小学数学爱好者专题讲座十一文档格式.docx

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（5-4）＝2（小时）.

　　因此，甲、乙两地的距离是

　　（5＋4）×

2＝18（千米）.

　　本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？

”岂不是有“追及”的特点吗？

对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.

　　请再看一个例子.

　　例7甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；

如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.

先画一张行程示意图如下

　　设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.

　　下面的考虑重点转向速度差.

　　在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到D点.这两点距离是12＋16＝28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点

　　（或E点）相遇所用时间是

　　28÷

5＝5.6（小时）.

　　比C点相遇少用6-5.6＝0.4（小时）.

　　甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是

　　12÷

0.4＝30（千米/小时）.

　　同样道理，乙的速度是

　　16÷

0.4＝40（千米/小时）.

　　A到B距离是（30＋40）×

6＝420（千米）.

A，B两地距离是420千米.

　　很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.

　　例8如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

　　问：

（1）小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

（1）小张从A到B需要1÷

6×

60＝10（分钟）；

小王从D到C也是下坡，需要2.5÷

60＝25（分钟）；

当小王到达C点时，小张已在平路上走了25-10＝15（分钟），走了

　　因此在B与C之间平路上留下3-1＝2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是

　　2÷

（4＋4）×

60＝15（分钟）.

　　从出发到相遇的时间是

　　25＋15＝40（分钟）.

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点需要走1÷

2×

60=30分钟，即他再走60分钟到达终点.

　　小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

　　小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.

40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

习题一

　　1.姐姐步行的速度是75米/分，妹妹步行的速度是65米/分.在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追赶妹妹.问：

多少分钟后能追上？

　　2.小张和小王，分别从甲、乙两村同时出发步行，1小时15分后，小张走了甲、乙两村间的距离的一半还多0.75千米，此时与小王相遇.小王的速度是3.7千米/小时，那么小张的速度是多少？

（单位用千米/小时）

　　3.甲、乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人.甲、乙两车分别用6分钟、10分钟追上骑车人.已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是20千米/小时.问两车出发时，两车所在地点离骑车人多远？

　　4.一支部队排成1.2千米长队行军，在队尾的张明要与在最前面的营长联系，他用6分钟时间追上了营长.为了回到队尾，在追上营长的地方等待了18分钟.如果他从最前头跑步回队尾，那么要多少时间？

　　5.一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时开出，它们相向而行.快车经过8小时到达乙地，慢车经过10小时到达甲地，已知平均每小时快车比慢车多行驶1.2千米，问开出后多少时间两车相遇？

　　6.家离图书馆4.8千米，弟弟从家出发以60米/分速度步行去图书馆.15分钟后，哥哥骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是240米/分.问：

（1）哥哥在离家多远的地方追上弟弟？

（2）哥哥追上弟弟后不久到达图书馆，又马上折回，过不久与弟弟相遇，那么相遇处离图书馆多远？

二、环形路上的行程问题

　　人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.

　　例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

（1）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是

　　500÷

1.25-180=220（米/分）.

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

（220-180）＝12.5（分）.

　　220×

12.5÷

500＝5.5（圈）.

（1）小张的速度是220米/分；

（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

　　例10如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；

在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

第一次相遇，两人合起来走了半个周长；

第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是

　　80×

3＝240（米）.

　　240-60=180（米）.

　　180×

2＝360（米）.

这个圆的周长是360米.

　　在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.

　　例11甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

　　40×

3÷

60＝2（小时）.

　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

　　6×

2-2＝10（千米）.

　　小王已走了6＋2=8（千米）.

　　因此，他们的速度分别是

　　小张10÷

2＝5（千米/小时），

　　小王8÷

2=4（千米/小时）.

小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.

　　例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

画示意图如下.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

　　3.5×

3＝10.5（千米）.

　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

　　10.5-2＝8.5（千米）.

　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

7＝24.5（千米），

　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

　　就知道第四次相遇处，离乙村

　　8.5-7.5=1（千米）.

第四次相遇地点离乙村1千米.

　　下面仍回到环行路上的问题.

　　例13绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；

小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：

两人出发多少时间第一次相遇？

小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

　　12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.

　　出发后2小时10分小张已走了

　　此时两人相距

　　24-（8＋11）=5（千米）.

　　由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是

　　5÷

（4＋6）＝0.5（小时）.

　　2小时10分再加上半小时是2小时40分.

他们相遇时是出发后2小时40分.

　　例14一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

　　爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.

　　30÷

（5-3）＝15（秒）.

