初二数学上册培优辅导讲义(人教版)Word格式文档下载.doc
《初二数学上册培优辅导讲义(人教版)Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初二数学上册培优辅导讲义(人教版)Word格式文档下载.doc(83页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
O
⑴求∠EOF的度数;
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC=∠BOC,∠FOC=∠AOC∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠BOC+∠AOC=又∵∠BOC+∠AOC=180°
∴∠EOF=×
180°
=90°
⑵∠BOE的余角是:
∠COF、∠AOF;
∠BOE的补角是:
∠AOE.
01.如图,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC=100°
,则∠BOD的度数是()
A.20°
B. 40°
C.50°
D.80°
(第1题图)
1
4
3
2
(第2题图)
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°
,则∠4=.
l2
l1
【例3】如图,直线l1、l2相交于点O,A、B分别是l1、l2上的点,试用三角尺完成下列作图:
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线,垂线段是一条线段.
01.P为直线l外一点,A、B、C是直线l上三点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离为()
A.4cmB. 5cm C.不大于4cmD.不小于6cm
02如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N为位于公路两侧的村庄;
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中,在的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远.
【例4】如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°
,求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:
∠AOF=90°
,OF⊥AB.
01.如图,若EO⊥AB于O,直线CD过点O,∠EOD︰∠EOB=1︰3,求∠AOC、∠AOE的度数.
02.如图,O为直线AB上一点,∠BOC=3∠AOC,OC平分∠AOD.
⑴求∠AOC的度数;
⑵试说明OD与AB的位置关系.
03.如图,已知AB⊥BC于B,DB⊥EB于B,并且∠CBE︰∠ABD=1︰2,请作出∠CBE的对顶角,并求其度数.
6
5
【例5】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称:
∠1和∠2:
∠1和∠3:
∠1和∠6:
∠2和∠6:
∠2和∠4:
∠3和∠5:
∠3和∠4:
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:
首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.
H
G
01.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF,GH相交,图中的同旁内角共有()
A.4对B. 8对 C.12对D.16对
7
8
乙
丙
甲
02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03.如图,按各组角的位置判断错误的是()
A.∠1和∠2是同旁内角
B.∠3和∠4是内错角
C.∠5和∠6是同旁内角
D.∠5和∠7是同旁内角
【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?
并说明理由•
⑴∠CBD=∠ADB;
⑵∠BCD+∠ADC=180°
⑶∠ACD=∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角,有“”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD=∠ADB,可推得AD∥BC;
根据内错角相等,两直线平行.
⑵由∠BCD+∠ADC=180°
,可推得AD∥BC;
根据同旁内角互补,两直线平行.
⑶由∠ACD=∠BAC可推得AB∥DC;
01.如图,推理填空.
⑴∵∠A=∠(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠C=∠(已知)
⑶∵∠A=∠(已知)
∴AB∥DF()
02.如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明DE与AB的位置关系.
解:
∵AD是∠BAC的平分线(已知)
∴∠BAC=2∠1(角平分线定义)
又∵EF平分∠DEC(已知)
∴()
又∵∠1=∠2(已知)
∴()
∴AB∥DE()
03.如图,已知AE平分∠CAB,CE平分∠ACD.∠CAE+∠ACE=90°
,求证:
AB∥CD.
04.如图,已知∠ABC=∠ACB,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠EBF=∠EFB,求证:
CD∥EF.
l3
l4
l5
l6
图⑴
图⑵
【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证:
在所有的交角中,至少有一个角小于31°
.
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.
证明:
假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×
31°
=372°
>360°
这与一周角等于360°
矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
01.平面内有18条两两不平行的直线,试证:
在所有的交角中至少有一个角小于11°
02.在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03.已知n(n>2)个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然:
S2=1,S3=3,S4=6,∴S5=10…则Sn=.
演练巩固·
反馈提高
01.如图,∠EAC=∠ADB=90°
.下列说法正确的是()
A.α的余角只有∠BB.α的邻补角是∠DAC
C.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补A
M
N
α
第1题图
第2题图
第4题图
02.如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为()
A.∠AMFB.∠BMF C.∠ENC D.∠END
03.下列语句中正确的是()
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.过直线上一点的直线只有一条
C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.垂线段就是点到直线的距离
04.如图,∠BAC=90°
,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有()
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD>BD
A.0B. 2C.4D.6
05.点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离是()
A.4cmB.5cm C.小于4cm D.不大于4cm
06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB+∠DOC=.
G
a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
07.如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF=72°
,则∠AEG=.
08.在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.(a1与a10不重合)
09.如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5,②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°
,④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10.在同一平面内两条直线的位置关系有.
11.如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试说明AB∥CD?
12.如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?
13.如图,推理填空:
⑴∵∠A=(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠2=(已知)
∴AC∥ED()
⑶∵∠A+=180°
(已知)
∴AB∥FD.
14.如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC.
第14题图
培优升级·
奥赛检测
01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是()
A.1,3B.0,1,3 C.0,2,3D.0,1,2,3
02.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那么这10条直线最多能把平面分成()部分.
A.60B. 55 C.50 D.45
03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的6个点之外,这些直线最多还有()个交点.
A.35B. 40 C.45 D.55
04.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点.
05.如图是某施工队一张破损的图纸,已知a、b是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性.
06.平面上三条直线相互间的交点的个数是()
A.3B.1或3 C.1或2或3 D.不一定是1,2,3
07.请你在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法?
08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到?
09.如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC,那么两条对角线的夹角等于()
A.60°
B. 75°
C.90°
D.135°
10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件?
