2.矩形的培优Word格式文档下载.doc
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③④
C．
①②④
D．
②③④
2．如图2，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：
∠EDC=3：
2，则∠BDE的度数为（ ）
36°
18°
27°
9°
3．如图3，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）
8
4．如图4，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°
，则∠AEF=（ ）
60°
70°
75°
80°
5．如图5，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（ ）
图5图6图7图8
4，
5，
4，2
5，2
6．已知下列命题中：
（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；
（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）
4个
3个
2个
1个
7．如图6，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（ ）
2
1
二．填空题
8．如图7，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α= _________ 度．
9．如图8，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 _________ S2；
（填“＞”或“＜”或“=”）
10．如图9，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 _________ ．
图9图10图11图12
11．如图10，Rt△ABC中，∠C=90°
，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．
12．如图11\在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D、E、F，则CF的长为 _________ ．
13．如图12，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 _________ ．
14．如图13，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 _________ ．
图13图14图15
三．解答题15．如图14，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：
DE=DF．
16．如图15，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？
17．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图
（1）所示）时，易证得结论：
PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：
当点P分别在图
（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图
（2）证明你的结论．
答：
对图
（2）的探究结论为 _________ ；
对图（3）的探究结论为 _________ ；
证明：
如图
（2）
18．阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：
三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°
，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
22．如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，BCF，ACE．
（1）求证：
四边形AEFD是平行四边形；
（2）当△ABC是 _________ 三角形时，四边形AEFD是菱形；
（3）当∠BAC= _________ 时，四边形AEFD是矩形；
（4）当∠BAC= _________ 时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？
说明理由；
（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？
如能，求出此时的运动时间t的值；
如不能，请说明理由．
24．如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA．求证：
BE⊥DE．
26．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：
在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2；
在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2=BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
28．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：
四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？
若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；
若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
29．
（1）观察与发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；
在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？
请说明理由．
（2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；
再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；
再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
第3讲菱形的性质及判定
掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题
会用菱形的知识解决有关问题
教学过程：
一、菱形的性质
☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
2、⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则
E
F
D
B
C
A
⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形
的边长是______．
【例1】如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，
与互相平分．
☆菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于．
=
☆已知菱形的对角线于点，则的长为
【例2】菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为
☆在菱形中，，，则菱形的边长为（）
A．B．C．D．
☆图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（）
A．B．C．D．
☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______
☆已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．
二、菱形的判定
【例3】要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．
例：
如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？
说明你的理由.
【巩固】☆已知：
如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？
证明你的结论．
【例4】如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：
四边形是菱形．
【巩固】☆如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置
⑴画出平移后的三角形；
⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；
⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？
为什么？
课后作业：
1.菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为．
2.如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为
3.已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．
4.已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：
的度数．
5.如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？
并说明理由．
6.如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知．
⑴顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和相应
的条件．
⑵当为度时，四边形为正方形．
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