　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

　　90÷

（5-3）＝45（秒）.

　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是

　　15，，105，150，195，……

　　再看看A与B什么时候到达同一位置.

　　第一次是出发后

（10-5）=6（秒），

　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要

（10-5）＝18（秒），

　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是

　　6，24，42，，78，96，…

　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.

3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.

　　请思考，3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？

　　例15图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求

两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.

　　设汽车行驶CD所需时间是1.

　　根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出

　　分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.

　　从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与P→C→B所用时间相等.

　　PC上所需时间-PD上所需时间

　　=DA所需时间-CB所需时间

　　=18-12

　　=6.

　　而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得

　　PC上所需时间是（24+6）÷

2＝15，

　　PD上所需时间是24-15＝9.

　　现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有

　　BN上所需时间-AN上所需时间

　　=P→D→A所需时间-CB所需时间

　　=（9＋18）-12

　　=15.

　　BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间

　　=16.

　　立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.

　　从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.

习题二

　　1.绕人民大会堂一周是600米，小张骑车速度是200米/分，小王步行速度是50米/分.他们从同一地点同时出发，同方向绕人民大会堂环行.问：

出发后多少时间小张追上小王？

　　2.A，B是圆的直径的两端，甲从A，乙从B同时出发，按箭头所示方向行走，甲走一周要15分钟，乙走一周要20分钟.问出发后多少时间甲追上乙？

　　3.小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车从乙村往甲村去，他们同时出发，1小时后在途中相遇.他们分别继续前进，小李到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上了小张.他们又分别继续前进，当小李到达乙村后又马上折回.问：

追上后多少分钟，他们再次相遇？

　　4.一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇.问爬虫乙原来的速度是多少？

（提示：

要画一张示意图）

　　5.两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行.在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；

在离D点16厘米的F点第二次相遇；

在离A点16厘米的G点第三次相遇.长方形的边AB长多少厘头？

三、稍复杂的问题

　　在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：

（1）在行程中能设置一个解题需要的点；

（2）灵活地运用比例.

　　例16小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：

小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

画一张示意图：

　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是

　　1.3÷

（5.4-4.8）×

60=130（分钟）.

　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要

　　130÷

2=65（分钟）.

　　从乙地到甲地需要的时间是

　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.

小李从乙地到甲地需要3小时15分.

　　上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.

　　例17小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：

“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？

姐姐算了一下说：

“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？

解：

先画一张示意图

　　设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：

　　骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.

　　具体计算如下：

　　不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是

　　1＋1.5＝2.5（单位）.

　　每个单位是2000÷

2.5＝800（米）.

　　因此，从公园到家的距离是

　　800×

1.5＝1200（米）.

从公园门口到他们家的距离是1200米.

　　这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.

　　例18快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：

两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.

　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.

　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？

去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×

7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.

　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是

　　14÷

（2＋3）＝2.8（小时）.

　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了

　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.

从第一相遇到再相遇共需10小时48分.

　　例19一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.

1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

　　第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.

　　为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此

　　顺水速度∶逆水速度=5∶3.

　　由于两者速度差是8千米.立即可得出

　　A至B距离是12＋3=15（千米）.

A至B两地距离是15千米.

　　例20从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的

　　解一：

画出如下示意图：

　　当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的

　　到达D处，这样，D把第一段分成两部分

　　时20分相当于

　　因此就知道，汽车在第一段需要

　　第二段需要30×

3＝90（分钟）；

　　甲、乙两市距离是

甲、乙两市相距185千米.

　　把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.

　　还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.

　　第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.

　　时间一样.

　　第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.

　　因此，三段路程所用时间的比是

　　5∶9∶2.

　　汽车走完全程所用时间是80×

2＝160（分种）.

　　例21一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；

如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

设原速度是1.

　　％后，所用时间缩短到原时间的

　　这是具体地反映：

距离固定，时间与速度成反比.

　　用原速行驶需要

　　同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的

　　如果一开始就加速25％，可少时间

　　现在只少了40分钟，72-40＝32（分钟）.

　　说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间

　　真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

甲、乙两地相距270千米.

　　十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.

　　全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有

　　x∶120＝72∶32.

习题三

　　1.李华每天上学步行5分钟以后，跑步2分钟恰好到校.有一天，他步行2分钟以后就开始跑步，结果早到了1分40秒.问他跑步的速度是步行速度的多少倍？

　　2.小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走.小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇.那么绕湖一周行程是多少千米？

　　3.甲、乙两车分别