八年级数学下册教案(北师大版)Word文档下载推荐.doc
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L=12呢？
（4）由（3）你能发现什么？
改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²
，远的面积可以表示为π（L/2π）²
。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²
，就是
（L/4）²
≤25，
即L²
/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²
π（L/2π）²
＞100
即L²
/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²
/16=6，圆的面积为
8²
/4π≈5.1，
4＜5.1
此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²
/16=9，圆的面积为
12²
/4π≈11.5，
9＜11.5，
此时还是圆的面积大。
教师得出结论
（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
L²
/4π＞L²
/16。
三、随堂练习
1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系
（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；
（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2不等式的基本性质
一、教学目标
（1）探索并掌握不等式的基本性质；
（2）理解不等式与等式性质的联系与区别.
二、教学内容
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：
在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
1.不等式基本性质的推导
例∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
例：
3＜4
3×
3＜4×
3
＜4×
（－3）＞4×
（－3）
（－）＞4×
（－）
（－5）＞4×
（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；
在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
三、课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2
（2）－x＜
解：
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6;
（2）3x＜3y;
（3）－2x＜－2y.
（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.
∴不等式不成立；
（2）∵x＞y,∴3x＞3y
（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y
∴不等式一定成立.
4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;
（2）6x＜5x－1;
（3）x＞5;
（4）－4x＞3.
5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3b－3;
（2）;
（3）－4a－4b;
（4）5a5b;
（5）当a＞0,b0时，ab＞0;
（6）当a＞0,b0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b0时，ab＞0;
（8）当a＜0,b0时，ab＜0.
参考答案：
4.
（1）x＜5;
（2）x＜－1;
（3）x＞10;
（4）x＜－.
5
（1）＞
（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞.
1.3不等式的解集
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
二、教学过程
1.现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
分析：
人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：
＞.
设导火线的长度应为xcm，根据题意，得
＞
∴x＞5.
2.想一想
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
答：
（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.
（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.
3.例题讲解
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;
（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2
在数轴上表示为：
（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4
（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8
根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4
1.判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解；
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4;
（2）x≤－1;
（3）x≥－2;
（4）x≤6.
1.解：
（1）∵x－1＞0,∴x＞1
∴x－1＞0有无数个解.∴正确.
（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,
∴x≤,∴结论错误.
2.解：
1.4一元一次不等式
1.知道什么是一元一次不等式？
2.会解一元一次不等式.
二、一元一次不等式的定义.
下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15;
（2）5+3x＞240;
（3）x＜－4;
（4）＞1.
答
（1）、
（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.
（4）为什么不是呢？
因为x在分母中，不是整式.
不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）.
2.一元一次不等式的解法.
例1解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得
3＜3x+6
两边都加上－6,得
3－6＜3x+6－6
－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.
［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
［生］解：
去分母，得3（x－2）≥2（7－x）
去括号，得3x－6≥14－2x
移项，合并同类项，得5x≥20
两边都除以5，得x≥4.
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＞－10;
（2）－3x+12≤0;
（3）＜;
（4）－1＜.
（1）两边同时除以5，得x＞－2.
（2）移项，得－3x≤－12,
两边都除以－3，得x≥4,
这个不等式的解集在数轴上表示为：
（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,
去括号，得3x－3＜8x－10,
移项、合并同类项，得5x＞7,
两边都除以5，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示为：
（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,
移项、合并同类项，得2x＞3,
两边都除以2，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示如下：
1.5一元一次不等式与一次函数
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=,
∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
3.试一试
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.
1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？
你是怎样做的？
与同伴交流.
如图1－24所示：
当x取小于的值时，有y1＞y2.
2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？
并写出过程.
图象如下：
要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.
［解］
（1）当x＞2时，2x－4＞0;
（2）当x＜4时，－2x+8＞0;
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.
（4）由2x－4=0,得x=2;
由－2x+8=0,得x=4
所以AB=4－2=2
由
得交点C（3，2）
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=×
2×
2=2.
3.分别解不等式
5x－1＞3（x+1）,
x－1＜7－x
所得的两个解集的公共部分是什么？
解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2
解不等式x－1＜7－x，得x＜4,
所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：
如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；
如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；
在月末一次性出售获利y2元，
根据题意，得
y1=15%x+（x+15%x）·
10%=0.265x,
y2=30%x－700=0.3x－700.
（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;
（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;
（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.
所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；
当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.
5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,
把（2，6）代入得，k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=－,b=
∴y2=－x+
（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的.
1.6一元一次不等式组
总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；
如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。
该校计划每月烧煤多少吨？
设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得
4（x+5）>
100,
（1）
且4（x-5）<
68.
（2）
未知数x同时满足
（1）
（2）两个条件，把
（1）
（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作4（x+5）>
100,
4（x-5）<
68.
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。
解下列不等式组
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
解不等式
（1），得x＞1
解不等式
（2），得x＞－4.
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集是x＞1
（2）
解不等式
（1），得x＜
解不等式
（2），得x＜
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集.如下图
所以，原不等式组的解集是x＜
（3）
解不等式
（1），得x＞
解不等式
（2），得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为＜x≤4.
（4）
解不等式
（1），得x＞4.
解不等式
（2），得x＜3.
所以，原不等式组的解集为无解.
我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.
（1）由得x＞1;
（2）由;
（3）由得＜x≤4;
（4）由得，无解.
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b;
（2）不等式组的解集是x＜a;
（3）不等式组的解集是a＜x＜b;
（4）不等式组的解集是无解.
用语言简单表述为：
同大取大；
同小取小；
大于小数小于大数取中间；
大于大数小于小数无解.
［解］
（1）
解不等式
（1），得x＜2
解不等式
（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式
（1）、
（2）的解集，
所以，原不等式组无解.
（2）
解不等式
（1），得x＞2
在同一数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为x＞3.
2.1分解因式
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.
解法一：
S=×
+×
=++=2
解法二：
=（++）=×
4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
（1）3x+6=3x+3×
2=3（x+2）;
（2）7x2－21x=7x·
x－7x·
3=7x（x－3）;
=8a2b·
ab－12b2c·
ab+ab·
c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb（m）
（2）4kx－8ky（4k）
（3）5y3+20y2（5y2）
（4）a2b－2ab2+ab（ab）
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
四、课后作业
（1）2x2－4x=2x（x－2）;
（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;
（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;
（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;
（5）－24x2y－12xy2+28y3
=－（24x2y+12xy2－28y3）
=－4y（6x2+3xy－7y2）;
（6）－4a3b3+6a2b－2ab
=－（4a3b3－6a2b+2ab）
=－2ab（2a2b2－3a+1）;
（7）－2x2－12xy2+8xy3
=－（2x2+12xy2－8xy3）
=－2x（x+6y2－4y3）;
（8）－3ma3+6ma2－12ma
=－（3ma3－6ma2+12ma）
=－3ma（a2－2a+4）;
2.利用因式分解进行计算
（1）121×
0.13+12.1×
0.9－12×
1.21
=12.1×
1.3+12.1×
0.9－1.2×
12.1
（1.3+0.9－1.2）
1=12.1
（2）2.34×
13.2+0.66×
13.2－26.4
=13.2×
（2.34+0.66－2）
1=13.2
（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π（R12+R22+R32）
=3.14×
（202+162+122）
=2512
2.2提公因式法
例1把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
把下列各式分解因式：
（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）
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