乘法公式(提高)知识讲解Word文件下载.doc

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在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：

既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：

如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：

如

（3）指数变化：

（4）符号变化：

（5）增项变化：

（6）增因式变化：

要点二、完全平方公式

完全平方公式：

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：

公式特点：

左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

要点四、补充公式

；

；

.

【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

1、计算（2＋1）（）（）（）（）（）＋1．

【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.

【答案与解析】

解：

原式＝（2－1）（2＋1）（）（）（）（）（）＋1

＝（）（）（）（）（）（）＋1

＝－1＋1＝．

【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．

举一反三：

【高清课堂乘法公式例1（7）（8）】

【变式1】计算：

（1）

（2）（＋）（－）（）（）

【答案】

解：

（1）原式＝[（＋3）（－3）]（）＝（）（）＝．

（2）原式＝[（＋）（－）]（）（）

＝[（）（）]（）

＝（）（）＝．

【变式2】

（2015•内江）

（1）填空：

（a﹣b）（a+b）=　　；

（a﹣b）（a2+ab+b2）=　　；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　　．

（2）猜想：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　　（其中n为正整数，且n≥2）．

（3）利用

（2）猜想的结论计算：

29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．

（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；

（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；

故答案为：

a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由

（1）的规律可得：

原式=an﹣bn，

an﹣bn；

（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．

2、（2014春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？

原绿地的面积又为多少？

设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，

根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，

由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，

解得，x=9；

∴原绿地的面积为：

9×

9=81（平方米）；

答：

原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．

【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算．

【变式】解不等式组：

由①得，，．

由②得，，

，．

∴不等式组的解集为．

类型二、完全平方公式的应用

3、运用乘法公式计算：

（1）；

（2）．

【思路点拨】

（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；

（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．

（1）原式

．

（2）原式．

【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.

【变式】运用乘法公式计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：

（1）＝[－（－）][＋（－）]

＝

＝．

（2）＝[2＋（－1）][2－（－1）]

（3）

（4）＝

＝－

4、已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．

【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．

【答案与解析】

∵，

∴，

即．

∴，，，

即，∴△ABC为等边三角形．

【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论．

【变式】多项式的最小值是____________.

【答案】4；

提示：

，所以最小值为4.

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