二次函数知识点总结及练习题Word下载.doc

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④y=＋x．

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点2、三种函数解析式：

（1）一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0），

对称轴：

直线x=顶点坐标：

（）

（2）顶点式：

（a≠0），

对称轴：

直线x=顶点坐标为（,）

（3）交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

对称轴:

直线x=

（其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标）.

抛物线的顶点坐标为____________；

对称轴是___________。

二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是_______

已知函数的图象关于y轴对称，则m＝________；

抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是______.

例5：

把方程x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____.

考点3、用待定系数法求二次函数的解析式

.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.

已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

.

一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为______________．

已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。

已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。

已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。

考点4.二次函数的图象

1、二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；

②；

③；

④；

⑤.

注：

二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：

（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；

（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；

（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

典型例题：

函数y=x2的顶点坐标为_______．若点（a，4）在其图象上，则a的值是________．

若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=________．

函数y=x2与y=－x2的图象关于________对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕___________旋转得到．

若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为_________．

．函数y=x2的图象的对称轴为______，与对称轴的交点为_______，是函数的顶点．

例7：

若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？

考点5.二次函数的性质

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

开口向下

（轴）

（0,0）

（0,）

（,0）

（,）

（）

常用性质：

1、开口方向：

当a>

0时，函数开口方向向上；

当a<

0时，函数开口方向向下；

2、增减性：

0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；

在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；

0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；

在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；

3、最大或最小值：

0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝

0时，函数有最大值，并且当x=，y最大＝

抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。

按要求求出下列二次函数的解析式：

（1）形状与y=-x2+2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的抛物线的解析式；

（2）与抛物线y=x2-2关于x轴对称的抛物线的解析式；

（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是-，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。

已知函数y=x2+2x+1

（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；

（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；

（3）观察图象：

x为何值时，y随x的增大而增大；

（4）观察图象：

当x为何值时，y>

0时，当x为何值时，y=0；

当x为何值时，y<

0。

已知二次函数y=（k-2）x2+2kx+3k，根据下列给出的条件求出相应的k的值。

（1）抛物线的顶点在x轴上；

（2）抛物线的顶点在y轴上；

（3）抛物线的顶点在y=4x上。

考点7.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点坐标。

①的符号决定抛物线的开口方向

②对称轴平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

③顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

函数在同一坐标系中的图象大致是图中的（ 

）

抛物线的顶点坐标是（）

A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）

二次函数的最小值是（）．

A．2B．1C．－3D．

抛物线（是常数）的顶点坐标是（）

A． B． C． D．

函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）

A．　B．C．　　　　D．

考点8.抛物线中a、b、c的作用

1、a决定抛物线的开口方向和开口大小

的符号决定抛物线的开口方向：

的大小决定抛物线的开口大小：

当越大时，开口越小；

当越小时，开口越大；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。

（x=）

左同右异：

①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。

②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。

注意点：

①时，对称轴为轴；

②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。

（于y=kx+b中的b作用相同）

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

①，抛物线经过原点;

②,与轴交于正半轴；

③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（ 

A.a>

0，b<

0，c=0B.a<

0，c=0

C.a<

0，c<

0D.a>

0，b>

在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（ 

在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（ 

抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）

A、y=x2-x-2 B、y=

C、y=D、y=

例6：

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0.

O

②该函数的图象关于直线对称.

③当时，函数y的值都等于0.

其中正确结论的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

考点9、抛物线的平移

方法：

左加右减，上加下减

抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式

在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为

A．B．

C．D．

将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A．　　B． C．　　D．

把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为

A． B．

C． D．

考点10、二次函数是常数，的最大值和最小值的求法

二次函数是否有最值，由a的符号确定。

0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=，y最小＝

时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=，y最大＝

如果自变量x有取值范围，则另当别论。

抛物线的图象开口___________，对称轴是___________，顶点坐标为___________，当x=___________时，y有最___________值为___________。

当m=___________时，抛物线开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧，y随x的增大而___________，在对称轴右侧，y随x的增大而___________。

二次函数的最小值是（）

A.2（B）1（C）-1（D）-2

抛物线y=-x2+x+7与x轴的交点个数是（　　）

抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是（　　）

A．没有交点B．只有一个交点C．有且只有两个交点

D．有且只有三个交点

考点12、直线与抛物线的交点问题

（1）轴与抛物线得交点为（0,）.

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）.

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点.

已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是

已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．

（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；