圆-综合练习题Word下载.doc
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（2）若的边长为a，求的面积.
11．如图，在△ABC中，∠BCA=90°
，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°
，AP=，求⊙O半径的长.
12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，，
若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．
第13题图
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.
EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值.
14．（应用性问题）已知：
如图，为了测量一种圆形零件的精度，在
加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°
的直角三角尺按图
示的方式测量.
（1）若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.
求证:
⊙O与AE相切；
（2）在满足
（1）的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求的弧长.
二、圆与相似综合
15．已知：
如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°
，∠ABC=15°
，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：
（3）求的值.
16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在BC上取一点，分别作直线，交直线于点.
⑴求和的度数；
⑵求证：
∽；
图1
⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取
图2
在上，仍作直线，分别交直线于点.
试判断：
此时是否仍有∽成立？
若成立请证明你的结论；
若不成立，请说明理由。
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作⊙O的切线交轴于点A（如图1）。
⑴求⊙O半径；
⑵求的值；
⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？
请说明理由。
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？
19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？
若存在，求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．
（1）求的值及二次函数顶点的坐标；
（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，
再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点
和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，
若存在，求出点的坐标；
若不存在，请说明理由.
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中,图
（1）是一个扇形OAB，将其作如下划分：
第一次划分：
如图
（2）所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交于点C，交于点C1，得到扇形的总数为6个，分别为：
扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；
第二次划分：
如图（3）所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分：
如图（4）所示，按上述划分方式继续划分；
……依次划分下去.
（1）根据题意,完成右边的表格；
（2）根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为2008个?
为什么?
（3）若图
（1）中的扇形的圆心角∠AOB=m°
，且扇形的半径OA的长为R．我们把图
（2）第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；
把图（3）第二次划分的最小扇形面积记为S2；
……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求的值.
22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作（如图①）请回答下列问题：
（1）如图②，猜测并说明理由；
（2）如图③，猜测并说明理由.
图③
（提示：
“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
图①
图②
23．已知：
半径为R的⊙经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点．
（1）如图1，连接O交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求的值；
（2）若点C为⊙O上一动点.
①当点C运动到⊙内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点．请你探索的值与
（1）中的结论相比较有无变化？
并说明你的理由；
②当点运动到⊙外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）．
北京市丰台区2015-2016学年度第一学期初三数学
第24章圆综合练习题
1．解：
，.
，．
又，
． ．
．
（舍负）．
（2）直线与相切．
连接．为的直径，．
在中，由勾股定理，得．
（或，是等边三角形，．
，．）
．⊥．
又点A在圆上，直线与相切．
2．
（1）证明：
连接DO.
∵是等边三角形，∴∠C=60°
，∠A=60°
，
∵OA=OD，∴是等边三角形.∴∠ADO=60°
.
∵DF⊥BC，∴∠CDF=30°
.
∴∠FDO=180°
-∠ADO-∠CDF=90°
.∴DF为⊙O的切线.
（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.
Rt中，∠CDF=30°
，∴CF=CD=1.∴DF=.
（3）连接OE，由
（2）同理可知E为CB中点，∴.
∵，∴.
∴．
∴．
3、
（1）证明：
连接，如图
，且过圆心
，，是等边三角形．
在中，，点为的中点
（2）解：
在中，
又，
4．
（1）证明：
由已知得∠ACB=90°
，∠ABC=30°
，
∴∠Q=30°
，∠BCO=∠ABC=30°
∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°
∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.
设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.
∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，
∴BP=AB－AP=PO=AP－AO=，
∴BP∶PO=.
5.解：
（1）连接OE,∵E为的中点，∴．∴.
∵，∴.∴.∴OE∥BC.
∵BC⊥AC，∴∠C=90°
.∴∠AEO=∠C=90°
.即OE⊥AC.
又OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线.
（2）设的半径为，
∵，∴.∴.∴.
∵OE∥BC，∴.∴.即∴.
（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.
6.解：
（1）证明：
联结BP．
∵ AB2=AP·
AD，∴ =．
∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC.
（2）由
（1）知AB=AC．∵∠ABC=60°
，∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°
，∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°
，
∴∠BAP=90°
，∴ BP是⊙O的直径，∴ BP=2，∴AP=BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得 AB2=BP2－AP2=3， ∴AD==3．
AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过
点D.
7.
（1）证明:
如图1，连接OD.
∵OA=OD,AD平分∠BAC,
∴∠ODA=∠OAD,∠OAD=∠CAD.
∴∠ODA=∠CAD.
∴OD//AC.
∴∠ODB=∠C=90°
∴BC是⊙O的切线.图1
（2）解法一:
如图2，过D作DE⊥AB于E.
∴∠AED=∠C=90°
又∵AD=AD,∠EAD=∠CAD,
∴△AED≌△ACD.
