北师版八年级教全套讲义Word格式.doc
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（3）30°
、45°
锐角的直角三角形三边的比例关系。
（4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。
【典型例题】
A
81
C
225
B
例1求下图中字母所代表的正方形的面积。
400
SA=SB=
a=；
b=；
c=。
a=；
从中发现：
（1）三个正方形的面积之间有什么关系？
（2）三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系？
例2已知如图，∠ABD=∠C=90°
，AC=BC，∠DAB=30°
，AD=12，求BC的长。
D
例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，∠A=30°
，CD⊥AB于D，AB=1.6，求AD的长。
60°
例4如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°
，∠B=∠D=90°
，求BC和AD的长。
例5如图，已知在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求S△ABC。
A1
B1
例6如图，一架长2.5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，若梯子的顶端沿墙下滑0.4m。
那么梯足将外移多少米？
M
N
·
例7如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？
【课堂练习】
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°
，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a=5，b=12，则c=；
若b=7，c=9，则a=.
2．三角形的三个内角之比为1：
2：
3，它的最大边长为a，那么它的最小边是。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°
，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c=10，a：
b=3：
4，则a=，b=。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°
，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若∠A=30°
，a：
b：
c=；
∠A=45°
c=。
5．如果直角三角形有一个锐角为30°
，那么它的三条边长的比（由小到大）是。
6．若一个等边三角形的高是cm，则它的一边长为cm，周长为cm，面积为cm2。
7．在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A=60°
，较大直角边的长为，则AB=，斜边上的高。
8．在Rt△ABC中，一条直角边为6，斜边上的高是3，则两个锐角为、。
9．若三角形的三个内角之比是1:
2:
3，最短边长为10cm，则其他两边长为、。
二、选择题
1．若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（）
A．2，4，6B．4，6，8C．6，8，10D．8，10，12
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°
，AC=12，BC=10，则BC边上中线AD的长为（）
A．12B．13C．15D．17
3．以直角三角形ABC的斜边AB为斜边另作一个直角三角形ABD，如果BC=15，AC=20，AD=7，则BD=（）
A．13B．15C．24D．25
4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
5．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=26，BD=10，DC=7，则AC=（））
A．12B．16C．24D．25
6．直角三角形的两边为5和12，则第三边长为（）
A．10B．13C．15D．以上答案都不对
三、解答题
1．由四个完全相同的直角三角形拼得一个大正方形，如图所示，已知直角三角形两条直角边分别是7厘米和5厘米，求大正方形的面积。
（用两种方法解答）。
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°
，∠DBC=90°
，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的长。
3．一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/小时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°
，AD⊥AC，CD=6，求BD，AC的长。
5．如图，在垂直于地面的墙上2m处的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心，梯子在墙上下滑0.8m，求梯子在地面上滑出的距离BB′的长度。
（精确到0.1m）
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长。
E
F
7．如图，将正方形ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在AC上的F处，设正方形的边长为1，求DE的长。
8．在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，点O是△ABC的内角平分线的交点，求O点到各边的距离及∠AOB的度数。
勾股定理的综合
1．熟悉常见的勾股数。
（3，4，5）；
（5，12，13）；
（7，24，25）；
（8，15，17）……
2．勾股定理的逆定理：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的应分别为a、b、c，若，则△ABC为直角三角形，∠C=90°
3．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。
4．解题技巧。
（1）任意两个正整数m和n（m>
n），若，，则就是满足的一组勾股数。
（2）判断一个三角形是否是直角三角形，首先确定最大边，然后验证与是否相等。
（3）三角形三边满足一定的代数关系，通过化简代数式、方程解题。
（4）图形折叠问题，注意被折叠部分的全等关系。
（5）运用勾股定理和勾股定理的逆定理证明三角形边的关系的代数式。
例1如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，A
求证：
AE⊥EF
例2判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
（1）9、41、40；
（2）5、5、5（3）、、；
（4）、、（5）、、（6）
例3若a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状。
例4如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm。
△DEF是等腰三角形。
G
例5如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。
求△ABC的面积。
例6在△ABC中，AB=AC，∠A=90°
，BE平分∠ABC，交AC于D点，CE⊥BE于点E。
。
例7、若△ABC的三边长a、b、c满足条件，，判断△ABC的形状。
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；
（2）若b=8，c=17，则a=_______;
2．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成
的长方形的面积是＿＿＿＿。
3、△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=＿＿＿。
4、有一长70㎝，宽50㎝，高50㎝的长方体盒子，A点处有一只蚂蚁，想吃到B点
处的食物，它爬行的最近距离是厘米。
5．一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为
6．已知甲乙同时从A出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，则两人相距。
7．如图4：
在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的
池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴
子所经过的距离相等，则这棵树高_____________米。
8．一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的地面上，旗杆在折断之前高度
为。
二.选择题
1、一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）
A.斜边长为25;
B.三角形的周长为25;
C.斜边长为5;
D.三角形面积为20.
