于最轻的离子，其质量为，由④式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。
因而与的交点为，有
当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边趋向于点。
点到点的距离为
所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：
边上从到点。
边上从到。
评分参考：
第
（1）问11分，①②式各1分，③式2分，④⑤式各2分,⑦式3分.
第
（2）问6分，⑧式1分，⑨式2分，式3分
第（3）问4分对于磁场边界上可能有离子达到的区域，答出“边上从到”给2分，答出“边上从到”，给2分
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