二次根式的乘除法和加减法Word格式文档下载.doc
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1、掌握二次根式的乘、除法运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；
2，会利用积的算术平方根的性质，商的算术平方根的性质对二次根式进行化简；
3、掌握将二次根式化为最简二次根式的一般方法
教学内容
知识点一二次根式的乘法
★二次根式的乘法法则：
★二次根式的乘法法则的拓展：
例1计算：
（1）
（2）（3）
知识点二积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用）
★把反过来，就得到，也就是说，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积
注意：
（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面；
（2）在利用时，要特别注意满足条件。
例2计算与化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）
（1）
（2）（3）（4）（5）
知识点三二次根式的除法
★二次根式的除法法则：
（1）由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是0，所以公式中分子的被开方数
要大于或者等于0，分母的被开方数要大于0，即公式要满足条件
（2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除
作为积的因式，即
例3计算：
（1）
（2）
（3）（4）
知识点四商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用）
★商的算术平方根用式子可表示为：
，也就是说，商的算术平方根，等于两个算术平方根的商
（1）商的算术平方根的性质的限制条件是，它与积的算术平方根的限制条件类似，但
也有区别，因为分母不能为0，即除式不能为0，所以除式必须是正数
（2）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满
足，才能用此性质进行计算
例4化简：
（1）
（2）（3）（4）
知识点五最简二次根式
★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式
最简二次根式要从以下两点来解释
（1）根号下是整数或整式；
（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是1
例5下列各式中属于最简二次根式的是（）
A、B、C、D、
知识点六化二次根式为最简二次根式
★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式
★把一个二次根式化为最简二次根式的一般步骤：
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数；
（2）把被开方数中的多项式进行因式分解；
（3）使被开方数中不含分母；
（4）把被开方数中能开的尽方的因数或者因式利用公式去掉根号；
（5）化去分母中的根号；
（6）约分
例6把下列各式化为最简二次根式：
（1）
（2）（3）（4）
知识点七分母有理化
★把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化
（1）在计算二次根式除法时，当分母中的被开方数不能开的尽方时，常用分母有理化的方法化简
（2）分母有理化的依据是：
分数（或分式）的基本性质和二次根式的性质，
★分母有理化的方法是：
将分子和分母都乘一个恰当的二次根式（即分母的有理化因式），化去分母中的根号
如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成两个算术平方根的形式，然后将分子、分母同乘一个恰当的因式进行化简，如，也可以根据分式的基本性质，将分子、分母都乘同一个不为零的整式，将分母化成完全平方式，然后利用商的算术平方根的性质化简，如
（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
（2）如果已知二次根式不是最简二次根式，要先把它化为最简二次根式后，再确定其有理化因式
例7化简：
（1）
（2）（3）
例8化简：
知识点八同类二次根式（重点）
★与整式中同类项相类似，我们像、与这样的几个二次根式，称为同类二
次根式，与也是同类二次根式；
★几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二
次根式
【注意】
（1）判断两个二次根式是否为同类二次根式，应先将各个二次根式化为最简二次
根式；
再观察每个最简二次根式的被开方数，若被开方数相同，则称它们为同类二
次根式
（2）几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号
外面的因数（或因式）无关
例1在二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A、B、C、D、
知识点九合并同类二次根式
★法则：
将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数不变
例2计算：
知识点十二次根式的加减（重点）
例3
（1）
（2）
知识点十一二次根式的混合运算（难点）
★二次根式混合运算的常见类型及方法：
（1）型，运用乘法对加法的分配律化简
（2）型，可类比多项式乘多项式的法则进行计算，即
（3）（其中），
（其中）
（4）（其中）；
（5）（其中
且）
例4计算：
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
例5化简：
（1）
（2）
典型例题剖析
题型一公式及的运用
例1
（1）成立的条件是（）
A、B、C、D、
（2）当时，
例2不改变原式的值，将根号外的非负因数移到根号内
（1）
（2）（3）
题型二二次根式的化简
例3已知，化简二次根式的正确结果是（）
A、B、C、D、
题型三二次根式的乘除运算
（1）
（2）
题型四实数大小的比较
例5比较和的大小
题型五根据同类二次根式的定义确定字母的取值
例1若最简二次根式与是同类二次根式，求的值
题型六二次根式的混合运算
（1）
（2）
题型七含二次根式条件的代数式的化简求值问题
例3先化简，再求值：
，其中
题型八二次根式的加法在生活中的应用
例4教师节到了，为了表示对老师的敬意，小方同学做了两张大小不同的正方形壁画准备送
给老师,其中一个面积为800cm2,另一个面积为450cm2,她想如果再把壁画的边用金色的
彩带镶上就更加漂亮了,她现在有1.2m的金色彩带,请你帮她算一算,她的金色彩带够用
吗?
如果不够,还需要再买多长的金色彩带?
（根号2约等于1.414,结果保留整数）
题型九二次根式大小的比较
例5设，则的大小关系是（）
A、B、C、D、
题型十有关二次根式的探究题
例6是否存在正整数，使其满足？
若存在，试求出的值；
若不存在，请说明理由
课后作业：
1、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（）
A、B、C、D、
2、如果，那么下列各式：
；
；
，其中正确的是（）
A、B、C、D、
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．＋＝B．2＋＝2
C．3－＝2D．＝－[来源:
学.科.网Z.X.X.K]
4．估计×
＋的运算结果在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
5．若a＜1，化简－1等于（ ）
A．a－2B．2－aC．aD．－a
6．已知实数a满足|2011－a|＋＝a，则a－20112的值是（ ）
A．2011B．2010C．2012D．2009
7．计算2－6＋的结果是（ ）
A．3－2B．5－C．5－D．2
8．若＋（y－2012）2＝0，则xy＝__________.
9．当－1＜x＜3时，化简：
＋＝__________.
10．如果代数式有意义，则x的取值范围是________．
11．计算：
（－3）0＋×
＝__________.
12.比较大小：
（1）和
（2）和
13.计算：
（1）；
（2）
（3）（4）
（5）－2－（π－）0＋|－1|.（6）（＋）（－）－|1－|.
（7）（－3）0－＋|1－|＋.
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