数学建模如何客观合理的评价学生学习状况Word格式文档下载.docx
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由于每个学期的评价体系存在一定的波动，例如考核中不可避免的难易程度的变化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性。
为了消除学期之间的差异，为此将正态分布再经过变换为标准正态分布，使得同一学生在不同学期的成绩具有更可靠的可比性。
由此我们最终得到了标准化的成绩，称之为“有效成绩”，并运用该成绩对学生的学生状况进行评价。
3．模型假设
1.假设总成绩总分都是100分；
2.假设两个学期的学生人数未发生改变；
3.假设每位同学的学习考试环境相同；
4.假设每位同学的学习能力基本保持不变；
5.假设数据中的零是特殊情况导致的；
6.假设影响学生成绩的因素主要有真实成绩与进步程度。
4．符号说明与名称解释
4.1符号说明
i第i个学生，i=1,2…199
j第j个指标，j=1,2,…7
学生第
学期的成绩n=1,2
学生每学期的进步程度
学生
的综合评定指数
为实际学习成绩
为学习成绩进步度
表示第
个学生第
学期的成绩
学期的进步度
4.2名称解释
1.黑尔指数转换:
用指数方差确定进步幅度和难度，并根据高低分的进步幅度，以不同的难度权重，最后根据粗测验获得的“进步分”的多少来进行评价。
2.层次分析：
3.成绩标准化模型：
采用对数变换将负偏态的成绩分布正态化的模型。
5．模型的建立与求解
5.1对成绩进行分析
利用所给13级大一成绩进行统一，得到了学生成绩总体分布的情况如图所示。
数据处理时把成绩分为四个等级。
80分及以上为优秀，70分到80分之间为良好，60分到70分之间为合格，小于60分为不及格。
从结果可看出，成绩优秀和良好的同学居多。
但是第二学期优秀人数下降，良好人数上升。
不及格人数也上升。
说明专业课程难度增加，学生需要更努力才能更上专业课难度的上升。
利用Excel对统计的数据进行进一步分析，得到模型需要的相关数据。
如下：
Excel对统计后数据进一步分析计算得到的表格如下：
由上表可以得出：
一、二、学期的偏度为负，说明呈负偏态分布，即分数小于平均分的学生比大于平均分的学生多。
同时我们还可以得到以下结论：
（1）、两个学期的及格率均在97%以上，可以肯定大部分学生的学习能力；
（2）、第二学期的标准差较第一学期的大，说明第二个学期的分数较为分散，学生的差距较大；
（3）、两个学期中，分数大于90分的学生比较少，所以该学校应该加强尖子生这块的培养；
（4）、两个学期的总平均成绩在75分左右，学生的总体学习情况良好。
5.2.评价学生的学习情况
5.2.1所给成绩数据处理
进步得分的计算：
黑尔指数转换:
（1）根据原始的黑尔指数表格回归分析出T分与进步分公式，
根据黑尔指数换算表回归分析出T分与相应的进步分y的关系：
y=0.09966*1.0473T,得到进步分yij。
先是利用公式
，其中xij是第i个学生第j学期的成绩，
j,xj分别每个学期的学生的总体的平均分与标准差。
利用这个公式将成绩转换为T分。
将两学期两次额成绩分别转换成T分，然后将T分转换为进步分，见附录。
MATLAB计算程序见附录
以下表是学号前二十位学生为例所求的T分和进步分
层次分析法:
我们借用该方法建立评价生成绩。
在层次分析法中，同一层中的各项成绩对上一层的贡献程度不是均等的，带有不同的权重，总成绩按加权平均计算。
以下为大一两学期科目所对应字母设置：
第一学期
高等数学ⅠA
计算机工程制图
大学计算机基础Ⅰ
电路分析
a
b
c
d
思想道德修养与法律基础
体育
电子测量技能训练
军训和军事理论Ⅰ
大学外语ⅠA
e
f
g
h
i
第二学期
马克思主义基本原理概论
大学生职业发展与就业指导Ⅰ
大学外语ⅠB
中国近现代史纲要
概率论与数理统计
模拟电路
大学物理Ⅱ
C语言程序设计
E
F
G
H
I
A
B
C
D
最终成绩Y=0.55*专业课程+0.4*其他课程+0.05*进步分数
以下权系数的设置根据本小组同学对本专业了解。
专业课程和其他课程的分配也是本小组观点，不代表学院分配。
由于能力有限抑或是对本专业了解还不够深入，权限系数的设置有待优化。
专业课=一二学期平均
第一学期专业课成绩=0.3*a+0.2*b+0.2*c+o.3*d
第二学期专业课成绩=0.2*a+0.3*b+0.2*c+o.3*d
其他课程=一二学期平均
第一学期其他课程成绩=0.2*e+0.25*f+0.2*g+o.1*h+0.25*i
第二学期其他课程成绩=0.25*E+0.2*F+0.1*G+o.25*H+0.2*I
以下表是学号前二十位学生为例所求的最终成绩
所有数据见附录
5.2.2成绩标准化模型
原始成绩的标准化
下面讲述如何将原始成绩变换为标准化的成绩。
第一步：
原始成绩的正态化及其检验
假设
（i=1,2,……612）为612个学生的某一学期的原始成绩,由将偏态分布变换为正态分布的对数变换法，令：
此时这些学生的变换成绩yi满足正态分布。
由于该函数是单调递减函数，原始成绩高的反而变换成绩低，为了与传统习惯保持一致，再经过下述变换
，此时的
为正态化之后的成绩。
从频次直方图可以看出
基本符合正态分布。
为了进一步验证成绩分布是否为正态分布，我们用matlab进行了正态性检验，检验程序见附录。
