完整word版华罗庚学校数学课本四年级上.docx

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完整word版华罗庚学校数学课本四年级上

华罗庚学校数学课本：

四年级（上册）

第一讲速算与巧算（三）

例1计算9＋99＋999＋9999＋99999

　　解：

在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

　　9＋99＋999＋9999＋99999

　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）

　　＋（100000-1）

　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5

　　＝111110-5

　　＝111105.

例2计算199999＋19999＋1999＋199＋19

　　解：

此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）

　　199999＋19999＋1999＋199＋19

　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）

　　＋（19＋1）－5

　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5

　　＝222220-5

　　＝22225.

例3计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）

解法2：

先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：

从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：

　从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.

　　1990×497＋995—1990×497＝995.

例4计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　解法1：

认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.

　　389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝390×7—1—3—7—5—6—4—

　　＝2730—28

　　＝2702.

　　解法2：

也可以选380为基准数，则有

　　389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

　　＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8

　　＝2660＋42

　　＝2702.

例5计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　解：

认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.

　　（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6

　　＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6

　　＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运

　　＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）

　　＝4940＋1

　　＝4941.

例6计算54＋99×99＋45

　　解：

此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.

　　54＋99×99＋45

　　＝（54＋45）＋99×99

　　＝99＋99×99

　　＝99×（1＋99）

　　＝99×100

　　＝9900.

例7计算9999×2222＋3333×3334

　　解：

此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.

　　9999×2222＋3333×3334

　　＝3333×3×2222＋3333×3334

　　＝3333×6666＋3333×3334

　　＝3333×（6666＋3334）

　　＝3333×10000

　　＝33330000.

例81999＋999×999

　　解法1：

1999＋999×999

　　＝1000＋999＋999×999

　　＝1000＋999×（1＋999）

　　＝1000＋999×1000

　　＝1000×（999＋1）

　　＝1000×1000

　　＝1000000.

　　解法2：

1999＋999×999

　　＝1999＋999×（1000-1）

　　＝1999＋999000-999

　　＝（1999-999）＋999000

　　＝1000＋999000

　　＝1000000.

有多少个零.

总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.

习题一

　　1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88

　　2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79

　　3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）

　　4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993

　　5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？

　　6.求出从1～25的全体自然数之和.

　　7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101

　　8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87

　　9.计算（125×99＋125）×16

　　10.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9

　　11.计算999999×78053

　　12.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？

第二讲速算与巧算（四）

例1比较下面两个积的大小：

　　A＝987654321×123456789，

　　B＝987654322×123456788.

　　分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.

　　解：

A＝987654321×123456789

　　＝987654321×（123456788＋1）

　　＝987654321×123456788＋987654321.

　　B＝987654322×123456788

　　＝（987654321＋1）×123456788

　　＝987654321×123456788＋123456788.

　　因为987654321＞123456788，所以A＞B.

例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

　　241×249242×248243×247

　　244×246245×245.

　　解：

利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.

　　241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；

　　242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；

　　243×247＝（240＋3）×（250—3）＝240×250＋3×7；

　　244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；

　　245×245＝（240＋5）×（250—5）＝240×250＋5×5.

　　恒等变形以后的各式有相同的部分240×250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.

　　一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.

　　如：

10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5

　　则5×5＝25积最大.

例3求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.

　　解：

五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：

　　1986×5＝9930.

例42、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.

　　解：

五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：

x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.

　　如：

对于2n＋1个连续自然数可以表示为：

x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.

　　巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.

例5将1～1001各数按下面格式排列：

一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

　　①1986，②2529，③1989，能否办到？

如果办不到，请说明理由.

　　解：

仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

　　①1986不是9的倍数，故不行；

　　②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；

　　③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.

　　这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！

所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.

习题二

1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？

2.有两个算式：

①98765×98769，

　　②98766×98768，

请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？

3.比较568×764和567×765哪个积大？

4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？

　　①1992×1999＋1999

　　②1993×1998＋1998

　　③1994×1997＋1997

　　④1995×1996＋1996

5.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.

6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.

7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？

第三讲定义新运算

　　我们学过的常用运算有：

＋、－、×、÷等.

　　如：

2＋3＝52×3＝6

　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.

例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，

　　①求3△2，2△3；

　　②这个运算“△”有交换律吗？

　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；

　　④这个运算“△”有结合律吗？

　　⑤如果已知4△b＝2，求b.

　　分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：

用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：

①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝5

　　2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.

　　②由①的例子可知“△”没有交换律.