2、圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）
A．B．C．D．
3、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）
A.1.5,2,3;
B.7,24,25;
C.6,8,10;
D.9,12,15.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）
A.钝角三角形;
B.锐角三角形;
C.直角三角形;
D.等腰三角形.
5、如图5,一个无盖的圆柱纸盒：
高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃,要爬行的最短路程（取3）是（）
A.20cm;
B.10cm;
C.14cm;
D.无法确定.
6、适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为（）
①②∠A=450;
③∠A=320,∠B=580;
④⑤
A.2个;
B.3个;
C.4个;
D.5个.
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
（A）2cm（B）3cm（C）4cm（D）5cm
8.如图：
长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
三，解答题
1、在四边形ABCD中，∠A=600，∠B=∠D=900，BC=2，CD=3，求AB
2．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长
3、已知△ABC中，AD是高，AB+DC=AC+BD，求证：
AB=AC。
4、如图，△ABC中，∠BAC=90°
，AB=AC，P为BC上任意一点。
BP2+CP2=2AP2
P
5．已知直角三角形周长为24，面积为24，求各边之长。
6．如图所示，在△ABC中，AB=9，AC=6，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，求MB2－MC2的值。
数的开方——平方根
1．平方根的概念
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也叫二次方根。
即若，则就称为的平方根。
2．平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零有一个平方根，它是零本身；
③负数没有平方根。
3．平方根的表示方法：
一个正数的正的平方根，用符号“”表示，叫做被开方数，2叫做根指数；
正数的负平方根用符号“”表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作。
4．算术平方根：
正数的正的平方根，也叫做的算术平方根，记作（），0的平方根叫做0的算术平方根。
因此，0的算术平方根为0，即。
5．平方根的求法：
①利用定义；
②利用计算器；
③利用估算法。
6．开平方：
求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
7．开平方的小数点移动规律：
如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
例1∵∴（）
A．；
B．；
C．；
D．。
例2求下列各数的平方根：
，，，。
例3
（1）的平方根是，算术平方根是；
（2）的平方根是，算术平方根是；
（3）（-2．345）2的平方根是，算术平方根是。
例4
（1）的平方根为（）
A．没有平方根B．C．0D．1
（2）的平方根为（）
A．B．没有平方根C．0或没有平方根D．0
（3）一个自然数的一个平方根是，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（）
A．B．C．D．
例5已知，
①求和的值；
②若=0．4858，求的值；
③若，求的值。
例6解下列方程
（1）144=25
（2）-100
例7求中的值
1．
（1）求下列各数的平方根和算术平方根
①；
②0．0001；
③；
④0
（2）求下列各式的值
②；
③
2．求下列各数的平方根
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
3．填空
（1）9的平方根是，9的算术平方根是
（2）81的负的平方根是；
（3），；
（4）平方根是的数是；
（5）的平方根是；
（6）的平方根是；
（7）平方根是它本身的数是；
（8）若，则。
4．选择题
（1）下列结果错误的有（）
②的算术平方根是4；
③的算术平方根是；
④的平方根是
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）下列语句写成式子正确的是（）
A．7是49的算术平方根，即；
B．7是的算术平方根，即；
C．是49的平方根，即；
D．是7的算术平方根，即
5．下列各数有平方根吗？
如果有，求出它的平方根；
如果没有，请说明理由。
（1）；
（2）0；
（3）；
（5）-52；
（6）。
6．设为有理数，判断下列说法是否正确
（1）如果存在平方根，则；
（）
（2）如果有两个平方根，则；
（）
（3）如果没有平方根，则；
（）（4）如果，则的平方根也大于0。
7．已知，则=，=，=。
8．求下列各式中的值：
（1）
（2）（3）
9．分别求的值。
（1）a=3，b=2；
（2），；
（3）a=1，b=－1；
（4），
10．已知a、b、c是△ABC的三边，并且有，根据下列已知条件，求未知边。
（1）已知，，求a；
（2）已知a=3，b=4，求c；
（3）已知a=8，c=17，求b。
11．已知=0，求a、b的值。
12．已知，求x与y的值。
13．已知：
，
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的平方根。
14．若，求的值。
15．若，求的值。
16．计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅，求所需要的正方形地板砖的边长。
17．已知，求的算术平方根。
二次根式的化简与计算
【重难点提示】
1．最简二次根式
（1）最简二次根式要满足以下两个条件
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。
即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。
（2）化简二次根式的方法
“一分解”：
把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式。
“二移出”：
把这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外。
“三化去”：
化去被开方数中的分母。
2．二次根式的加减法
（1）同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。
判断几个二次根式是否是同类二次根式：
一化简，二判断。
（2）二次根式的加减法
先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（类似合并同类项）。
3．分母有理化
前面学过分母是单项二次根式时，与互为有理化因式。
那么两项式的二次根式的有理化因式是与。
与互为有理化因式。
4．二次根式的混合运算
（1）运算顺序：
二次根式的加、减、乘（乘方）、除的运算顺序与实数的运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最
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