北师大版八年级上册第一章：探索勾股定理精讲Word格式.doc
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利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直
角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还
是平方差。
【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【例5】已知：
如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A=45°
．若DC=2cm，
AB=5cm，求AD和BC的长．
【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②
个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．
（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；
（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数）
2、如何利用勾股定理求面积
利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关
系中去，有时还要注意整体思想的应用。
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
○，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=。
S1
S2
S3
A
B
C
变式：
将△ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？
如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．
【例8】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）
A．13B．26C．47D．94
【例9】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
3、勾股定理与方程相结合的应用
在进行直角三角形的有关计算中，如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。
【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
【例11】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
【例12】为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：
阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？
【例13】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
（1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
【规律总结】
第二节勾股定理逆定理
●应知基础知识
1、勾股定理逆定理的内容：
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是，且最长边所对的角为。
总结：
到目前为止判定直角三角形的方法有多少种了？
2、理解：
（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
（2）如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：
首先确定最大边（如：
C，但不要认为最大边一定是C）
其次验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若c2>
a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的三角形；
若c2<
a2+b2，则△ABC是以∠C为锐角三角形。
3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为．
显然，一组勾股数必须满足两个条件：
①满足；
②都是。
若（a，b，c）为一组基本勾股数，则（ka，kb，kc）也为勾股数，其中k为正整数。
即将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数仍是一组勾股数。
【例1】若三角形三边长分别为，当时，此三角形为直角三角形。
【例2】①；
②；
③；
④，且为自然数）。
上面各组数中，勾股数有（填序号）。
●应会基本方法
1、利用非负数的性质判断三角形的形状
【例3】已知，试判断以为三边长的三角形的形状。
【练习】如果一个三角形的三边长满足，试说明这个三角形是直角三角形。
【例4】请阅读下列解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b+2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2-b2c2=a4-b4，A
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC为直角三角形．D
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：
第C步；
（2）错误的原因是：
等式两边同时除以a2-b2；
（3）本题正确的结论是：
直角三角形或等腰三角形．
2、勾股数
【例5】观察下表：
列举猜想
3，4，5
32=4+5
5，12，13
52=12+13
7，24，25
72=24+25
…
13，b，c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．
【练习】
（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？
请你写出一下几组勾股数组：
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数）
【例6】我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．并
发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．勾股数的寻找与判断不是件很容易的事，不过还是有一些规律可循的．（以下n为正整数，且n≥2）
（1）观察：
3、4、5；
5、12、13；
7、24、25；
…，小明发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．小明根据发现的规律，推算出这一类的勾股数可以表示为：
2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）+1．请问：
小明的这个结论正确吗？
（2）继续观察第一个数为偶数的情况：
4、3、5；
6、8、10；
8、15、17；
…，
你能像小明一样发现每组勾股数中的其他两边长都有何规律吗？
若用2n表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．
1、解题时，记住常见的勾股数可以提高解题速度，如……
2、用含字母的代数式表示的勾股数：
①（为正整数）；
②（为正整数）；
③（为正整数）。
3、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用
勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用主要体现在下面几个方面：
（1）利用勾股定理及勾股定理逆定理解决生活中的实际问题；
（2）计算图形中的线段、角度以及面积的大小；
（3）证明线段垂直或成平方和关系。
【例7】如图，四边形ABCD中，已知∠BAD=90°
，且AB=3，BC=12，CD=13，DA=4．求四边形的面积．
如图所示，在四边形ABCD中，已知：
AB：
BC：
CD：
DA=2：
2：
3：
1，且∠
B=90°
，求∠DAB的度数．
【例8】如图，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC，问：
AF与EF会垂直吗？
若垂直，说明理由；
若不垂直，请举出反例．
【例9】如图，在中，，是上任一点。
求证：
P
。
提示：
作AE垂直于BC
因为AE=BE=CE
BP2+CP2=（BE+PE）2+（BE-PE）2=2BE2+2PE2
因为勾股定理
BE2+PE2=AP2
所以BP2+CP2=2AP2
【例10】矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点Ｍ运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连续FM、FN。
设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：
当ｘ为多少时，?
Ｆ
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
第三节蚂蚁怎样走最近
●应知、应会基础知识及基本方法
遇到蚂蚁怎样走最近的问题时要明确应把立体图形展开转化为平面图形来解决，除了用到侧面展开图的知识外，也用到勾股定理和线段公理等基本数学知识，在展开后我们会发现多个不同的答案需要进行比较，选择最短的．
1、长方体（或正方体）面上的两点间的最短距离
长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏。
一般来说，需要讨论三种情况——前面和右面展开；
前面和上面展开；
左面和上面展开，从而比较取其最小值即可。
【例1】如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？
这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
【例2】在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？
2、圆柱体（或圆锥体）面上的两点间的最短距离
将圆柱体（或圆锥体）的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决。
【例3】桌上有一圆柱形玻璃杯高12cm，底面周长18cm，在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴密糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至密糖相对方向离桌面3cm的B处时（即A、B在底面的射影的連线段经过底面的圆心O），突然发现了密糖，问小虫怎样爬到达密糖最近？
它至少爬多少路才能到达密糖所在位置．
3、生活中两点间的最短距离
用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答。
【例4】如图所示是一个会场的台阶的侧视图，要在上面披上红地毯，则至少需要（ ）米的地毯才能铺好整个台阶．
A、2.5B、5C、7.5D、10
【变式训练】为了筹备元旦庆祝晚会，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°
，∠BCA=90°
，台阶的高BC为3米，那么请你帮忙算一算至少需要米长的地毯恰好能铺好台阶．
（结果精确到0.1m，参考数据：
=1.414，=1.732）
【例5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
第四节专题突破
一、网格中的勾股定理
【知识要点】
正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。
【例题精讲】
【例1】如图1所示，在一个有4×
4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）
图4
图1
图2
图3
A、3：
4 B、5：
8 C、9：
16 D、1：
2
【例2】如图2所示，在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是（）
A、a＜b＜cB、c＜a＜bC、c＜b＜aD、b＜a＜c
【例3】如图3所示为一个6×
6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（）
A、3个B、2个C、1个D以上都不对
【练习】如图4所示，在网格中，小正方形的边长为a，则图中是直角三角形的是。
二、特殊直角三角形
1、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，且三边之比为。
2、直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于；
3、等腰直角三角形中，两直角都等于，它的三边之比为。
【例4】已知等边三角形的边长为，求三角形的面积。
【例5】已知，如图，在四边形中，，
D
1
2
求、长。
（1）如图，在中，，求的长。
（2）如图，在中，求的长及。
【例6】如图在一次实践活动中，小兵从A地出发，沿北偏东的方向行进了千米到达B地，然后再沿北偏西方向行进了千米到达目的地C．
（1）求A,C两地之间的距离
（2）试确定目的地C在点A的什么方向（在直角三
角形中角所对的直角边为斜边的一半）？
三、面积法
1、等底等高的三角形面积相等，等底不等高的两三角形面积之比等于其对应高的比，
等高不等底的两三角形面积之比等于其对应高的比。
2、一个图形的面积可以用多种不同的表示方法，从而可构造出多个等式。
【例7】求证：
直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。
【例8】在直角三角形中，与之和等于17，求的长。
四、勾股定理中的折叠问题
【例9】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．B．C．D．
【例10】如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
（A） （B） （C）5 （D）6
【例11】
E
已知，如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A.6B.8 C
F
C.10D.12
【例12】如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8.BC=6,求AG的长
五、拼图
如图在Rt△ABC中,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形．如图所示
要求：
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
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