⑴任意两条直线都有交点;
⑵总共有29个交点.
第13讲平行线的性质及其应用
1.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系;
2.初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理;
3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
【例1】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,BC∥AD,∠A=38°
,求∠CC
的度数.
两条直线平行,同位角相等;
两条直线平行,内错角相等;
两条直线平行,同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看清截线,识别角的关系式关键.
【解】:
∵AB∥CDBC∥AD
∴∠A+∠B=180°
∠B+∠C=180°
(两条直线平行,同旁内角互补)
∴∠A=∠C∵∠A=38°
∴∠C=38°
01.如图,已知AD∥BC,点E在BD的延长线上,若∠ADE=155°
,则∠DBC的度数为()
A.155°
B.50°
C.45°
D.25°
(第3题图)
02.(安徽)如图,直线l1∥l2,∠1=55°
,∠2=65°
,则∠3为()
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
03.如图,已知FC∥AB∥DE,∠α:
∠D:
∠B=2:
3:
4,试求∠α、∠D、∠B的度数.
【例2】如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠B=60°
,∠EFC=45°
,求∠BCG的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF∴∠B=∠BCD∠F=∠FCD(两条直线平行,内错角相等)又∵∠B=60°
∠EFC=45°
∴∠BCD=60°
∠FCD=45°
又∵GC⊥CF∴∠GCF=90°
(垂直定理)∴∠GCD=90°
-45°
=45°
∴∠BCG=60°
=15°
01.如图,已知AF∥BC,且AF平分∠EAB,∠B=48°
,则∠C的的度数=_______________
02.如图,已知∠ABC+∠ACB=120°
,BO、CO分别∠ABC、∠ACB,DE过点O与BC平行,则∠BOC=___________
03.如图,已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD,∠A=40°
,∠D=50°
,求∠NMP的度数.
【例3】如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D.求证:
∠A=∠F.
因果转化,综合运用.
逆向思维:
要证明∠A=∠F,即要证明DF∥AC.
要证明DF∥AC,即要证明∠D+∠DBC=180°
,
即:
∠C+∠DBC=180°
;
要证明∠C+∠DBC
=180°
即要证明DB∥EC.要证明DB∥EC即要
证明∠1=∠3.
∵∠1=∠2,∠2=∠3(对顶角相等)所以∠1=∠3∴DB∥EC(同位角相等•两直线平行)∴∠DBC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)∵∠C=∠D∴∠DBC+∠D=180°
∴DF∥AC(同旁内角,互补两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)
01.如图,已知AC∥FG,∠1=∠2,求证:
DE∥FG
02.如图,已知∠1+∠2=180°
,∠3=∠B.求证:
∠AED=∠ACB
03.如图,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO平行
O/
θ
β
于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O′B平行
于α,则角θ等于_________.
【例4】如图,已知EG⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠3.
求证:
AD平分∠BAC.
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析
条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论
的条件,要准确把握住这些条件的意图.(题目中的:
∠1=∠3)
∵EG⊥BC,AD⊥BC∴∠EGC=∠ADC=90°
(垂直定义)∴EG∥AD(同位角相等,两条直线平行)
∵∠1=∠3∴∠3=∠BAD(两条直线平行,内错角相等)
∴AD平分∠BAC(角平分线定义)
01.如图,若AE⊥BC于E,∠1=∠2,求证:
DC⊥BC.
02.如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE平分∠ACB.求证:
∠EDF=∠BDF.
3.已知如图,AB∥CD,∠B=40°
,CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN,求:
∠BCM的度数.
【例5】已知,如图,AB∥EF,求证:
∠ABC+∠BCF+∠CFE=360°
【解法指导】从考虑360°
这个特殊角入手展开联想,分析类比,
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来,这是关键.
【证明】:
过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1+∠ABC=180°
(两直线平行,同旁内角互补)又∵AB∥EF,∴CD∥EF(平行
于同一条直线的两直线平行)∴∠2+∠CFE=180°
(两直线平行,
同旁内角互补)∴∠ABC+∠1+∠2+∠CFE=180°
+180°
=360°
即∠ABC+∠BCF+∠CFE=360°
01.如图,已知,AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论:
⑴____________________________⑵____________________________
⑶____________________________⑷____________________________
⑴
⑵
⑶
⑷
【例6】如图,已知,AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
γ
ψ
∠α+∠γ+∠ψ-∠β=180°
∠P=α+β
【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作EH∥AB.过点F作FG∥AB.∵AB∥EH∴∠α=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵FG∥AB∴EH∥FG(平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2=∠3又∵AB∥CD∴FG∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)∴∠ψ+∠4=180°
(两直线平行,同旁内角互补)∴∠α+∠γ+∠ψ-∠β=∠1+∠3+∠4-ψ-∠1-∠2=∠4+ψ=180°
01.如图,AB∥EF,∠C=90°
,则∠α、∠β、∠γ的关系是()
A. ∠β=∠α+∠γ B.∠β+∠α+∠γ=180°
C. ∠α+∠β-∠γ=90°
D.∠β+∠γ-∠α=90°
02.如图,已知,AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,∠E=140°
,求∠BFD的度数.
【例7】如图,平移三角形ABC,设点A移动到点A/,画出平移后的三角形A/B/C/.
A′
l
B′
C′
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连.
⑴定:
确定平移的方向和距离.
⑵找:
找出图形的关键点.
⑶移:
过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点.
⑷连:
按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA/②过点B作AA