中国石油大学1线性代数A32答案及评分标准Word文件下载.docx
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二
三
四
五
六
总分
本页满分
15
21
24
16
12
本页得分
阅卷人
注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
四．计算下列各题（共5小题，每小题8分，共计40分）
本页满分24分
1.计算行列式D=
.（8分）
解：
将行列式的2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得
D=
……………（4）
将第一列乘以（—2）后加到其余各列，得
D=
……………………（8）
2.设矩阵
求矩阵
由
，得：
……………………………（4）
验证知矩阵
是可逆的，所以
……………………（8）
3．设矩阵
有3个线性无关的特征向量,
2是
的二重特征值，求
，
.（8分）
由已知，得
又因为
，故
.……………………………（8）
本页满分16分
4.设向量组
，
求该向量组的秩和一个最大无关组.（8分）
记
………………（4）
故知：
向量组的秩为3，………………………………………………………（6）
是一个最大无关组.…………………………………………（8）
5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知
是它的三个解向量，且
，求该方程组的通解.（8分）
易知，
是该方程组的导出组的一个基础解系，…………（4）
则该方程组的通解为：
…………（8）
本页满分12分
五、（12分）
设有三维向量组
问
取何值时，
（1）
可由
线性表示，且表达式唯一？
（2）
线性表示，但表达式不唯一？
（3）
不能由
线性表示？
设
，该方程组的增广矩阵为
…………（6）
（1）当
时，
，方程组有唯一解，则
线性表示，且表达式唯一；
…………（8）
（2）当
，方程组有无穷多解，则
线性表示，但表达式不唯一；
…………（10）
（3）当
，方程组无解，则
线性表示。
…………（12）
六、（12分）
设二次型
，其中二次型的矩阵
的特征值之和为1，特征值之积为-12.
（1）求
的值；
（2）利用正交变换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
（1）
的矩阵为
，由已知
………………
（2）
所以
.………………………（4）
特征多项式为：
特征值为：
。
………………………（6）
对于
，解齐次线性方程组
，得特征向量
………………………（8）
容易验证
是正交向量组，单位化得
………………………（10）
故所求正交变换为：
，其中，正交变换矩阵为：
标准型为：
………………………（12）
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