二元一次方程重点讲解(复习专用)Word格式文档下载.doc
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由二元一次方程组解的意义知能使①成立，把它代入①得2×
2+◆×
1=3，解得◆=－1；
同样把代入②可得，◆=1.把求得的y、x的系数，代入已知方程组即可求得原方程组为
透彻理解二元一次方程组解得意义，是本题求解的关键.
三、会选择恰当的变形方程，使得代入后较易化简
例3.用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的是（）
A.由①得x=B.由①得y=C.由②得x=D.由②得y=2x－5
无论是把A中的x=代入②，或把B中的y=代入②，或把C中的x=代入①，都没有用D中的y=2x－5代入①后容易化简，所以，答案为：
D.
代入系数为分数的代数式，没有代入系数为整数的代数式容易化简.
四、会根据方程特点，筛选最简解法
例4.在解方程组时最简便的办法是（）
A.用代入消元法B.用①×
9－②×
15C.用①×
6+②×
8D.用①×
3+②×
4
因为已知方程组中，没有直接可以变形为，系数是整数且是用含一个未知数的代数式表示另一未知数的方程，因此不宜用代入消元法，故答案不能为：
A；
如果按选项B的方法，消去未知数x，不如采用C或D的方法消去y.若在C与D之间选择，则D比C要更简便一些.因此，答案应为：
一般地，乘的数值越小，越简便；
相加消元比相减消元简便.
五、会数形结合，把几何问题用代数方法解
例5.已知一副三角板，按图1所示的方式摆放，且∠1的度数比
∠2的度数大50°
，若设∠1=x°
∠2=y°
则可得到的方程组为（）
A.B.C.D.
由“∠1的度数比∠2的度数大50°
”可得等式∠1=∠2+50°
，又由图1易见，以上面一块三角板的直角顶点，与下面一块三角板的一条直角边的接触点为顶点，构成的角满足等式∠1+90°
+∠2=180°
，即∠1+∠2=90°
.把“∠1=x°
”分别代入上面的两个等式易得方程组因此，答案为：
由图1得出∠1+∠2=90°
是难点.
六、会处理表述复杂的信息，能用三元一次方程组解应用题
例6.某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植这三种农作物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力（人）
每公顷需投入资金（万元）
水稻
1
棉花
8
蔬菜
5
2
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？
由题意可得三个等式：
（1）水稻的种植面积+棉花的种植面积+蔬菜的种植面积=51公顷，
（2）种水稻所需劳动力+种棉花所需劳动力+种蔬菜所需劳动力=300人，（3）种水稻投入的资金+种棉花投入的资金+种蔬菜投入的资金=67万元.
③
设需种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷.由上面三个等式可得方程组
③－①得z=16.④把④代入①得x+y+16=51,即x+y=35.⑤
把④代入②得4x+8y+5×
16=300,即x+2y=55.⑥
⑥－⑤得y=20.⑦把④、⑦代入①得x+20+16=51,即x=15.因此，这个方程组的解为
答：
安排种水稻15公顷，种棉花20公顷，种蔬菜16公顷即可.
正确理解文字和表格表述的信息是关键.
用二元一次方程组解决图形问题
近年来的二元一次方程组试题突出创新、新颖活泼、格调清新,给人耳目一新的感觉.下面我们以用列二元一次方程组解决图形问题为例,与同学们一起共赏.
例1一副三角板按如图1方式摆放,且∠1比∠2大500,设∠1，∠2的度数分别为x,y,则可得方程组为.
解析：
观察图形可知，∠1、∠2连同三角板的一个直角构成平角，所以∠1与∠2互为余，可得x+y=90°
；
再由∠1比∠2大500,可得x－y=50°
，即.
例2图2，图3是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图3中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，求小长方形的长和宽.
此题条件比较隐蔽，没有直接给出小长方形的长与宽，但通过观察图形不难发现它们之间的关系.由图2知，小长方形的长的3倍正好等于宽的5倍，由图3知，小长方形宽的两倍正好比长多1，由这两个等量关系即可列出方程组进行求解.
设小长形的长为xcm，宽为ycm，据题意列方程组，得
解得
所以小长形的长为5cm，宽为3cm.
当然，用二元一次方程组还能解决很多与图形有关的问题，对于这类问题解决的关键是，从图形中找到隐含的条件，找好等量关系，设置未知数，列出二元一次方程组进行求解.
