北京市初三数学一模试题T新定义题汇编学生版Word文档格式.docx
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请从中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程.
点P在直线上,若点P为⊙O的相邻点,求点P横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上存在⊙C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
图1备用图1
备用图2
(2016丰台一模29).如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b时,有-1≤y1-y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点,当-3≤x≤-1时,y1-y2=(3x+1)-(2x-1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质,得到该函数值的范围是-1≤y≤1,所以-1≤y1-y2≤1成立,因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y=x2-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y=与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
(2016平谷一模29).对于两个已知图形G1,G2,在G1上任取一点P,在G2上任取一点Q,当线段PQ的长度最小时,我们称这个最小长度为G1,G2的“密距”,用字母d表示;
当线段PQ的长度最大时,我们称这个最大的长度为图形G1,G2的“疏距”,用字母f表示.例如,当,时,点O与线段MN的“密距”为,点O与线段MN的“疏距”为.
(1)已知,在平面直角坐标系xOy中,,,,,
①点O与线段AB的“密距”为,“疏距”为;
②线段AB与△COD的“密距”为,“疏距”为;
(2)直线与x轴,y轴分别交于点E,F,以为圆心,1为半径作圆,当⊙C与线段EF的“密距”0<
d<
1时,求⊙C与线段EF的“疏距”f的取值范围.
备用图
(2016延庆一模28).在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:
如果,那么称点Q为点P的“妫川伴侣”.
例如:
点(5,6)的“妫川伴侣”为点(5,6),点(-5,6)的“妫川伴侣”
为点(-5,-6).
(1)①点(2,1)的“妫川伴侣”为;
②如果点A(3,-1),B(-1,3)的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上,那么这个点是(填“点A”或“点B”).
(2)①点(-1,-2)的“妫川伴侣”点M的坐标为;
②如果点(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上点N的“妫川伴侣”,
求点N的坐标.
(3)如果点P在函数(-2<x≤a)的图象上,其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是-4<y′≤4,那么实数a的取值范围是.
(2016怀柔一模29).29.给出如下规定:
两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值时,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”;
如果线段PQ的长度存在最大值时,就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”.
请你在学习,理解上述定义的基础上,解决下面问题:
在平面直角坐标系xOy中,点A(-4,3),B(-4,-3),C(4,-3),D(4,3).
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”.
(2)设直线(b>
0)与x轴,y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1,求它们的“远距离”;
(3)在平面直角坐标系xOy中,有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心,2为半径的圆上,其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周,在旋转的过程中,它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是;
“近距离”的最小值是.
(2016房山一模29).在平面直角坐标系xoy中,对于任意三点A,B,C给出如下定义:
如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在正方形的内部或边界上,那么称该正方形为点A,B,C的外延正方形,在点A,B,C所有的外延正方形中,面积最小的正方形称为点A,B,C的最佳外延正方形.例如,图1中的正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3CD3都是点A,B,C的外延正方形,正方形A3B3CD3是点A,B,C的最佳外延正方形.
(图1)(图2)
(1)如图1,点A(-1,0),B(2,4),C(0,t)(t为整数).
①如果t=3,则点A,B,C的最佳外延正方形的面积是;
②如果点A,B,C的最佳外延正方形的面积是25,且使点C在最佳外延正方形的一边上,请写出一个符合题意的t值;
(图3)(图4)
(2)如图3,已知点M(3,0),N(0,4),P(x,y)是抛物线y=x2-2x-3上一点,求点M,N,P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围;
(3)如图4,已知点E(m,n)在函数(x>
0)的图象上,且点D的坐标为(1,1),设点O,D,E的最佳外延正方形的边长为,请直接写出的取值范围.
(2016海淀一模29).在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C
不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:
若为
直线PC与⊙C的一个交点,满足,则称
为点P关于⊙C的限距点,右图为点P及其关于⊙C的限
距点的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M,N,T关
于⊙O的限距点是否存在?
若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的
边上.若点P关于⊙O的限距点存在,求点的横坐标的取值范围;
(2)保持
(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向
运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.
温馨提示:
答对问题1得2分,答对问题2得1分,两题均答不重复计分.
问题1
问题2
若点P关于⊙C的限距点存在,且随点P的运动所形成的路径长为,则r的最小值为__________.
若点P关于⊙C的限距点不存在,则r的取值范围为________.