　　③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：

17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步

　　39△2＝3×39-2×2＝113，

　　所以（17△6）△2＝113.

　　对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

　　17△14＝3×17－2×14＝23，

　　所以17△（6△2）＝23.

　　④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.

例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

　　②求12※（3※4），（12※3）※4；

　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？

④如果3※（5※x）＝3，求x.

　　解：

①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.

　　②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：

3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，

　　所以12※（3※4）＝43.

　　对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

　　21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

　　b※a＝b×a－（b＋a）

　　＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）

　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.

　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.

　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

　　3※（5※x）＝3※（4x－5）

　　＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13

　　那么8x－13＝3解出x＝2

例5x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：

x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

　　分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：

1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.

　　（1△2）*3=a*3，按“*”的定义：

a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.

　　解：

因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

　　①当m=1，n=2时：

　　（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

　　=8△4=k×8×4=32k

　　有32k=64，解出k=2.

　　②当m=3，n=1时：

　　（2*3）△4=（3×2+1×3）△4

　　=9△4=k×9×4=36k

　　所以m=l，n=2，k=2.

　　（1△2）*3=（2×1×2）*3

　　=4*3

　　=1×4+2×3

　　=10.

　　在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：

抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：

定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.

习题三

第四讲等差数列及其应用

　　许多同学都知道这样一个故事：

大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？

当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

一、等差数列

　　什么叫等差数列呢？

我们先来看几个例子：

　　①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…

　　②1，3，5，7，9，11，13.

　　③2，4，6，8，10，12，14…

　　④3，6，9，12，15，18，21.

　　⑤100，95，90，85，80，75，70.

　　⑥20，18，16，14，12，10，8.

　　这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：

　　数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；

　　数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；

　　数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；

　　数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.

　　例1下面的数列中，哪些是等差数列？

若是，请指明公差，若不是，则说明理由.

　　①6，10，14，18，22，…，98；

　　②1，2，1，2，3，4，5，6；

　　③1，2，4，8，16，32，64；

　　④9，8，7，6，5，4，3，2；

　　⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

　　⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

　　解：

①是，公差d=4.

　　②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

　　③不是，因为4-2≠2-1.

　　④是，公差d=l.

　　⑤是，公差d=0.

　　⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.

　　一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.

　　为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。

又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.

二、通项公式

对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1；小于a2，则

由此可知：

（1）若a1；大于a2，则同理可推得：

（2）

　　公式

（1）

（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.

例2求等差数列1，6，11，16…的第20项.

　　解：

首项a1=1，又因为a2；大于a1；，

　　公差d=6-1=5，所以运用公式

（1）可知：

　　第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.

　　一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：

由通项公式，我们可以得到项数公式：

例3已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？

　　解：

首项a1=2，公差d=5-2=3

　　令an=47

　　则利用项数公式可得：

　　n=（47-2）÷3+1=16.

　　即47是第16项.

例4如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.

　　分析与解答

　　方法1：

要求第8项，必须知道首项和公差.

　　因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：

21-3×d=33-5×d，

　　所以d=6a1=21-3×d=3，

　　所以a8=3+7×6=45.

　　方法2：

考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可.

　　又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，

　　所以2×d=a6-a4

　　所以a8=3+7×6=45

　　方法2说明：

如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.

三、等差数列求和

　　若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为

　　a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2

　　=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

　　设Sn=a1+a2+a3+…+an

　　则Sn=an+an-1+an-2+…+a1

　　两式相加可得：

　　2×Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）

　　即：

2×Sn=n×（a1+an）,所以，

　　例5计算1+5+9+13+17+…+1993.

　　当a1；大于a2。

时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.

　　解：

因为1，5，9，13，17，…，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.

　　所以，n=（an－a1）÷d+1=499.

　　所以，1+5+9+13+17+…+1993

　　=（1+1993）×499÷2

　　=997×499

　　=497503.

　　题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：

　　这个定理称为中项定理.

例6建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？

这堆砖共有多少块？

　　解：

如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.

　　方法1：

　　a1=2，d=4，an=2106，

　　贝n=（an-a1）÷d+1=527

　　这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.

　　方法2：

（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.

　　则中间一项为（a1+an）÷2=1054

　　a1=2，d=4，an=2106，

　　这堆砖共有1054×527=555458（块）.

　　n=（an-a1）÷d+1=527

例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.

　　解：

根据题意可列出算式：

　　（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）

　　解法1：

可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：

　　原式=（2+2000）×1000÷2-（1+1999）×1000÷2

　　=1000.

　　解法2：

注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即

　　原式=1000×1=1000.

例8连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的