∴AE=AC,DE=DC=3.
在Rt△BED中，∠BED=90°
由勾股定理，得
BE=.图2
设AC=x（x>
0）,则AE=x.
在Rt△ABC中，∠C=90°
BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理，得x2+82=（x+4）2.
解得x=6.即AC=6.
解法二:
如图3，延长AC到E，使得AE=AB.
∵AD=AD,∠EAD=∠BAD,
∴△AED≌△ABD.
∴ED=BD=5.
在Rt△DCE中，∠DCE=90°
由勾股定理，得
CE=.………………………5分图3
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
BC=BD+DC=8,由勾股定理，得AC2+BC2=AB2.
即AC2+82=（AC+4）2.解得AC=6.
8、证明：
（1）连结BD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴．∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．即：
∠ACO=∠BCD．
解：
（2）由
（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.
∴△ACE∽△CBE．
∴∴CE2=BE·
AE．
又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
9．解：
（1）延长AD与⊙O交于点G．
∵直径BC⊥弦AG于点D，
∴．
∴∠AFB=∠BAE．
∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE．
∴∠ABE=∠AFB．∴AB=AF．
（2）在Rt△EDB中，sin∠FBC=．
设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD=4x．
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2．
∵AB=4，∴．
∴x=1（负舍）．∴AD=8x=8．
（3）求证：
（4）若的边长为a，求的面积.
10.
（1）是等边三角形,,,
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE.
,有DE//AC.
（2）分别连结OD、OE,作EHAC于点H.
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
，OD=OE，AD=EC.
有AO=OC=.
圆O的直径等于的高,得半径OG=,CG=OC+OG=+.
,EH=.
CGEH=（+）·
=.
11、解：
（1）直线PQ与⊙O相切.
连结OP、CP.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°
.
又∵Q是AC的中点，∴PQ=CQ=AQ.
∴∠3＝∠4.
∵∠BCA=90°
，∴∠2+∠4=90°
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3=90°
.
即∠OPQ=90°
∴直线PQ与⊙O相切.
（2）∵∠A＝30°
，AP=，
∴在Rt△APC中，可求AC=4.
∴在Rt△ABC中，可求BC=.
∴BO=.∴⊙O半径的长为.
12、解:
连结OA.
由C是OB的中点,且,可证得∠OAB=90°
.
则∠O=60°
.可求得OA=AC=2.
过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．
则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高.
在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°
解得.所以.
故.
即.
13.证明：
（1）联结OD
∵OC=OD∴∠ODC=∠OCD
又∵AB=AC∴∠OCD=∠B
∴∠ODC=∠B∴OD∥AB
∵ED是⊙的切线，OD是⊙的半径
∴OD⊥EF∴AB⊥EF
（2）联结AD、CG
∵AD是⊙的直径
∴∠ADC=∠AGC=90°
∵AB⊥EF∴DE∥CG
∴∠F=∠GCA
∵AB=AC∴DC=BC=5
Rt△ADC中，
∵ADBC=ABCG
∴CG=
Rt△CGA中，cos∠GCA=
∴cos∠F=
如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°
的直角三角尺按图示的方式测量.
（2）在满足
（1）的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，
且AF=3，求的弧长.
14.解:
连结OB、OA、OC.
根据题意,∠OCA=90°
.
在△ABO与△ACO中,
AB=AC,OA=OA,OB=OC,
所以△ABO≌△ACO.
所以∠OCA=∠OBA=90°
.则AE是圆的切线.
（2）因∠OCA=∠OBA=90°
且∠EAD=∠FAG=30°
则∠BAC=120°
.
又,∠OAC=60°
故.
所以的长为.
，AD∥OC并交BC的延长线于D，
OC交AB于E.
图3
15．
（1）解：
如图3，连结OB.
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°
（2）证明：
∵∠BAC=45°
，∠D=45°
∴∠BAC=∠D.
∵AD∥OC，∴∠ACE=∠DAC.
∴△ACE∽△DAC．
∴．∴．
图4
（3）解法一：
如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA.
∵AD∥OC，∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°
∴∠OBA=∠OBC－∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA＋∠OAB=60°
，∠OAF=30°
∴.
∵AD∥OC，∴△BOC∽△BFD．
∴．∴，即的值为2.
解法二：
作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以.
16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在上取一点，分别作直线，交直线于点.
⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取在上，仍作直线，分别交直线于点.试判断：
（1）（第16题）
（2）
16．解：
（1）∵AB为直径，，∴，.
在中，∵，∴.∴.
又∵,
∴.
∵,∴.
在和中，，
∴≌.∴.
又∵，∴.
∴∽
（3）结论仍成立.证明如下：
∵，
又∵，
∵AB为直径，，
在和中，
∴≌.
∴.∴∽.
⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索
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