称球问题及其推广文档格式.docx
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B2或者B1>
B2,则B3为正常组,以B1<
B2为例说明
表达式EXP0:
a9+a10<
a11+a1
========(第三次)取a9a10进行比较,如果
1.2.1a9=a10则a11为异常球
1.2.2a9!
=a10则a11为正常球,根据EXP0,异常球质量小于正常球,即
a9与a10轻者为异常球
2 A1<
A2或者A1>
A2,则A3为正常组;
以A1<
A2说明:
得表达式1:
EXP1:
a1+a2+a3+a4<
a5+a6+a7+a8
表达式2:
EXP2:
a9=a10=a11=a12=w
a1,a2,a3
a4,a5,a9
a6,a7,a8
====(第二次)取B1或B3与B2比较,以B1为例说明:
2.1B1<
B2则B3为正常组
即:
EXP4:
a1+a2+a3<
a4+a5+a9
EXP5:
a6=a7=a8=w
其中a9=w
关联EXP1:
a5+a6+a7+a8
相减 a4<
-a4+2w
a4<
w
则异常球为 a4
2.2B1>
EXP6:
a1+a2+a3>
EXP7:
a5+a6+a7+a8
转换EXP1:
-a1-a2-a3-a4>
-a5-a6-a7-a8
相加-a4>
a4-2w
a4>
2.3B1=B2则B3为异常组
得表达式3:
EXP3:
a1=a2=a3=a4=a5=w
关联 EXP1:
a5+a6+a7+a8
得3w<
a6+a7+a8
即推出如下结论
1)异常球质量大于正常球
2)异常球在B3(a6,a7,a8)中
========(第三次)比较任意的两个--a6,a7,如果
a6=a7,则异常球为a8
a6<
a7,则异常球为a7
a6>
a7,则异常球为 a6
称球问题三
说明
这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。
正因为需要做到一般和严格,就要考虑许多平时遇不到的特别情形,所以叙述比较繁琐。
如果对读者对严格的证明没有兴趣,可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节,以及第三节末尾27个球的例子,和第五节13个球和40个球的解法。
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。
一、问题
称球问题的经典形式是这样的:
“有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十一个有轻微的(但是可以测量出来的)差别。
现在有一架没有砝码的很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准球重还是轻。
”
这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。
它的一种解法如下:
将十二个球编号为1-12。
第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边。
就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号,
则它比标准球轻;
如果是5号,则它比标准球重。
第三次将1号放在左边,2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻;
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重;
3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻。
第三次将2号放在左边,3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻;
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻;
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重。
第三次将6号放在左边,7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重;
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重;
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡,则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边,10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重;
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重;
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边,12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重;
2.这次不可能平衡;
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻;
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻;
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在1-8号。
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻。
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻;
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻;
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重。
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重;
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重;
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。
则它比标准球重;
如果是5号,则它比标准球轻。
1.这次不可能右重。
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻;
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重;
够麻烦的吧。
其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行。
我把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家。
稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。
如果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能平衡(就是上面的第2.2.2步),那么我们可以肯定坏球是13号球,可是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重。
如果给的是十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球。
一个自然而然的问题就是:
对于给定的自然数N,我们怎么来解有N个球的称球问题?
在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题:
⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确是最小的;
⑵给出最小次数称球的具体方法;
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决以上两个问题;
还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是:
⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题。
二、记号
我们先不忙着马上着手解决上述问题。
先得给出几个定义,尤其是,要给出比较简单的符号和记法。
大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题!
仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。
在还没有开始称第一次时,我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻,或较重的坏球,所以以下24种情况都是可能的:
1.1号是坏球,且较重;
2.2号是坏球,且较重;
……
12.12号是坏球,且较重;
13.1号是坏球,且较轻;
14.2号是坏球,且较轻;
24.12号是坏球,且较轻。
没有其他的可能性,比如说“1、2号都是坏球,且都较重”之类。
当我们按上面解法“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”称过第一次以后,假设结果是右重,稍微分析一下,就会知道上面的24种情况中,现在只有8种是可能的,就是
1.1号是坏球,且较轻;
2.2号是坏球,且较轻;
3.3号是坏球,且较轻;
4.4号是坏球,且较轻;
5.5号是坏球,且较重;
6.6号是坏球,且较重;
7.7号是坏球,且较重;
8.8号是坏球,且较重。
我们把诸如“1号是坏球,且较重,其他球都正常”和“2号是坏球,且较轻,其他球都正常”这样的情况,称为一种“布局”,并记为:
(1重) 和 (2轻)
我们把“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”这样的步骤,称为一次“称量”。
我们把上面这次称量记为
(1,2,3,4;
5,6,7,8)
或
(1-4;
5-8)
也就是在括号内写出参加称量的球的号码,并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。
在最一开始,我们有24种可能的布局,而在经过一次称量(1-4;
5-8)后,如果结果是右重,我们就剩下上述8种可能的布局。
我们的目的,就是要使用尽量少的称量,而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球,它是比较重还是比较轻。
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。
因为坏球和标准球重量之间的差别很小,小于标准球的重量,所以当天平两边球数不一样时,天平一定向球比较多的那边倾斜。
所以在进行这样一次称量之前,它的的结果就可以被预料到,它不能给我们带来任何
新的信息。
事实上在看完本文以后大家就很容易明白,即使坏球和标准球重量之间的差别很大,也不会影响本文的结论。
因为考虑这种情况会使问题变麻烦,而并不能带来有趣的结果,我们就省略对此的考虑。
现在我们看到,上面关于十二个球问题的解法,其实就是由一系列称量组成的——可不是随随便便的组合,而是以这样的形式构成的:
称量1
如果右重,则
称量3
……
如果平衡,则
称量2
如果左重,则
称量4
省略号部分则又是差不多的“如果右重,则……”等等。
所以这就提示我们用树的形式来表示上面的解法:
树的根是第一次称量,它有三个分支(即三棵子树,于是根有三个子节点),分别对应着在这个称量下的右重、平衡、左重三种情况。
在根的三个子节点上,又分别有相应的称量,和它们的三个分支……如果具体地写出来,就是
|--右--(1轻)
|--右--(1;
2)|--平--(5重)
||--左--()
|
||--右--(2轻)
|--右--(1,6-8;
|--平--(2;
3)|--平--(4轻)
|5,9-11)||--左--(3轻)
||
|||--右--(7重)
||--左--(6;
7)|--平--(8重)
||--左--(6重)
||--右--(10重)
||--右--(9;
10)|--平--(11重)
|||--左--(9重)
|||--右--(12重)
(1-4;
5-8)|--平--(1-3;
|--平--(1;
12)|--平--(13轻,13重)*
|9-11)||--左--(12轻)
|||--右--(9轻)
||--左--(9;
10)|--平--(11轻)
||--左--(10轻)
||--右--(6轻)
||--右--(6;
7)|--平--(8轻)
|||--左--(7轻)
|||--右--(3重)
|--左--(1,6-8;
3)|--平--(4重)
5,9-11)||--左--(2重)
||--右--()
|--左--(1;
2)|--平--(5轻)
|--左--(1重)
(*:
对应十三个球的情形。
)
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”所对应的分支。
在树的叶子(就是最右边没有子节点的那些节点)部分,我们标出了“能够到达”这些节点的布局,也就是说在进行每一节点上的称量时,这个布局所给的结果和通往相对应的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。
从这个图我们也可以清楚地看到,根下的左分支和右分支是对称的:
只需要把所有的“右”改成“左”,“左”改成“右”,“轻”改成“重”,“重”改成“轻”;
节点(1-3;
9-11)下的左分支和右分支也有这个特点。
(如果有朋友对树理论感兴趣,可以参考随便哪一本图论或者离散数学的书。
在这里我们只用到树理论里最基本的知识,所用的名词和结论都是相当直观的。
所以如果你不知道树理论,用不着特别去学也可以看懂这里的论证。
所以给定一棵三分树(就是说除了叶子以外其他的节点都有三个子节点的树),在每个不是叶子的节点上给定一个称量,并且规定这个节点下的三个分支(子树)分别对应右重、平衡、左重的情况,我们就得到了一种称球的方法。
我们把这样一棵三分树称为一个“策略”或一棵“策略树”。
你可以给出一个平凡的策略,比如说无论发生了什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称(在叶子上我们没有写出相应的布局,用@来代替):
|--右--@A
|--右--(1;
2)|--平--@
||--左--@
||--右--@
(1;
2)|--平--(1;
||--右--@B
||--右--(1;
|||--左--@
|||--右--@
|--左--(1;
|--左--@
当然这么个策略没什么用场,只能让我们知道1号球和2号球之间的轻重关系。
另外我们看到,每个分支不一定一样长,上面这棵策略树根下面左分支就比较长。
一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。
比如说上面这个图中,叶子A和根间有1个节点,而叶子B和根间有2个节点,没有和根之间的节点数超过2的叶子。
所以它的高度是2+1=3。
前面十二球解法策略树的高度也是3。
一棵没有任何分支,只有根节点的树,我们定义它的高度是0。
显然,策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。
我们的目的,就是找到一棵“好”的策略树,使得它的高度最小。
什么是“好”策略?
