二次函数压轴题分类整理Word格式.doc

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练习1：

（2007义乌）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；

如果不存在，请说明理由。

练习1解：

解：

（1）令y=0，解得或（1分）

∴A（-1，0）B（3，0）；

（1分）

将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）（1分）

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：

x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：

P（x，-x-1），（1分）

E（（1分）

∵P点在E点的上方，PE=（2分）

∴当时，PE的最大值=（1分）

（3）存在4个这样的点F，分别是

①如图①

，当CG∥AF时，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②

①

②如图②，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图③，当AC∥FG时，由△GFN≌△CAM可得GN=CM=3，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由FN=AM=3,OF=1++3=4+，所以F的坐标为（4+，0）；

④如图④，同③可求出F的坐标为（4-，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

④

③

练习2、（2009湖州）已知抛物线y=x2－2x+a（a＜0）与轴相交于点，顶点为.直线y=0.5x－a分别与x轴，y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.

（1）填空：

试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（,）,N（,）；

（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P点的坐标；

若不存在，试说明理由.

第

（2）题

x

y

B

C

O

D

A

M

N

N′

备用图

练习2解：

（1）.……………4分

（2）由题意得点与点′关于轴对称，，

将′的坐标代入得，

（不合题意，舍去），.……………2分

，点到轴的距离为3.

，，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.……………2分

P1

P2

（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得：

（不舍题意，舍去），，

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：

，

（不合题意，舍去），，．……………2分

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．

二、二次函数与相似三角形

图1

例2、[09辽宁十二市]已知：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：

如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·

S，当0＜t＜4时，

W是否有最大值？

如果有，求出W的最大值和此时t的值；

如果没有，说明理由；

探究二：

如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC

相似？

如果存在，求点P的坐标；

如果不存在，请说明理由．

图2

例2解：

（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．

P

∴，∴，∴．∴．

（2）探究一：

当时，有最大值．

∵抛物线交轴于两点，交轴于点，

∴，，，∴．

当时，作轴于，则．

∵，∴．

∵

∴∴当时，有最大值，．

存在．分三种情况：

①当时，作轴于，则，

∴．∴，，

∴．

E

∵轴，轴，∴，∴，

∴．∴，．

此时，又因为，

∴，∴，∴．

∴当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）．

②当时，则，∴，∴．

∵，∴．∴与不相似，此时点不存在．

③当时，以为直径作，则的半径，圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．不存在点，使．∴综上所述，只存在一点使与相似．

练习3:

（07临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？

若不存在，说明理由。

第26题图

练习3：

⑴由题意可设抛物线的解析式为

∵抛物线过原点，∴∴.

抛物线的解析式为,即

⑵如图1,当四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,

得,∴B（4,0）,OB＝4.∴D点的横坐标为6.将x＝6代入,

得y＝－3,∴D（6,－3）;

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为（－2,－3）,当四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为（2,1）

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:

AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO

设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′（2,－1）

∴直线OP的解析式为

由,得.∴P（6,－3）

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,

∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO与△BAO不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

练习4、矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；

（3）设

（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．

6

练习4、解：

（1）点的坐标为． （2分）

（2）抛物线的表达式为． （4分）

（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．

∵，

∴． （6分）

∵抛物线的对称轴，

∴点的坐标为． （7分）

过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．

∵对称轴平行于轴，

∴． （8分）

∴点也符合条件，．

∴，

∴． （9分）

∵点在第一象限，

∴点的坐标为，

∴符合条件的点有两个，分别是，． （11分）

练习5、（09长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0））的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3,0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B,N,Q为项点的三角形与△ABC相似？

如果存在，请求出点Q的坐标；

练习5解：

（1）y

（2）=4a+2b+c=y（-4）=16a-4b+c①

点（-3，0）（0，）代入函数得9a-3b+c=0②c=③

解方程组得a=-,b=-,c=

（2）已知函数y=-（x²

+2x-3）令y=0得B点坐标（1，0）

由题意得，BN=NP=PM=MB=t，又在△BMN中tanB==,所以∠B=60°

，

首先求得AC直线函数y=（x+3）

由正△BMN求N点坐标令其坐标为（x0,y0）则，x0=-+1y0=

故点P坐标为（-+1-t,），同时因为点P在直线AC上故满足

==（-3t/2+4）解方程得t=，此时点P坐标为（-1，）

法二、过P作PD⊥OA于D，可以求得PD=，MD=，OD=+-1=1，所以点P坐标为（-1，）

（3）函数对称轴为x=-1，故可假设Q的坐标为（-1，k），根据已知ABC三点坐标可以证明△ABC为直角三角形△BNQ与△ABC相似，则可通过N或B做BC垂线段并使BQ=BN可满足条件。