(2016燕山一模29).在平面直角坐标系中,给出如下定义:
若点P在图形M上,点Q在图形N上,称线段PQ长度的最小值为图形M,N的密距,记为d(M,N).特别地,若图形M,N有公共点,规定d(M,N)=0.
(1)如图1,⊙O的半径为2,
①点A(0,1),B(4,3),则d(A,⊙O)=,d(B,⊙O)=.
②已知直线l:
与⊙O的密距d(l,⊙O)=,求b的值.
(2)如图2,C为x轴正半轴上一点,⊙C的半径为1,直线与x轴交于点D,与y轴交于点E,线段DE与⊙C的密距d(DE,⊙C)<
.请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围.
图1
图2
(2016石景山一模29).在平面直角坐标系中,图形在坐标轴上的投影长度定义如下:
设点
,是图形上的任意两点.若的最大值为,
则图形在轴上的投影长度;
若的最
大值为,则图形在轴上的投影长度.如右
图,图形在轴上的投影长度;
在轴
上的投影长度.
(1)已知点,.如图1所示,若图形
为△,则,.
(2)已知点,点在直线上,若图形为△.当时,求点的坐标.
(3)若图形为函数的图象,其中.当该图形
满足时,请直接写出的取值范围.
(2016西城一模29).在平面直角坐标系中,对于点和图形,如果线段与图形无公共点,则称点为关于图形的“阳光点”;
如果线段与图形有公共点,则称点为关于图形的“阴影点”.
(1)如图1,已知点,,连接
①在,,,这四个点中,关于线段的“阳光点”是;
②线段A1B1∥AB;
上的所有点都是关于线段的“阴影点”,且当线段向上或向下平移时,都会有上的点成为关于线段的“阳光点”.若的长为4,且点在的上方,则点的坐标为___________________;
(2)如图2,已知点,与轴相切于点.若的半径为,圆心在直线上,且上的所有点都是关于的“阴影点”,求圆心的横坐标的取值范围;
(3)如图3,的半径是3,点到原点的距离为5.点是上到原点距离最近的点,点和是坐标平面内的两个动点,且上的所有点都是关于的“阴影点”,直接写出的周长的最小值.
图1图2图3
(2016通州一模29).对于⊙P及一个矩形给出如下定义:
如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点,那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A的坐标为(,),顶点C、D在x轴上,且OC=OD.
(1)当⊙P的半径为4时,
①在P1(,),P2(,),P3(,)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是_________________________;
②如果点P在直线上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,求点P的坐标;
(2)已知点P在轴上,且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”,如果⊙P与直线AD没有公共点,直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
(2016门头沟一模29).如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·
OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.
图1图2图3
(1)如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
(2)①如图3,如果∠MON=60°
,OP=2,∠APB是∠MON的关联角,连接AB,求△AOB的面积和∠APB的度数;
②如果∠MON=α°
(0°
<α°
<90°
),OP=m,∠APB是∠MON的关联角,直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积.
(3)如图4,点C是函数(x>0)图象上一个动点,过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标.
图4
(2016顺义一模29).在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下:
当时,
Q点坐标为(b,-a);
当时,Q点坐标为(a,-b).
(1)求(-2,3),(6,-1)的变换点坐标;
(2)已知直线l与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2).若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形,记作图形W,请画出图形W,并简要说明画图的思路;
(3)若抛物线与图形W有三个交点,请直接写出c的取值范围.
(2016大兴一模29).设在一个变化过程中有两个变量与,如果对于的每一个值,都有唯一确定的值和它对应,那么就说是的函数,记作.在函数中,当自变量时,相应的函数值可以表示为.
函数,当时,
在平面直角坐标系中,对于函数的零点给出如下定义:
如果函数在的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线,并且,那么函数在的范围内有零点,即存在(),使=0,则叫做这个函数的零点,也是方程在范围内的根.
二次函数的图象如图所示
观察可知:
,则.
所以函数在范围内有零点.
由于,所以,是的零点,
也是方程的根.
(1)观察函数的图象,回答下列问题:
①______0(“<”“>”或“=”)
②在范围内的零点的个数是_____.
(2)已知函数的零点为,
且.
①求零点为,(用a表示);
②在平面直角坐标中,在轴上A,B两点表示的数是零点,,点P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合),在轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,若是整数,求抛物线的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.
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