初中数学《一元二次方程》压轴题精选试卷Word文档下载推荐.doc
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13．（5分）（2013•曲靖模拟）定义新运算“*”，规则：
，如1*2=2，．若x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1*x2= ．
14．（5分）（2013•瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是 ．
15．（5分）（2012•岳阳）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
16．（5分）（2012•淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
17．（8分）（2008•安顺）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）
18．（8分）（2012秋•南通校级期中）如图，AE是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，直线BP交⊙O于A、B两点且垂直于CD，垂足为点D，
（1）求证：
AC平分∠PAE；
（2）若AD+DC=6，AB=8，求⊙O的半径．
19．（9分）（2005•宁德）已知：
如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．
AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．
20．（8分）（2014•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
21．（8分）（2014•杭州模拟）阅读下列材料：
求函数的最大值．
解：
将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
22．（12分）（2013•合肥模拟）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．
（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2；
（2）如果在第
（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2；
（3）如果把
（1）、
（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a≠1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2？
如果能，求出a，如果不能，请说明理由．
23．（8分）（2011•安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店2010年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为600万元，占春节销售总收入的40%，该旗舰店预计2012年春节期间各项商品销售总收入要达到2160万元，且计划从2010年到2012年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计2011年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？
初中数学《一元一次方程》压轴题精选试卷
参考答案与试题解析
【考点】切线的性质；
矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；
【解答】解：
当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴OA=，
∵∠AMD=∠ADC=90°
，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴=，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM=，
∴PM=PD+DM=1+=，
∴△AOP的最大面积=OA•PM=×
×
=，
故选D．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；
【考点】解一元二次方程-因式分解法；
一元二次方程的解；
三角形三边关系；
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；
②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
【考点】根与系数的关系；
解一元二次方程-因式分解法；
根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2代入数值列出方程解即可．
x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，
得x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3b．
又x12+x22=7，则（x1+x2）2﹣2x1x2=b2+6b=7，解得b=﹣7或1，
当b=﹣7时，△=49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b=1．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
【考点】一元二次方程的应用；
分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】销售问题；
压轴题．
【分析】等量关系为：
总售价﹣成本1000=1件的成本×
11，把相关数值代入求正整数解即可．
设有x件运动服．
10x﹣1000=×
11，
10x2﹣1000x=11000，即x2﹣100x﹣1100=0，
（x﹣110）（x+10）=0，
解得x1=110，x2=﹣10（不合题意，舍去），
经检验x=110是原方程的解．
故选C．
【点评】考查一元二次方程的应用；
得到利润的等量关系是解决本题的关键．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】由根与系数的关系得到：
x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣4，然后把所求代数式化成根与系数相关的代数式，再代入其值即可求出代数式的值．
∵x的一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣4，
则==﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：
x1+x2=﹣，x1•x2=．
【分析】设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．
根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可求解．
根据题意x1+x2=﹣3，x1x2=2，
所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣4=5，
故选B
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合是经常使用的一种解题方法．
【分析】由于关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则判别式△≥0，由此可以确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围．
∵a=1，b=﹣2（1﹣k），c=k2，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（1﹣k）]2﹣4×
1×
k2≥0，
∴k≤，
∵a+β=2（1﹣k）=2﹣2k，
而k≤，
∴α+β≥1．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
直角三角形斜边上的中线；
勾股定理．菁优网版权所有
【分析】由于a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，由根与系数的关系可知：
a+b=7，ab=c+7；
由勾股定理可知：
a2+b2=c2，则（a+b）2﹣2ab=c2，即49﹣2（c+7）=c2，由此求出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
∵a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，
∴根与系数的关系可知：
由直角三角形的三边关系可知：
a2+b2=c2，
则（a+b）2﹣2ab=c2，
即49﹣2（c+7）=c2，
解得c=5或﹣7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：
中线长为．
答案：
AB边上的中线长是．
【点评】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系，求出两根的和与两根的积，再由|x1﹣x2|等于（x1+x2）2﹣4x1•x2的算术平方根进行计算．
由根与系数的关系可得：
x1+x2=2（a+1），x1•x2=a2+4．
由|x1﹣x2|=2，得（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=4．
则4（a+1）2﹣4（a2+4）=4，解得a=2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，记住关系式是解本题的关键．
【考点】根的判别式；
三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．
∵x2+（a﹣b）x+c2=0，
∴△=b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）
∵a，b，c为三角形三边，
∴b+c＞a，a+c＞b
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0
∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，
即二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．
11．（5分）（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 k≤4 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】计算题；
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
根据题意得：
△=16﹣4k≥0，
解得：
k≤4．
故答案为：
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；
根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；
根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
12．（5分）（2013•攀枝花）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为 ﹣ ．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．
∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
则原式=====﹣．
﹣
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
，如1*2=2，．若x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1*x2= 1 ．
实数的运算．菁优网版权所有
【专题】压轴题；
新定义．
【分析】首先利用因式分解法求得x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，然后根据，即可求得x1*x2的值．
∵x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
∵x1＜x2，
∴x1=﹣3，x2=1，
∵，
∴x1*x2=1．
1．
【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法．此题属于新定义题，难度适中，解题的关键是理解新定义的运算法则．
14．（5分）（2013•瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是 12或6或15 ．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．
方程x2﹣7x+10=0，
分解因式得：
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x=2或x=5，
三角形三边长为2，2，5（舍去）；
2，5，5；
2，2，2；
5，5，5，
则周长为12或6或15．
12或6或15
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．（5分）（2012•岳阳）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是 k≥﹣，且k≠0 ．
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，
∴△=4（k+1）2﹣4×
k×
（k﹣1）=3k+1≥0，
k≥﹣，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
故本题答案为：
k≥﹣，且k≠0．
【点评】总结：
（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②△=0⇔方程有两个相等的实数根；
③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）一元二次方程的二次项系数不为0．
16．（5分）（2012•淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 此题答案不唯一，如101，110，202，220等 ．
【考点】配方法的应用；
非负数的性质：
偶次方．菁优网版权所有
开放型．
【分析】首先设此三位数为：
100x+10y+z，则根据题意得：
x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，由配方的知识易求得：
x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，然后可得此题答案不唯一，举出符合条件的数即可．
设此三位数为：
100x+10y+z，
x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，
即x2+y2﹣2xy=﹣z2或x2﹣2xz+z2=﹣y2或y2+z2﹣2yz=﹣x2，
则（x﹣y）2=﹣z2或（x﹣z）2=﹣y2或（y﹣z）2=﹣x2，
故x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，
故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行．
此题答案不唯一，如101，110，202，220等．
【点评】此题考查了配方法的应用．此题难度适中，属于开放题，注意掌握配方法的知识是解此题的关键．
【考点】切线的判定；
等边三角形的性质；
圆周角定理；
解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】几何综合题．
【分析】
（1）连接OD，证∠ODF=90°
即可．
（2）利用△ADF是30°
的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°
的三角函数值可求得FH长．
（1）DF与⊙O相切．
证明：
连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°
．
∵OB=OD，∠DBO=60°
，
∴∠BDO=60°
．（3分）
∴∠ODF=180°
﹣∠BDO﹣∠ADF=90°
∴DF是⊙O的切线．（5分）
（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°
﹣60°
=30°
∴AF=1．
∴FC=AC﹣AF=3．（7分）
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°
在Rt△FHC中，
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