精编一元二次方程竞赛训练题一Word格式文档下载.doc
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11.已知且,则=________。
12.已知:
a,b,c三数满足方程组,试求方程bx2+cx-a=0的根。
13.设m是整数,且方程的两根都大于而小于,则m=____________.
14.已知实数,且满足,.则的值为().
(A)23(B)(C)(D)
15.如果x和y是非零实数,使得 和,那么x+y等于().
(A)3(B)(C)(D)
16.已知实数a、b、x、y满足,,则.
17.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是.
18.已知a,b是实数,关于x,y的方程组
有整数解,求a,b满足的关系式.
19.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为()
(A)(B)(C)(D)
20.在中,斜边AB=5,而直角边BC,AC之长是一元二次方程的两根,则m的值是()
A、4B、-1C、4或-1D、-4或1
21.已知a为实数,且使关于x的二次方程有实根,该方程的根x所能取到的最大值是。
22.设,,为互不相等的实数,且满足关系式①及,②求的取值范围.
一元二次方程竞赛训练题(答案):
1.解:
记
由
2.8.
原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根,由x1+x2=a+8,知a为整数,因此,x-a和x-8都是整数。
故由原方程知x-a=x-8(=±
1)∴所以a=8
3.(D)设是方程的解,则—也是方程的解,排除(A)、(B);
(D)的两值必是方程的解,否则方程的解也不是(C).
将代入方程,左边≠0,排除(C).
4.6
设甲将a看为a′,由韦达定理得
由于一次项系数b的符号不改变判别式的值,因此,乙只能是看错a或c的符号.于是a’
由①②得
5.(B)设是方程的根,则.
所以
.
6.设,原方程变为.设此方程有根,则原方程的四个根为,.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列,
∴,故.
由韦达定理,得,,
于是,∴.
7.(C)因为有两根,故≥0,得m≤1.原方程的三根为,,.显然,x2≤x1≤x3.注意到,由此得.
8.(D)∵x1,x2是二次方程的两个根,
∴,,
即,.
由根与系数的关系知,从而有
.
9.3因为m、n为有理数,方程一根,那么另一个根为,由韦达定理。
得m=4,n=-1,∴m+n=3
10.设两整数根为x,y(x≤y)
∴x=5时,a=25时,y=20时;
x=6时,a=18时,y=12;
x=7时,a不是整数,x=8时;
a=16,y=8;
于是a=25或18或16均为所求。
11解.:
,即,,,
,,
12.由方程组得:
a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根△=-4(c-)2≥0,c=4a=b=4所以原方程为x2+x-1=0x1=,x2=
13.解:
这是一个二次方程的区间根问题,可根据二次函数图象的特点建立关于m的不等式,先求出m的取值范围,再由m是整数确定m的根.
设f(x)=3x2+mx-2,由二次函数的图象,得
解得∵m是整数,∴只有m=4.
14.答:
选(B)
∵a、b是关于x的方程的两个根,整理此方程,得,
∵,∴,.故a、b均为负数.因此
15.答:
选(D)
将代入,得.
(1)当x>
0时,,方程无实根;
(2)当x<
0时,,得方程
解得,正根舍去,从而.
于是.
故.
因此,结论(D)是在正确的.
16.答:
解:
由,得,
∵,
∴.
因而,
17.答:
∵,,
∴x、y是关于t的一元二次方程的两实根.
∵,即,.
∴,当时,.故z的最大值为.
18.解:
将代入,消去a、b,得
,………………………(5分)
若x+1=0,即,则上式左边为0,右边为不可能.所以x+1≠0,于是
因为x、y都是整数,所以,即或0,进而y=8或0.故
或………………………(10分)
当时,代入得,;
当时,代入得,.
综上所述,a、b满足关系式是,或者,a是任意实数.………………………(15
19.B
20.设方程的根为,依题意
=即解得m=4或-1但>
0,2m-1>
0所以m>
0故m=4选A
21.a为实数,当时,关于a的二次方程有实根,于是 。
当a=0时,x=0综上,
22.解法1:
由①-2×
②得,
所以.
当时,.…………………10分
又当=时,由①,②得
,③
,④
将④两边平方,结合③得,
化简得,
故,
解得,或.所以,的取值范围为且,.……………15分
解法2:
因为,,所以==,
所以.
又,所以,为一元二次方程⑤
的两个不相等实数根,故,
当时,.…………………10分
另外,当=时,由⑤式有,
即,或,
解得,或.所以,的取值范围为且,…………………15分
二答案:
一、1.解:
设2004年城市的人口总量为m,绿地面积为n,这两年该城市人口的年平均增长率为x,由题意,得
=1+21%,整理,得(1+x)2=.∴x1=(舍去).
答:
这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内.点拨:
本题重点考查增长率的问题.
2.分析:
假设当P点移到E点时可满足本题的条件,那么就有△ABE为直角三角形,BE=PB,EA=PA,由题意,得PA2-8PB=1.
设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1,
由题意,得BE=PB=1×
x=xcm,AE=PA=42+x2.
∴42+x2-8x=1.解得x1=3,x2=5.
经过3秒或5秒后,点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1.
点拨:
本题应用了勾股定理和路程=速度×
时间这个公式.
3.解:
(1)由b2-4ac≥0,得(2a-3)2-4a(a-1)≥0,a≤.