检验结果如图所示，从图中可以看出实际观测值与期望值在中央横线的一段，坐标点落在中央横线附近，在中央横线的两端则有一定的偏离，但绝大部分偏离值均小于0.05，仅有个别点偏离较大。
可见，学期1,2的成绩呈现正态分布。
第二步：
将正态分布标准化
因为
已是正态分布，因而可由正态分布转化为标准正态分布的相关公式，将
转化到服从标准正态分布，得：
有效成绩
i=1，2，……612
均值为
，
方差为σ2=
。
这就是我们所定义的有效成绩。
下表是我们应用EXCEL，由两学期原始成绩计算的有效成绩
（由于篇幅有限成绩列表均只列出部分成绩，所有成绩见附录）。
图为有效成绩
的频次分布直方图，可以看出它已很好的符合正态分布。
标准正态化程序见附录。
由于篇幅有限，以下为学号前二十位同学的有效成绩：
第一学期第二学期
学号正态分布成绩有效成绩正态分布成绩有效成绩
222013333210001
153.6149
-12.39978461
142.1672
-9.310990074
222013333210002
154.1093
-0.971879522
142.6904
0.64728808
222013333210003
154.0695
-1.891844374
142.4548
-3.836982434
222013333210004
153.95
-4.654050399
142.4926
-3.117519678
222013333210005
154.1508
-0.012619689
142.6749
0.352270283
222013333210006
154.1352
-0.373208928
142.7181
1.174513433
222013333210007
154.2107
1.371950527
142.6188
-0.715503808
222013333210009
154.172
0.47741184
142.9323
5.251469054
222013333210010
154.4228
6.274577287
143.2117
10.56940276
222013333210011
154.3297
4.122599204
142.8696
4.058074482
222013333210012
142.4487
-3.953086213
222013333210013
154.2163
1.501392818
142.9473
5.536970148
222013333210014
153.9205
-5.335933894
142.3891
-5.087477226
222013333210015
154.0551
-2.224695979
142.7591
1.95488309
222013333210016
153.9246
-5.241163646
142.4579
-3.777978875
222013333210017
154.2928
3.269666967
142.8837
4.32644551
222013333210018
154.1404
-0.253012515
222013333210019
154.0409
-2.552924644
142.3748
-5.359654935
222013333210020
154.4655
7.261574754
142.9273
5.156302023
此时应用有效成绩已经能够对学生的学习情况进行公平、合理的评价，因为原始分数没有比较的参照点，故而不可比。
而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准，以标准差作为单位，而且它的基本形式都是平均数为零、标准差为1。
因而无论不同学期成绩的平均分和标准差多么不同，一经转换为均值为零和标准差为1的标准分数，则不同学期成绩所处的相对地位是平行的，从而有了可比性。
这时学生学习状况的评定不再是简单的绝对分的比较，名次的提高，也即进步成为了决定学生成绩的重要因素。
有的同学虽然总分不高，但是根据有效成绩却排名靠前，充分肯定了学生的进步。
图5
第三步：
基于有效成绩的等级评定
在将原始成绩化为符合标准正态分布的数据之后，我们将建立一种评分制度——标准化分数为基础的成绩标准化评价模型。
：
为总体算术平均值
为总体标准差
我们根据落入
和
内外的概率来确定成绩的等级，取落人
内的概率为68％，落入
外的概率为10.075％，落入余下的概率为21.5％，则可确定优秀、不合格各占50％，良好、台格各占10.075％，中等占69.35％。
各等级的对应分数线为概率等级分数线（DP），经对数变换的成绩数据还原成原始分数，即为各等级的分数。
经计算可得各等级分数线表，如下所示：
以第一学期的为例，原始分数高于85的认定为优秀，而低于71.11的认定为不合格，但在这种评定标准中优秀与不合格所占比例较小，大部分的人集中在中等层次，从来相对于一般的评定标准更多的人上升到了合格或中等。
但这一评定标准是建立在整体成绩为正态分布的基础上的，从而当出现因为试卷人为的过于简单而了导致大量学生的成绩偏高时，运用该评定方法则可以提高不合格或合格的分数线，维持整体的正态分布，从而保证了评价的合理、公平。
6．模型的评价与推广
模型的评价：
学生学习状况评价模型:
层次分析法
优点：
层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。
特别对于专业性要求很高的工科专业，此方法更有利于选拔专业素养好的学生。
