特殊三角形讲义Word文件下载.doc

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，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形

1.认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：

如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°

，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°

，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：

在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：

斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理

一、勾股定理及其证明

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：

在△ABC中，∠C=90°

（已知）

证明：

进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.

二、勾股定理的应用：

（1）已知两边（或两边关系）求第三边；

（2）已知一边求另两边关系；

（3）证明线段的平方关系；

（4）作长为的线段.

三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.

1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；

2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

1．先找出最大边（如c）；

2．计算与，并验证是否相等.

若，则△ABC是直角三角形.

若，则△ABC不是直角三角形.

注意：

（1）△ABC中，若，则∠C=90°

；

而时，则∠A=

90°

时，则∠B=90°

.

（2）若，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形.

若，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.

三、勾股数：

能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；

6、8、10；

5、12、13；

8、15、17等.

四、全等三角形的概念、性质与判定

1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2.全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

3.全等三角形的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：

“边边边”或“SSS”）；

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；

（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：

“角角边”或“AAS”）；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：

“斜边、直角边”或“HL”）。

4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移

（2）翻折

（3）旋转

5.判定两个三角形全等所需条件：

（1）需要三个条件；

（2）至少有一个条件为边。

注意：

“边边角”不一定成立。

反例：

如图，△ABC与△ABC'

中，AB＝AB，AC＝AC'

，∠ABC＝∠ABC'

，但△ABC与△ABC'

不全等。

【典型例题分析】

例1.（2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°

，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°

，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°

，求CD的长。

例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

例4已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，，求其斜边AB长。

例5如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：

2E=A。

例6Rt△ABC中，AB=AC，A=90°

，点D在BC上，；

M为BC中点，请判断的形状，并说明你的理由。

例7作长为的线段.

例8如图所示，已知：

∠ABD=∠C=90°

，AC=BC，∠DAB=30°

，AD=8，求BC的长.

例9若a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状.

例10如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm.求证：

△DEF是等腰三角形.

例11如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.

求证：

例12.（2005年安徽）

如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？

并任选其中一对给予证明。

例13.如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

问：

在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。

【综合练习】

一.填空题

1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。

2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°

，那么∠DBC＝。

3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°

4.△ABC中，∠C＝90°

，AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,a∶b＝8∶15,则a＝。

5.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.

二.选择题

6、等腰三角形的腰长为，底角等于30°

，那么底边长为（）

A.B.3C.6D.6

7、如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）

A.不等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

8、如图所示，△ABC为等边三角形，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=19，DF=89，则△ABC的周长为（）

A.216 B. C.648 D.

三、解答题

1.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：

BD＝CE

2.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：

DF＝EF

3.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：

AD＝CE

4.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°

，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°

，EC＝10，求AB的长。

5、某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°

，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的长。

6、如图所示，已知：

∠B=∠D=90°

，∠A=60°

，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积.

7、如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：

AE⊥EF.

8、如图所示，△ABC中，2AD=DC，且，求AB及高AE.

9、在正方形ABCD中，F是AD上一点，且，E是CD的中点.

BE⊥EF.

10.已知：

如图，AC⊥OB，BD⊥OA，OB＝OA，求证：

BC＝AD。

11.已知：

如图，BE⊥AC，DF⊥AC，BE＝DF，BC＝AD。

图中共有多少对平行线？

试选其中一对加以证明。

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