八年级数学《全等三角形》能力培优Word下载.docx

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若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图

（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由．

5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：

AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

8．已知：

△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

AB=AC．

参考答案与试题解析

【分析】

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°

，∴B′E∥DC；

（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．

【解答】解：

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，

∠AB′E=∠B=∠D=90°

，

∴B′E∥DC；

（2）∵折叠，

∴△ABE≌△AB′E，

∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，

∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°

∴∠AEB=∠BEB′=65°

．

【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；

把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．

（1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C（﹣1，﹣3）；

（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，进而得到BE=BM=2．

（1）如图1，过C作CM⊥y轴于M．

∵CM⊥y轴，

∴∠BMC=∠AOB=90°

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵∠ABC=90°

∴∠CBM+∠ABO=90°

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM与△ABO中，

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴CM=BO=1，BM=AO=4，

∴OM=3，

∴C（﹣1，﹣3）；

（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，

理由：

如图2，过C作CM⊥y轴于M，

由

（1）可知：

△BCM≌△ABO，

∴CM=BO，BM=OA=4．

∵△BDO是等腰直角三角形，

∴BO=BD，∠DBO=90°

∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°

在△DBE与△CME中，

∴△DBE≌△CME（AAS），

∴BE=EM，

∴BE=BM=2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第

（2）题的关键．

（3）在

（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3，BG=6，求AC的长．

（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；

（2）先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC，即可得出结论；

（3）作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°

，根据面积求出EM的长，利用30°

角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+，根据线段的和得出AC的长．

【解答】证明：

（1）如图1，∵∠ACB=90°

，AC=BC，

∴∠A=45°

∵CG平分∠ACB，

∴∠ACG=∠BCG=45°

∴∠A=∠BCG，

在△BCG和△CAF中，

∵，

∴△BCG≌△CAF（ASA），

∴CF=BG；

（2）如图2，∵PC∥AG，

∴∠PCA=∠CAG，

∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，

∴△ACG≌△BCG，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°

=∠CBE+45°

∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°

∴∠PCG=∠PGC，

∴PC=PG，

∵PB=BG+PG，BG=CF，

∴PB=CF+CP；

（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，

∵S△AEG=AG•EM=3，

由

（2）得：

△ACG≌△BCG，

∴BG=AG=6，

∴×

6×

EM=3，

EM=，

设∠FCH=x°

，则∠GAC=2x°

∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°

∵∠ACH=45°

∴2x+x=45，

x=15，

∴∠ACF=∠GAC=30°

在Rt△AEM中，AE=2EM=2，

AM==3，

∴M是AG的中点，

∴AE=EG=2，

∴BE=BG+EG=6+2，

在Rt△ECB中，∠EBC=30°

∴CE=BE=3+，

∴AC=AE+EC=2+3+=3+3．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；

第3问，如何得出30°

角和作辅助线，利用到S△AEG=3列式是突破口．

（1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．

（2）（3）和

（1）的证法完全一样．

∠1与∠2相等．

证明：

在△ADC与△CBA中，

∴△ADC≌△CBA．（SSS）

∴∠DAC=∠BCA．

∴DA∥BC．

∴∠1=∠2．

②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．

（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；

（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；

（3）根据

（2）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．

（1）△EAD≌△EA'

D，其中∠EAD=∠EA'

D，∠AED=∠A'

ED，∠ADE=∠A'

DE；

（2）∠1=180°

﹣2x，∠2=180°

﹣2y；

（3）∵∠1+∠2=360°

﹣2（x+y）=360°

﹣2（180°

﹣∠A）=2∠A．

规律为：

∠1+∠2=2∠A．

【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．

（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AF⊥CE，根据平行线性质推出即可；

（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．得出方程4+7﹣x=x．求出即可．

【解答】

（1证明：

∵AD为△ABC的角平分线，

∵CE∥AD，

∴∠1=∠E，∠2=∠3．

∴∠E=∠3．

∴AC=AE．

∵F为EC的中点，

∴AF⊥EC，

∵AD∥EC，

∴∠AFE=∠FAD=90°

∴AF⊥AD．

（2）解：

延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，

∴∠3=∠C，∠F=∠4

∵M为BC的中点

∴BM=CM．

在△BFM和△CNM中，

∴△BFM≌△CNM（AAS），

∴BF=CN，

∵MN∥AD，

∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．

∴∠E=∠5=∠F．

∴AE=AN，BE=BF．

设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x．

∴4+7﹣x=x．

解得x=5.5．

∴CN=5.5．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．

【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．

∵CD平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵DE⊥AC，∠ABC=90°

∴DE=BD，∠3=∠4，

∵BF∥DE，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴BD=BF，

∴DE=BF．

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

【分析】证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．

在Rt△BOF和Rt△COE中，

∴Rt△BOF≌Rt△COE，

∴∠FBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．

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