六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练第九讲 细观察找规律无答案全国通用Word文档格式.docx

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和例1相反，如果给出数列的一些项，要求探究它的构造规律，就需要细致观察，并进行分析。

例2找出下列各数列的构造规律，并填空。

（1）1，3，6，10，15，－－，28；

（2）1，8，27，64，－－，216；

（3）1，3，7，15，－－，63；

（4）1，2，3，5，8，－－，－－，34；

（5）2，3，5，7，－－，13。

分析与解：

（1）从给出的六个数本身看，看不出什么共同属性。

如果分析彼此之间的关系，发现：

a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5。

是有规律的，“相邻两项的差成等差数列”。

照此规律，a6＝a5＋6＝15＋6＝21。

已知a7＝28，a7－a6＝7同样是适合的。

（2）从互相之间的差看不出什么规律。

但从各自属性分析发现：

a1＝13＝1，a2＝23＝8，a3＝33＝27，a4＝43＝64,

可以猜测a5＝53＝125。

规律是：

“各项等于它的项数的立方”。

由a6＝216＝63也是符合这个规律的。

（3）从相邻两项之差看：

a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，a4－a3＝15－7＝8，

“相邻两项差构成等比数列”

a5－a4＝16，a5＝a4＋16＝31。

已知a6＝63，a6－a5＝63－31＝32。

也符合以上规律。

换一个角度，还发现如下规律：

a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23＝1，a4＝15＝24－1，照此规律，a5

＝25－1＝31，a6＝26－1＝63。

你也许还发现如下规律：

a2＝2al＋1＝2×

1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，

a4＝2a3＋1＝15，照此规律a5＝2a4＋1＝31，

a6＝63＝2a5＋1。

（4）对这个数列构造规律，需要从更广的角度观察，从相邻三项的关系，发现如下规律：

a3＝a1＋a2，a4＝a2＋a3，a5＝a3＋a4，照此规律。

a6＝a4＋a5＝5＋8＝13，a7＝a5＋a6＝8＋13＝21。

a8＝34＝a6＋a7也符合规律。

（5）从各项本身性质，不难发现它们是依次排列的质数（从小到大）。

a1

＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝7。

照此，a5＝11。

说明：

观察、分析数列构造规律，就要从各项的性质，相邻项（两项或三项）之间的关系进行归纳。

开始可能是一种猜测，在猜测基础上再进行检验。

对于一个无限数列如果给的项数是有限的，规律不是唯一的。

如数列2，3，5，……。

①如果看作是质数从小到大排列，那么a4＝7，a5＝11；

②如果看作是a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，那么a4＝8，a5＝12；

③如果看作是a1＝2，a2＝3，a3＝a1＝a2，那么a4＝8，a5＝13。

例3把自然数按以下规律分组：

（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……；

其中第一组1个数，第二组有3个数，第三组有5个数，第四组有7个数，……．求

（1）第11组所有数之和；

（2）1993排在第几组的第几个数？

不难发现每组的数的个数等于它的组序号的2倍减1。

就是说第k组有（2k

－1）个数。

（1）先计算前10组所有数的个数。

1＋3＋5＋……＋（2×

10－1）＝［1＋（2×

10－1）］×

10÷

2＝100。

第11组的第1个数是101，共有（2×

11－1）个数。

最后一个数是100＋（2

×

11－1）＝121。

第11组所有数之和是：

101＋102＋……＋121＝（101＋121）×

21÷

2＝2331。

（2）如果1993在第k组，那么1993必须大于前（k－1）组中所有数的个数，并且不大于前k组中所有数的个数。

前（k－1）组数的个数是：

1＋3＋5＋……＋［2（k－1）－1］＝｛1＋［2（k－1）－1］｝×

（k－1）

÷

2＝（k－1）2。

同理前k组数的个数是k2。

（k－1）2＜1993≤k2。

又因为442＝1936，452＝2025，所以1993在第45组。

前44组有1936个数，就是说第44组最后一个数是1936。

1993－1936＝57。

答：

第11组所有数之和是2331，1993排在第45组的第57个数。

通过观察或计算，我们还发现，每一组的最后一个数正好等于它所在组数的平方。

利用这个规律解决问题就更简单了。

如求第15组的各数之和：

第15组的第1个数是142＋1＝197，第15组最后一个数是152＝225。

这组共

有29个数，它们的和是197＋198＋……＋225＝（197＋225）×

29÷

2＝6119．

练习

自然数按例3规律分组。

求

（1）987排在第几组？

（2）第11组和第12组两组中所有数的和是多少？

（3）第80组中的正中间是哪个数？

例4观察下列各数排列规律：

（1）通过观察发现，在这个数列中依次排列着：

分母是2的有1个数，分母

是3的有2个数，分母是4的有3个数，……。

如果按分母不同分组：

（1＋2＋3＋…＋25）＋11＝（1＋25）×

25÷

2＋11＝336

（2）先考虑第100个位置排在第几组的第几个数。

前k组所有数的个数是：

估值：

k＝13时，S13＝91；

k＝14，S14＝105第100个数一定排在第14组。

100－91＝9。

第100个位置的数排在第14组的第9个数。

这组的数的分母是15，这

是哪个数？

例5有一个数列：

1，2，3，5，8，13，……。

