学年第二学期高二数学《组合二》学案含答案Word文档下载推荐.docx

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（2）某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（　　）

A.25种B.35种C.820种D.840种

解析　

（1）不同的数组有C＝35（组）.

（2）分3类完成：

男生甲参加，女生乙不参加，有C种选法；

男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；

两人都不参加，有C种选法.所以共有2C＋C＝25（种）不同的选派方案.

答案　

（1）A　

（2）A

考查

方向

　题型一　分组、分配问题

方向1　平均分组

【例1－1】　

（1）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种分法.

（2）6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种分法.

解　

（1）先从6本书中选2本给甲，有C种选法；

再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；

最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；

所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90（种）.

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；

第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法.根据分步乘法计数原理，可得：

CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.

方向2　不平均分组

【例1－2】　

（1）6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种分法.

（2）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少不同的分法.

解　

（1）这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60（种）方法.

（2）在

（1）的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360（种）方法.

方向3　分配问题

【例1－3】　6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法.

解　可以分为三类情况：

①“2，2，2型”，有CCC＝90（种）方法；

②“1，2，3型”，有CCCA＝360（种）方法；

③“1，1，4型”，有CA＝90（种）方法.所以一共有90＋360＋90＝540（种）方法.

规律方法　“分组”与“分配”问题的解法

（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！

；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.

【训练1】　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.

（1）有多少种放法？

（2）每盒至多一球，有多少种放法？

（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？

（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？

（5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

（6）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？

解　

（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×

4×

4＝44＝256（种）放法.

（2）这是全排列问题，共有A＝24（种）放法.

（3）方法一　先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有·

A＝144（种）放法.

方法二　先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144（种）放法.

（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·

2＝8（种）放法.

（5）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12（种）放法.

（6）（隔板法）先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286（种）放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1，2，3，4的盒子分别放入2，6，5，7个球.

题型二　与几何图形有关的组合问题

【例2】　

（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

（2）四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

解　

（1）如图所示，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中任意取出3个点必与点A共面，共有3C种取法；

在含顶点A的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.

根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法有3C＋3＝33（种）.

（2）如图所示，从10个点中取4个点的取法有C种，减去4点共面的取法种数就可以得到结果.

从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面，有4C＝60（种）；

四面体的每一条棱上的3个点与相对的棱的中点共面，共有6种共面情况；

从6条棱的6个中点中取4个点时有3种共面情况（对棱中点连线两两相交且互相平分）.

故4点不共面的取法有C－（60＋6＋3）＝141（种）.

规律方法　破解以几何图形为背景的组合应用题的关键：

（1）读懂题意，即需细审题，明晰题目的要求；

（2）会数形结合，即画出符合题意的平面几何或立体几何的草图，由图形来观察题中所限制的条件；

（3）会用公式，即会利用排列数与组合数的公式进行计算求值.

【训练2】　已知直线＋＝1（a，b为非零常数）与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有多少条？

解　如图，在圆x2＋y2＝100上，横坐标和纵坐标均为整数的点的坐标有（－10，0），（10，0），（0，－10），（0，10），（－6，－8），（－6，8），（6，－8），（6，8），

（－8，－6），（－8，6），（8，－6），（8，6），共12个.

过这12个点的切线有12条.由于给出的是直线的截距式方程，过原点的直线及与坐标轴平行的直线不符合题意，过原点的直线有6条，与坐标轴平行的直线有12条，故符合题意的直线共有C＋12－（6＋12）＝60（条）.

题型三　排列、组合的综合应用

【例3】　有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中随机取出4张卡片排成一行.若取出的4张卡片所标数字之和等于10，则有多少种不同的排法？

解　问题可以分成三类.

第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1，2，3，4时，不同的排法有C·

A＝384（种）；

第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1，1，4，4时，不同的排法有C·

A＝24（种）；

第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2，2，3，3时，不同的排法有C·

A＝24（种）.

根据分类加法计数原理，满足题意的排法有384＋24＋24＝432（种）.

规律方法　解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：

（1）审清题意，区分哪是排列，哪是组合；

（2）往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.

【训练3】　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定担任语文课代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

解　

（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC种，后排有A种，

共（CC＋CC）·

A＝5400种.

（2）除去该女生后，先取后排，有C·

A＝840种.

（3）先选后排，但先安排该男生，有C·

A＝3360种.

（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共C·

A＝360（种）.

课堂达标

1.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　）

A.140种B.120种C.35种D.34种

解析　从7人中选4人共有C＝35（种）方法.又4名全是男生的选法有C＝1（种）.故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.

答案　D

2.平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是（　　）

A.28B.29C.30D.27

解析　可分两类：

第一类，红点连蓝点有CC－1＝23（条）；

第二类，红点连红点有C＝6（条），所以共有29条.故选B.

