初三数学圆的综合复习教案Word文件下载.doc

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（3）弦切角：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

弦切角的性质：

弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

4．圆的性质：

（1）旋转不变性：

圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；

圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

（2）轴对称：

圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论：

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

（5）平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

（1）三角形的内心：

是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

（2）三角形的外心：

是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

（3）三角形重心：

是三角形三边中线的交点，在三角形内部；

它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

（4）垂心：

是三角形三边高线的交点．

6．切线的判定、性质：

（1）切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

（2）切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．

③经过切点作切线的垂线经过圆心．

（3）切线长：

从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

（4）切线长定理：

从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

7．圆内接四边形和外切四边形

（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

（2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．

8．直线和圆的位置关系：

设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d．

（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离d>

R．

（2）直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．

（3）直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d<

9．圆和圆的位置关系：

设的半径为R、r（R>

r），圆心距．

（1）没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>

R＋r．

（2）没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<

R－r

（3）有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．

（4）有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．

（5）有两个公共点相交R－r<

10．两圆的性质：

（1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．

11．圆中有关计算：

圆的面积公式：

，周长C＝2πR．

圆心角为n°

、半径为R的弧长．

，半径为R，弧长为l的扇形的面积．

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

【经典例题精讲】

例1如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？

例2下列命题正确的是（）

A．相等的圆周角对的弧相等

B．等弧所对的弦相等

C．三点确定一个圆

D．平分弦的直径垂直于弦．

解：

A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．

B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．

C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．

D．平分弦（不是直径）的直径垂直于此弦．

故选B．

例3四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：

圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．

设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°

，

x＝45°

．

∴∠D＝90°

小结：

此题可变形为：

四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．

例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：

将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°

的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．

测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°

的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．

应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．

例5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．

分两种情况讨论：

（1）若位于AB的两侧（如图23-8），设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

故．

（2）若位于AB的同侧（如图23-9），设的延长线与AB交于C，连结．

∵垂直平分AB，

∴．

又∵AB＝16，

注意：

在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．

三、相关定理：

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：

几何语言：

　　若弦AB、CD交于点P，则PA·

PB=PC·

PD（相交弦定理）

例1．已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为 

。

由相交弦定理得，即，其中

2.切割线定理

　推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·

PB

例2．已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

设TD=，BP=，由相交弦定理得：

即 

，（舍）

由切割线定理， 

由勾股定理，

∴ 

∴

四、辅助线总结

1.圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5）．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．

6）．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．

7）．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8）．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：

（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；

（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9）．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10）．遇到三角形的内心，常作：

（1）内心到三边的垂线；

（2）连结内心和三角形的顶点．

11）．遇相交两圆，常作：

（1）公共弦；

（2）连心线．

12）．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13）．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

2、圆中较特殊的辅助线

1）．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．

2）．将割线、相交弦补充完整．

3）．作辅助圆．

【中考热点】

近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点．

例1（2003·

北京市）如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（）

A．2 B．3

C．4 D．5

连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，，即，则，（舍去）．

答案：

A．

例2（2003·

北京市）如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°

，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×

55°

＝110°

．答案：

C．

例3（2003·

北京市）如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（）

A．B．C． D．

圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；

另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：

B．

例4（河南省A卷）如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>

MC，连结OE、DE，．

（1）求EM的长．

（2）求sin∠EOB的值．

简析：

（1）由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·

MB＝x（7－x），即．所以．而EM>

MC，即EM＝4．

（2）过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF＝1（OE＝EM＝4），即，则．

例5（2003·

山西省）如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程（其中m为实数）的两根．

（1）求证：

BE＝BD；

（2）若，求∠A的度数．

（1）由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．

（2）由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°

．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以．在Rt△ACB中，，故∠A＝60°

历届中考题目

1．（2002·

青海省）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（）

A．2cm B．14cm

C．2cm或14cm D．10cm或20cm

2．（2001·

吉林省）如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．

3．（2000·

北京西城区）如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是（）

A．CE＝DE B．

C．∠BAC＝∠BAD D．AC>

AD

4．（2000·

北京市丰台区）在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．

5．（2000·

荆门市）如图23-17，点A是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P为直径AMN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）

A．1 B．

C． D．

6．（2001·

陕西省）给出下列命题

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．

②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．

③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆．

④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的说法有（）

A．1个B．2个C．3个 D．4个

7．（2001·

泉州市）圆内接四边形ABCD中，∠A︰∠C＝1︰3，则∠C＝_________．

8．（2002·

曲靖市）下列判断：

（1）分式方程无解；

（2）直径是弦；

（3）任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆；

（4）圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角；

（5）长度相等的弧所对的圆心角相等．

其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个 D．4个

9．（2001·

盐城市）如图23-19，在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是________．

10．（2002·

金华市）如图23-20，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD．请根据图中所给出的已知条件（不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线），写出两个你认为正确的结论_________________．

11．（2001·

连云港市）两圆半径长分别是R、r（R>

r），圆心距为d，若关于x的一元二次方程有相等的实数根，则两圆的位置关系为（）

A．一定内切 B．一定外切

C．相交 D．内切或外切

12．（2002·

黄冈市）如图23-21，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝60°

，，将△ABC绕点B旋转到△A′B′C′的位置，且使点A、B、C′三点在同一条直线上，则A点经过的最短路线的长度是__________cm．

13．（2002·

河南省）如图23-22，⊙O、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结5个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和为（）

A．1π B．1.5π

C．2π D．2.5π

14．（2003·

新疆）若两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是_____．

15．（2003·

辽宁）如图23-23，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放地一起，则其最高点到地面的距离是___________．

16．一个扇形的弧长为20πcm，面积为，则该扇形的圆心角为__________．

17．（2003·

河北）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为_________．

参考答案

【历届中考题目】

1．C2．3≤OP≤53．D4．48cm5．C

6．B7．135°

8．C9．3<

R≤4或

10．（略）11．D12．13．B14．内切

15．16．150°

17．12π

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