中国石油大学1线性代数A32答案及评分标准Word文件下载.docx
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二
三
四
五
六
总分
本页满分
15
21
24
16
12
本页得分
阅卷人
注意事项:
1.请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸;
2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;
四.计算下列各题(共5小题,每小题8分,共计40分)
本页满分24分
1.计算行列式D=
.(8分)
解:
将行列式的2、3、4列都加到第一列,然后第一列提出公因子,得
D=
……………(4)
将第一列乘以(—2)后加到其余各列,得
D=
……………………(8)
2.设矩阵
求矩阵
由
,得:
……………………………(4)
验证知矩阵
是可逆的,所以
……………………(8)
3.设矩阵
有3个线性无关的特征向量,
2是
的二重特征值,求
,
.(8分)
由已知,得
又因为
,故
.……………………………(8)
本页满分16分
4.设向量组
,
求该向量组的秩和一个最大无关组.(8分)
记
………………(4)
故知:
向量组的秩为3,………………………………………………………(6)
是一个最大无关组.…………………………………………(8)
5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知
是它的三个解向量,且
,求该方程组的通解.(8分)
易知,
是该方程组的导出组的一个基础解系,…………(4)
则该方程组的通解为:
…………(8)
本页满分12分
五、(12分)
设有三维向量组
问
取何值时,
(1)
可由
线性表示,且表达式唯一?
(2)
线性表示,但表达式不唯一?
(3)
不能由
线性表示?
设
,该方程组的增广矩阵为
…………(6)
(1)当
时,
,方程组有唯一解,则
线性表示,且表达式唯一;
…………(8)
(2)当
,方程组有无穷多解,则
线性表示,但表达式不唯一;
…………(10)
(3)当
,方程组无解,则
线性表示。
…………(12)
六、(12分)
设二次型
,其中二次型的矩阵
的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求
的值;
(2)利用正交变换将此二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
(1)
的矩阵为
,由已知
………………
(2)
所以
.………………………(4)
特征多项式为:
特征值为:
。
………………………(6)
对于
,解齐次线性方程组
,得特征向量
………………………(8)
容易验证
是正交向量组,单位化得
………………………(10)
故所求正交变换为:
,其中,正交变换矩阵为:
标准型为:
………………………(12)