(2)∵x1,x2是方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0的两个根,
∴x1+x2=,x1x2=.
又∵x12+x22=9,∴(x1+x2)2-2x1x2=9.
()2-2×
=9.
整理,得7a2-8a=0,a(7a-8)=0.∴a1=0,a2=(舍去).点拨:
本题主要应用根与系数的关系及根的情况.
4.分析:
由△=b2-4ac,得
△=4(2m-3)2-4(4m2-14m+8)=4(2m+1).
∵方程有两个整数根,
∴△=4(2m+1)是一个完全平方数,所以2m+1也是一个完全平方数.
∵4<
m<
40,∴9<
2m+1<
81,
∴2m+1=16,25,36或49,∵m为整数,∴m=12或24.
代入已知方程,得x=16,26或x=38,25.综上所述m为12,或24.
本题应用的方程有整数根,b2-4ac必为一个完全平方数求解.
5.分析:
如图所示,半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高;
矩形的宽=窗高-半圆半径;
全窗面积=半圆面积+矩形面积.
设半圆的半径为xm,则半圆的直径为2xm,半圆的面积为m2,
矩形面积为x·
2x=2x2(m2),
∴根据题意,有x2+2x2=,∴25x2=25.∴x=1或x=-1(舍去),
当x=1时,2x=2.
窗的高和宽都是2m.
本题借助图分析比较直观简单,另外本题中x=-1虽符合所列方程,但不符合题意,故舍去.
6.解:
设每千克水果应涨价x元,
由题意,得(500-20x)(10+x)=6000,解得x1=5,x2=10.
要使顾客得到实惠,应取x=5.
本题与实际问题有关,应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用.
二、
7.分析:
本题可以分两种情况进行讨论.
解:
(1)当蚂蚁在AO上运动时,设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2.
由题意,得×
3x×
(50-2x)=450.
整理,得x2-25x+150=0.
解得x1=15,x2=10.
(2)当蚂蚁在OB上运动时,
设xs钟后,两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2.
3x(2x-50)=450.
整理,得x2-25x-150=0.
解得x1=30,x2=-5(舍去).
15s,10s,30s后,两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2.
本题考查的是学生的抽象思维能力,使学生学会用运动的观点来观察事物,同时要注意检验解的合理性.
三、
8.分析:
在等腰三角形中,要分清楚腰与底边,本题应进行分类讨论.
∵b、c是方程x2+mx+2-m=0的两个根,∴b+c=-m,b·
c=2-m.
(1)若a为腰,则b=a=3.
c=-m-b,即3(-m-3)=2-m.
解得m=-,∴b+c=.∴周长Q=b+c+a=+3=.
(2)若a为底,则b=c.
∴△=m2-4(2-)=0.m1=-4,m2=2,∴b+c=4或b+c=-2(舍去).∴周长Q=b+c+a=4+3=7.
答:
△ABC的周长为或7.点拨:
了解形与数结合分类讨论的思想.
9.分析:
通过引元,把不满意的总分用相关的字母的代数式表示,然后对代数式进行恰当的配方,进而求出代数式的最小值.
由题意易知,这32个人恰好是第2层至第33层各住1人,对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上,设住s层的人乘电梯,而住在t层的人直接上楼,s<
t,交换两人的上楼方式,其余的人不变,则不满意的总分减少.
设电梯停在第x层,在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼,那么不满意的总分为:
s=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-2)]
=
=2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684
=2(x-)2+(15y2-180y+3068)=2(x-)2+(y-6)2+316≥316.
又当x=27,y=6时,s=316,故当电梯停在第27层时,不满意的总分最小,最小值为316.
四、
10.分析:
模拟例子,求出a+b,ab的值,然后再求值.
∵+--1=0,∴()2+-1=0.
又∵b4+b2-1=0,∴(b2)2+b2-1=0.∴、b2是方程x2+x-1=0的两个根.
∴+b2=-1,×
b2=-1.∴=b2+=-1.
把、b2看成是方程x2+x-1=0的两个根是解本题的关键所在.
五、11.20%分析:
设月平均增长率为x,由400(1+10%)(1+x)2=633.6,解得x=0.2=20%.
点拨:
基数×
(1+平均增长率)n=n次增长后到达的数.
12.应设y=
分析:
设y=,∴原方程为+6y=7,∴6y2-7y+2=0.点拨:
利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想.
13.2设一个根为x,则另一根为2x,由题意,得2x·
x=m,2x+x=3,x=1.∴m=2.
由两根之和为-,两根之积为可得方程.
14.证明:
(1)设方程①两个负实根分别为x1,x2.
则
解得m>
4.
由方程②有两个实数根知m≠0,当m>
4时,>
0,即方程②的两根之积为正,
故方程②的两根符号相同.
(2)得
(n-2)2=m(m-3).
经讨论,m=6时,(n-2)2=×
6×
3=81.
附加题
方程有两个不相等的实根,
∴△=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4>
0,∴-1≤m<
1.
∵x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2-3m+3.
∴
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2m2-10m+10,
∴m2-5m+5=0.
解得m=.∵-1≤m<
1,∴m=.
(2)=.
∴上式可化为=2(m2-3m+1)=2(m-)2-.
∵-1≤m<
1,当m=-1时,最大值为10.
本题是一道综合性较强的综合题,考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题.
7