我们回过头来再看十二球解法策略树。
我们说过,叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。
比如说布局(7重),它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“右左右”;
又比如说布局(11重),它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“平右平”。
如果两个布局通向同一片叶子,那么就是说按照这个策略,三次称量的结果是完全一样的,于是我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。
比如说在十三个球的情况下,(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子,这两个布局中13号球或者轻或者重,于是我们知道13号球一定是坏球,但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。
所以对于标准的称球问题(找出坏球并知其比标准球重或轻)的“好”策略,就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号:
对于任意实数a,我们用{a}表示大于等于a的最小整数,比如说{2.5}=3,{4}=4;
我们用[a]表示小于等于a的最大整数,比如说[2.5]=2,[4]=4。
我们首先考虑这样一种布局的集合。
假设m,n为两个非负实数,不同时为0。
在编号从1到m+n的m+n个球中,我们知道1到m号球要么是标准球,要么比标准球重,而m+1到m+n号球要么是标准球,要么比标准球轻;
我们还知道其中有一个是坏球(但不知轻重)。
换句话说,我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一:
m.m号是坏球,且较重;
m+1.m+1号是坏球,且较轻;
m+2.m+2号是坏球,且较轻;
m+n.m+n号是坏球,且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0,也就是说坏球的是轻还是重已经知,常常被用来单独作为智力题。
结论1:
1)在以上条件成立的情况下,要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重,至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1,那么称{log3(m+n)}次就足够了。
如果
m=n=1,并且另有一标准球,那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
次也足够了。
这里log3表示以3为底的对数。
需要对2)作点说明。
如果m=n=1而没有标准球的话,那么是永远也称不出坏球来的。
把两个球一边一个放在天平上,必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球,我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的,还是坏球比较轻所以2号是坏的。
如果有标准球,只要把1号球和标准球比较一下。
如果天平不平衡,那么1号球是坏球,且比较重;
如果天平平衡,那么2号球是坏球,且比较轻。
策略树如下:
(用s表示标准球)
|--右--()
s)|--平--(2轻)
|--左--(1重)
现在来证明1)。
在上面我们看到,可能的布局是m+n种(1重,2重,……,m重,m+1轻,m+2轻,……,m+n轻)。
假设我们已经有一个策略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重,那么每一个布局都要通向策略树上的不同叶子,这棵策略树至少需要有m+n片叶子。
但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。
于是这棵策略树必须满足条件
3H≥m+n
也就是
H≥log3(m+n)
考虑到H是整数,我们就证明了
H≥{log3(m+n)}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树,使得m+n种布局通向它的不同叶子。
我们对k=m+n使用数学归纳法。
首先k=1。
那么称都不要称,因为必有一坏球,那么坏球就是唯一的1号球。
如果是m=1,n=0,那么1号球比较重;
如果是m=0,n=1,那么1号球比较轻。
需要的称量次数为{log3
(1)}=0。
对于k=2。
m=1,n=1的情况已经讨论过了。
考虑m=2,n=0。
这时我们知道坏球比较重。
只要把1号球和2号球放在天平两边一称,哪个比较重哪个就是坏球。
|--右--(2重)
2)|--平--()
m=0,n=2的情况完全类似。
假设对于m+n<k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球。
考虑m+n=k的情况。
我们把1到m号球称为第一组球,m+1到n号球称为第二组球。
设H={log3(m+n)}={log3(k)}。
那么我们有
3H-1<k≤3H
3H-2<k/3≤3H-1
3H-2<{k/3}≤3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1。
现在我们把这k个球分为三堆,第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,并且这两堆中属于第一组的球的数目一样(于是属于第二组的球的数目也一样),第三堆中有k-2{k/3}个球(也就是其余的球)。
举一个例子,如果m=7,n=3,那么这三堆可以分成这样:
(当然不是唯一的分法)
第一堆:
1,2,3,7 (属于第一组的3个,第二组的1个)
第二堆:
4,5,6,8 (属于第一组的3