当∠BNQ=90°

时，则点Q横坐标为1-=-不符条件；

当∠NBQ=90°

时，NQ=2t=,Q在NM延长线上且MQ=MN，Q的横坐标为-1/3-t/2=-1满足条件，此Q的纵坐标为，故存在点Q（-1，）使得△BNQ与△ABC相似。

三、二次函数与最大（小）值

例3、（2009江津市）如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；

若不存在，请说明理由.

（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

例3、解：

（1）将A（1，0），B（－3，0）代中得

……………………（2分）∴……………………（3分）

∴抛物线解析式为：

……………………（4分）

（2）存在…………………………………………………………………………（5分）

理由如下：

由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称

∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

∵∴C的坐标为：

（0，3）

直线BC解析式为：

……………………（6分）Q点坐标即为的解

∴∴Q（－1，2）…………………………………………………………………（7分）

（3）答：

存在。

…………………………………………………………………（8分）

理由如下：

设P点

∵

若有最大值，则就最大，

∴……………………………………………（9分）

＝

当时，最大值＝

∴最大＝………………………………………（10分）

当时，∴点P坐标为………………………………………（11分）

练习6、（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°

，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；

若没有，请说明理由.

练习6解：

（1）B（1，）

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+a），代入点B（1,），得，

因此

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.所以，

因此直线AB为，

当x=－1时，，

因此点C的坐标为（－1，）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.

练习6、（2007辽宁沈阳）．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<

OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；

若不存在，请说明理由．

练习6．解：

（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　………………………………1分

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　…………………………………4分

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

　解得

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　……7分

（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC

∴＝　　即＝

∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　∴FG＝·

＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×

8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　……………………………10分

自变量m的取值范围是0＜m＜8　　…………………………………………………11分

（4）存在．

理由：

∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　……………………………………………12分

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．　　…………………………………………………………14分

练习7、（2006·

泉州市）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为X轴建立直角坐标系（如图所示）.

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？

请你帮施工队计算一下.

练习7解:

⑴

⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式为:

∵抛物线过O（0,0）∴解得

∴这条抛物线的函数解析式为:

即.

（法2）设这条抛物线的函数解析式为:

∵抛物线过O（0,0）,三点，

∴　　　　解得：

∴这条抛物线的函数解析式为:

.

⑶设点A的坐标为∴OB=m，AB=DC=

根据抛物线的轴对称,可得:

∴即AD=12－2m　　

∴＝AB+AD+DC===

∴当m=3，即OB=3米时，

三根木杆长度之和的最大值为15米.

四、二次函数与等腰（或直角）三角形

例4、（2013湖南湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． 

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？

并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？

若不存在，求出符合条件的Q点坐标；

若不存在，请说明理由． 

例4、解：

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， 

∴﹣×

（﹣2）2+b×

（﹣2）+4=0， 

解得：

b=， 

∴抛物线解析式为 

y=﹣x2+x+4， 

又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+， 

∴对称轴方程为：

x=3． 

（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；

令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：

x=8或x=﹣2， 

∴A（﹣2，0），B（8，0）． 

设直线BC的解析式为y=kx+b， 

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

， 

解得k=-，b=4， 

∴直线BC的解析式为：

y=-x+4． 

（3）可判定△AOC∽△COB成立． 

理由如下：

在△AOC与△COB中， 

∵OA=2，OC=4，OB=8， 

∴， 

又∵∠AOC=∠BOC=90°

∴△AOC∽△COB． 

（4）∵抛物线的对称轴方程为：

x=3， 

可设点Q（3，t），则可求得：

AC===， 

AQ==， 

CQ==． 

i）当AQ=CQ时， 

有=， 

25+t2=t2﹣8t+16+9， 

解得t=0， 

∴Q1（3，0）；

ii）当AC=AQ时， 

t2=﹣5，此方程无实数根， 

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时， 

整理得：

t2﹣8t+5=0， 

t=4±

∴点Q坐标为：

Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：

Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 

练习8、（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？

若能，求出t的值；

若不能，请说明理由．

练习8、解：

（1）根据题意，设抛物