数学思想在方程组中的应用
思想方法是解题的钥匙，在解题过程这抓住了数学思想，也就打开解题的思路源泉.下面一起走近方程组中的解题思想.
一、整体思想
在解决二元一次方程组问题时，有时可根据方程组的特征，采用整体操作的方法进行变形，如整体代入、整体加减等.
例1解方程组
分析：
观察方程组中的两个方程第一项未知数的系数相同，相加后都含有x+y，可采用用整体消元法进行消元.
解：
①+②，得12（x+y）=72，故x+y=6，
将x+y=6代入②，得3y24=36,解得y=4；
将x+y=6代入①,得3x+30=36,解得x=2，
所以方程组的解为
二、方程思想
有的数学问题，可根据题目的已知条件，构造出二元一次方程，借助于方程组解决问题，这种数学思想就是方程思想.
例2已知3xa－by3与2xy3a+b是同类项，求a，b的值.
同类项要求相同字母的指数相同，由此可得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a，b的值.
根据题意，得解这个方程组
三、数形结合思想
根据图形反映的数量关系建立方程组来解决问题，这种解题方法就体现了数与形的结合.
例3商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，如图所示，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 ．
从图示观察可知：
三个塑料凳的叠放在一起的高度是29cm，五个塑料凳叠放在一起的高度为35cm，构造方程组求到一个塑料凳的凳面厚度和凳腿高度即可求到10个塑料凳叠放在一起的高度.
设一个塑料凳的凳面的厚度为xcm，一个凳腿的高度为ycm，根据图示可得
解得
所以10个塑料凳叠放在一起的高度为3×
10+20=50（cm）.
二元一次方程组的“变脸术”
二元一次方程组精通“变脸术”，经常以各种不同的面孔出现在我们面前，但只要同学们熟练掌握了它的概念和解法，就能透过其假“面具”看清真面目，从而运用它解决问题.
一、没有了大括号
例1若3a+2b=4,且2a－b=5,则（a+b）2009的值是______.
由于a、b的值能使3a+2b=4和2a－b=5同时成立，所以只要将关于a、b的两个方程联立成方程组，解之即可.
由题意，得解得所以（a+b）2009=（2－1）2009=1.
二、没有了字母
例2对于x、y定义一种新运算“*”：
x*y=ax+by,其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值.
这是一道定义新运算型的阅读理解题，解题时应首先读懂新运算的含义，再利用新定义的运算构造出关于a,b的方程组，解方程组求出a,b的值，进而可求得1*1的值.
由新定义的运算，可得解得
所以1*1=a+b=－35+24=－11.
三、少了一个方程
例3若，则2x+4y的值是____.
分析:
本题表面看只有一个方程，不能求出x,y的值，但注意到（5x+2y－12）2与都是非负数，而两个非负数的和等于0，则每一个非负数均为0，由此可得关于x,y的二元一次方程组.
由题意，得解得
所以2x+4y=2×
3+4×
（）=0.
四、残缺修正题
例4小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“Ä
”“Å
”处被墨水污损了，请你帮他找出Ä
、Å
处的值分别是（）.
A．Ä
=1，Å
=1B．Ä
=2，Å
=1C．Ä
=2D．Ä
=2
将代入原方程组，得将Ä
看作未知数，解方程组，得故应选B.
二元一次方程组提高练习题
1.已知（3x－2y+1）2与|4x－3y－3|互为相反数，则x=__________，y=__________。
2.已知y=kx+b,当x=1时，y=－1，当x=3时，y=－5,则k=__________，b=__________。
3.若方程组的解是，则a+b=__________。
4.已知则的值是。
5.已知关于x、y的方程组，解是则的值为（）
A、3B、2C、1D、0
7.3已知3-x+2y=0，则3x-6y+9的值是（）
A.B.C.D.
8.6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，则A现在的年龄为（）
A.12B.18C.24D.30
二元一次方程组应用题
一．数字问题
小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；
而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？
二．配套问题
汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？
三．行程问题
小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时两人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米.请求出两人的速度.
四．含量浓度问题
2.要配制浓度为15%的硫酸500公斤，已有60%的硫酸100公斤，问还需要加水和加浓度为80%的硫酸各多少公斤?
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