答案　B

3.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种（用数字作答）.

解析　分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有C·

C＋C·

C＝30（种）选法.

答案　30

4.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种.（用数字作答）

解析　①不选甲、乙，则N1＝A＝24（种）.②只选甲，则N2＝CCA＝72（种）.③只选乙，则N3＝CCA＝72（种）.④选甲、乙，则N4＝CAA＝72（种）.故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240（种）.

答案　240

5.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则共有多少种不同的赠送方法.

解　由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取.

第一类：

当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册.即把4位朋友分成人数为1，3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法.

第二类：

当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2，2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法.

因此，满足题意的赠送方法共有C＋C＝4＋6＝10（种）.

课堂小结

1.应用组合知识解决实际问题的四个过程

2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.

基础过关

1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A.60种B.63种C.65种D.66种

解析　从1，2，3，…9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：

（1）取出的4个数都是偶数，取法有C＝1（种）；

（2）取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有CC＝60（种）；

（3）取出的4个数都是奇数，取法有C＝5（种）.根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66（种）.

2.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（　　）

A.60种B.20种C.10种D.8种

解析　四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C＝10（种）.

答案　C

3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球、5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为（　　）

A.B.C.D.1

解析　根据题意，得基本事件的总数为C，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为CC，所以所求概率P＝＝.

4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种.

解析　分两类，有4件次品的抽法为CC种；

有3件次品的抽法有CC种，所以共有CC＋CC＝4186（种）不同的抽法.

答案　4186

5.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为________.

解析　分两类，第一类：

从甲、乙中选1人的方法有C种，丙没有入选，从剩余的7人中再选2人有C种方法；

甲、乙两人都入选，丙不入选，从剩余7人中再选1人有C种方法，故其选取种数为C·

C＋CC＝49.

答案　49

6.从6名短跑运动员中选4人参加4×

100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解　把所选取的运动员的情况分为三类.

甲、乙两人均不参赛，有A＝24（种）；

甲、乙两人有且只有1人参赛，共有CC（A－A）＝144（种）；

第三类：

甲、乙两人都参赛，有C（A－2A＋A）＝84（种）.

由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有24＋144＋84＝252（种）.

7.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：

（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？

（2）上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

（3）在

（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

（4）在

（1）中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？

解　

（1）分步完成：

第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况.

第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况.

第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A种情况.

所以符合题意的七位数有C·

A＝100800（个）.

（2）在上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·

A·

A＝14400（个）.

（3）在

（1）中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·

A＝5760（个）.

（4）在

（1）中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位（包括两端）中，共有C·

A＝28800（个）.

能力提升

8.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（　　）

A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4

解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15（次），如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.

9.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点最多可以有（　　）

A.36个B.72个C.63个D.126个

解析　此题可化归为：

圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C＝126（个）.

10.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）.

解析　把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖，无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有A种分法；

另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60（种）.

答案　60

11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.（用数字作答）

解析　分三类：

①选1名骨科医生，则有C（CC＋CC＋CC）＝360（种）；

②选2名骨科医生，则有C（CC＋CC）＝210（种）；

③选3名骨科医生，则有CCC＝20（种），

∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.

答案　590

12.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

（1）任意选5人；

（2）甲、乙、丙三人必须参加；

（3）甲、乙、丙三人不能参加；

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加；

（5）甲、乙、丙三人至少1人参加.

解　

（1）C＝792（种）不同的选法.

（2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36（种）不同的选法.

（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126（种）不同的选法.

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC＝378（种）不同的选法.

（5）方法一　（直接法）可分为三类：

第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种；

第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种；

第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有CC种.

共有CC＋CC＋CC＝666（种）不同的选法.

方法二　（间接法）12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人都不参加的有C种，

所以，共有C－C＝666（种）不同的选法.

13.（选做题）已知一组曲线y＝ax3＋bx＋1，其中a为2，4，6，8中的任意一个，b为1，3，5，7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条，它们在x＝1处的切线相互平行，这样的曲线共有多少组？

解　y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为5类完成.

a＋b＝5，则a＝2，b＝3；

a＝4，b＝1.故可构成两条曲线，有C组.

a＋b＝7，则a＝2，b＝5；

a＝4，b＝3；

a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有C组.

a＋b＝9，则a＝2，b＝7；

a＝4，b＝5；

a＝6，b＝3；

a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有C组.

第四类：

a＋b＝11，则a＝4，b＝7；

a＝6，b＝5；

a＝8，b＝3.可构成三条曲线，有C组.

第五类：

a＋b＝13，则a＝6，b＝7；

a＝8，b＝5.可构成两条曲线，有C组.

故共有C＋C＋C＋C＋C＝14（组）.