同时也对进步大的学生有所鼓励，激起他们对学习的兴趣。
缺点：
仍在一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定方式有待进一步的改进。
成绩标准化模型
通过标准化过程，使学生成绩呈正态分布，让一些成绩靠后的学生能进入中间水平，同时各个学期的成绩经过标准化之后具有了可加性，相加的最终结果能正确的反映学生的整体水平，而不是在绝对分数中只靠几次突出的成绩就能提高得到好的名次，从而更加公平、合理。
正态化的方法还要进一步探讨，从而让结果能有更好的正态性。
参考文献
周凯等人编著《数学建模竞赛辅导教程》浙江大学出版社2009年8月第一版;
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高等教育出版社，2003，224-229。
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韩中庚，数学建模的方法及其应用[M],北京：
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翁洁静，标准分制度在成绩统计过程中的应用[A]，1-3页，（2009）04-0027-03。
附录：
MATLAB程序
第一学期原始数据
第二学期原始数据
T分、进步分的计算程序
正态化计算程序
标准正态化计算程序
附录一
T分和进步分
第1学期
第2学期
学号
T分
进步分
18.1894
0.231
23.53
0.2957
48.9243
0.9561
52.348
1.12
46.9704
0.8735
41.2138
0.6695
40.6259
0.6515
43.1787
0.7331
50.8781
1.0464
51.6931
1.0866
50.1537
1.012
53.4942
1.1809
53.5565
1.1843
49.237
0.97
51.8441
1.0942
61.3536
1.6981
61.8549
1.7379
69.3768
2.4603
58.4301
1.4835
59.225
1.539
40.8863
0.6594
53.798
1.1976
61.8448
1.7371
38.9354
0.6026
37.6115
0.5668
46.246
0.8448
55.1316
1.2737
39.1769
0.6093
41.3775
0.6745
56.9812
1.3874
59.7162
1.5743
50.3952
1.0233
45.5215
0.8169
36.7929
0.5458
63.3258
1.8601
61.1889
1.6853
222013333210021
46.7809
0.8659
222013333210022
57.2227
1.403
57.9151
1.4486
222013333210023
57.9472
1.4507
63.9734
1.9166
222013333210024
35.7522
0.5201
40.5588
0.6495
222013333210025
40.3844
0.6443
47.9271
0.913
222013333210026
54.0394
1.21
45.1435
0.8028
222013333210027
49.1658
0.9668
45.3073
0.8089
222013333210028
34.5447
0.4919
35.1555
0.506
222013333210029
55.0273
1.2676
52.6755
1.137
222013333210030
42.8212
0.7211
39.4127
0.616
222013333210031
45.258
0.807
222013333210032
30.154
0.4016
35.4829
0.5137
222013333210033
26.4878
0.339
29.8613
0.3962
222013333210034
56.2348
1.3403
54.4766
1.2357
222013333210035
63.5673
1.881
63.8097
1.9022
222013333210036
58.6936
1.5016
59.88
1.5863
222013333210037
52.8392
1.1457
222013333210038
1.211
60.0437
1.5983
222013333210039
59.5525
1.5624
222013333210040
44.0506
0.7632
50.2194
1.015
222013333210041
51.2018
1.0622
222013333210042
61.6134
1.7186
51.5293
1.0784
222013333210043
55.2688
1.2818
222013333210044
46.7289
0.8638
51.3656
1.0702
222013333210045
41.6138
0.682
45.9622
0.8337
222013333210046
63.646
1.8878
222013333210047
56.4415
1.3532
222013333210048
56.7397
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