（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）

（1）求第1993个数被6除余几？

（2）把以上各数依次按下面方法分组

（1），（2，3），（5，8，13），……。

（第n组含有n个数）。

问第1993组的各数之和被6除余几？

分析：

如果能知道第1993个数是哪个数，第1993组有哪些数，问题很容易解决。

可是要做到这一点不容易。

由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。

根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被a除的余数的和再被a除的余数”。

得到数列各项被6除，余数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，

1，1，2，3，5，……。

观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。

呈现周期性变化规律。

一个周期内排有24个数。

（余数数列的前24项）

（1）1993÷

24＝83……1。

第1993个数是第84个周期的第1个数。

因此被6除是余1。

（2）因为分组规律是第n组含有n个数。

前1992组共有S1992个数，

1985028除以24余12，第1992组最后一个数除以6，余数是5，第1993组

各数被6除余数是：

5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，

5；

……（以后各数周期性变化）。

一个周期内24个数之和为66，它被6整除。

1993除以24余数为1，因此，第1993组各数之和被6除应该余5。

（第1993

组的第一个数被6除所得余数）练习

在例5数列中，求它的第1993项被3除余几？

被7除余几？

例6把自然数依次排成以下数阵：

1，2，4，7，…

3，5，8，…

6，9，…

10，…

…

如果规定横为行，纵为列。

（如8排在第2行第3列）求

（1）第10行第5列排的是哪个数？

（2）第5行第10列排的是哪个数？

（3）1993排在第几行第几列？

这个问题可以从两个方面找规律。

（1）第一行是：

1，2，4，7，11，……；

它们相邻两个数之差是1，2，3，4，5，……。

第二行是：

3，5，8，12，……；

它们相邻两数之差是2，3，4，5……。

列也有类似的规律。

这样，第10行第一列的数应是

1＋2＋3＋4＋…＋10＝55。

又因为第10行中，相邻两数的差依次是

10，11，12，13，……。

所以，第10行第5列的数是

55＋10＋11＋12＋13＝101。

第5行第10列的数是：

（1＋2＋3＋4＋5）＋（5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13）＝96

以上是先考虑行，再考虑列，也可以先考虑列，再考虑行。

（2）数阵排列规律是：

将自然数依次“从右上向左下”成“斜行”往复排列。

第一斜行只有1个数，第2斜行有2个数，第3斜行有3个数，……，第n斜行有n个数。

行、列数与斜行数有以下关系：

“1”排在第1行、第1列，斜行数为1；

“2”排在第1行、第2列，斜行数为2；

“3”排在第2行、第1列，斜行数为2；

“4”排在第1行、第3列，斜行数为3；

“5”排在第2行、第2列、斜行数为3；

“6”排在第3行、第1列，斜行数为3。

…………

不难发现，同一斜行中，各数的“行数”与“列数”之和是不变的。

并且：

行数＋列数－1＝斜行数。

因为在斜行中，是由上往下排的。

一个数在第几行，它就是所在斜行中的第几个数。

利用以上规律，解决问题就更简单

（1）第10行、第5列的数是排在第10＋5－1＝14斜行的第10个数：

［1＋2＋3＋…＋（10＋5－2）］＋10＝101；

（2）［1＋2＋3＋…＋（5＋10－2）］＋5＝96；

（3）如果1993排在第k斜行。

前（k－1）斜行数的个数是：

前k斜行数的个数是：

即k（k－1）＜3986＜（k＋1）·

k。

估算：

k＝63时，k（k－1）＝3906，（k＋1）·

k＝4032。

3902＜3986≤4032。

所以1993排在第63斜行内。

第62斜行最后一个数是：

1993－1953＝40。

就是说1993是第63斜行的第40个数。

也就是排在第40行。

求列数：

63＋1－40＝24。

（列）

第10行第5列是101，第5行第10列是96，1993排在第40行第24列。

自然数排成例6形式数阵。

（1）第7行第8列的数是哪个数？

（2）第8行第7列的数是哪个数？

（3）1949排在第几行第几列？

习题九

1．观察下列数列的排列规律，并填空：

（1）2，5，10，17，——37；

（2）1，3，2，6，5，15，14，——，41。

2．观察下表：

1＝1，

3＋5＝8，

7＋9＋11＝27，

13＋15＋17＋19＝64，

写出它的第10行

3．已知数列：

1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，……（以l，1，2，

2，3，3，为周期，重复写下去）。

求

（1）第150个数是哪个数？

（2）前50个数之和是多少？

（3）若前n个数之和为304，求n。

（2）第1991个数是哪个数？

5．观察下列“三角阵”

1

234

56789

10111213141516

………

求它的第15行的第7个数是哪个数？

6．把自然数中的偶数，依次排列如下：

（第一列）（第二列）（第三列）（第四列）（第五列）2，4，6，8

16141210

18202224

32302826

求1986出现在第几列？

7．把自然数中的奇数依次排列：

1，3，7，13，…

5，9，15，…

11，17，…

19，…

求第10行第10列的数是哪个数。

8．把自然数依次排成以下数阵：

1，2，5，…

4，3，6，…

9，8，7，…

求

（1）第10行第5列排的是哪个数？

（3）1991排在第几行、第几列？