初中数学最值问题典型例题(含答案分析)Word格式.doc

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在直线上确定一点，使的值最小．

方法：

作点关于直线的对称点，连结交于

点，则的值最小

例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；

若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；

若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b≥2a）,且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）

（1）求S△DBF;

（2）把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;

（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?

如果存在,试求出最大值、最小值；

如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。

点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）求a，b及的值

（2）设点P的横坐标为

①用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：

10？

若存在，直接写出值；

例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=,抛物线经过点A（4,0）与点（-2,6）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；

同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；

点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

例1、证明：

（1）∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°

．

∵∠MBN=60°

，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：

连接MN，由

（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，

，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

例2、解：

（1）设所求抛物线的解析式为：

，依题意，将点B（3，0）代入，得：

解得：

a＝－1∴所求抛物线的解析式为：

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①

设过A、E两点的一次函数解析式为：

y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得

∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3

当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）

又∵抛物线的对称轴为：

直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：

y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为（0，1）

∴=2………………………………………③

又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1）

∴………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：

，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：

解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：

y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；

当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：

DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：

DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

即：

………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得

△AMN∽△ABD，

∴

再由

（1）、

（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

∴

∵，

∴⑤式可写成：

解得：

或（不合题意，舍去）

∴点M的坐标为（，0）

又∵点T在抛物线图像上，

∴当x＝时，y＝

∴点T的坐标为（，）.

例3、

（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=。

∴。

（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，

∴四边形AFDB是梯形。

∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。

由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。

第一种情况：

当b＞2a时，存在最大值及最小值，

∵△BFD的边BD=，

∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。

如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=，

S△BFD的最小值=。

第二种情况：

当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，

S△BFD的最大值=。

例4、解：

（1）由，得到x=－2，∴A（－2，0）。

由，得到x=4，∴B（4，3）。

∵经过A、B两点，

∴，解得。

设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。

∴根据勾股定理，得AE=。

∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。

（2）①由

（1）可知抛物线的解析式为。

由点P的横坐标为，得P，C。

∴PC=。

在Rt△PCD中，，

∵，∴当m=1时，PD有最大值。

②存在满足条件的值，。

例5、解：

（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组，

解之，得.∴抛物线的解析式为.

（2）连接AC交OB于E.

∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m，∵弦AB=AO，∴.∴AC⊥OB，∴m∥OB.

∴∠OAD=∠AOB，∵OA=4tan∠AOB=，∴OD=OA·

tan∠OAD=4×

=3.

作OF⊥AD于F.则OF=OA·

sin∠OAD=4×

=2.4.

t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.

⊿ODF中，t=DF==1.8秒.

（3）令R（x,x2－2x）（0＜x＜4）.

作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x，OG=x2+2x.

Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB，∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=x,

Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x2+2x）=x2－x.HI=（x2－x）.

于是RH=IR－IH=x－（x2－x）=－x2+x=－x2+x=－（x－）2+

当x=时，RH最大.S⊿ROB最大.这时x2－2x=×

（）2－2×

=－.∴点R（,－）