一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)Word下载.doc
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同时点E从点O出发,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,过点E作与x轴平行的直线l,与线段AB相交于点F,当点P与点F重合时,点P、E均停止运动.连接PE、PF,设△PEF的面积为S,点P运动的时间为t秒,求S与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,过P作x轴的垂线,与直线l相交于点M,连接AM,当tan∠MAB=时,求t值.
6.首先,我们看两个问题的解答:
问题1:
已知x>0,求的最小值.
问题2:
已知t>2,求的最小值.
问题1解答:
对于x>0,我们有:
≥.当,即时,上述不等式取等号,所以的最小值.
问题2解答:
令x=t﹣2,则t=x+2,于是.
由问题1的解答知,的最小值,所以的最小值是.
弄清上述问题及解答方法之后,解答下述问题:
在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面积的最小值.
7.如图①,过点(1,5)和(4,2)两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点.
(1)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数有 _________ 个(请直接写出结果);
(2)设点C(4,0),点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标 _________ ;
(3)如图②,请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短,在图②中作出图形,并求出点N的坐标.
8.如图,已知AOCE,两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动,开始时点F在点FA位置、点Q在点O位置,点P的运动速度为每秒2个单位,点Q的运动速度为每秒1个单位.
(1)在前3秒内,求△OPQ的最大面积;
(2)在前10秒内,求x两点之间的最小距离,并求此时点P,Q的坐标.
9.若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B,与y轴分别交于A、C
(1)填空:
写出A、C两点的坐标,A _________ ,C _________ ;
(2)若∠ABO=2∠CBO,求直线AB和CB的解析式;
(3)在
(2)的条件下若另一条直线过点B,且交y轴于E,若△ABE为等腰三角形,写出直线BE的解析式(只写结果).
10.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(﹣4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P'
(点P'
不在y轴上),连接PP'
,P'
A,P'
C.设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,求直线AB的解析式;
(2)在
(1)的条件下,若点P'
的坐标是(﹣1,m),求m的值;
(3)若点P在第一像限,是否存在a,使△P'
CA为等腰直角三角形?
若存在,请求出所有满足要求的a的值;
11.如图,四边形OABC为直角梯形,BC∥OA,A(9,0),C(0,4),AB=5.点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动;
点N从点B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.
(2)t为何值时,直线MN将梯形OABC的面积分成1:
2两部分;
(3)当t=1时,连接AC、MN交于点P,在平面内是否存在点Q,使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,直接写出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
12.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),点B(8,0),动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设运动的时间为t秒.
(2)当t为何值时,△APQ与△ABO相似?
13.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P(x,y),PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,C(a,0),点E在y轴上,点D,F在x轴上,AD=OB=2FC,EO是△AEF的中线,AE交PB于点M,﹣x+y=1.
(1)求点D的坐标;
(2)用含有a的式子表示点P的坐标;
(3)图中面积相等的三角形有几对?
14.如图,在直角坐标平面中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴的负半轴上,cos∠ABC=,点P在线段OC上,且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根.
(1)求P点坐标;
(2)求AP的长;
(3)在x轴上是否存在点Q,使四边形AQCP是梯形?
若存在,请求出直线PQ的解析式;
15.已知函数y=(6+3m)x+(n﹣4).
(1)如果已知函数的图象与y=3x的图象平行,且经过点(﹣1,1),先求该函数图象的解析式,再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积;
(2)如果该函数是正比例函数,它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1,求出m和n的值,写出这两个函数的解析式;
(3)点Q是x轴上的一点,O是坐标原点,在
(2)的条件下,如果△OPQ是等腰直角三角形,写出满足条件的点Q的坐标.
16.如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程的两根(OA>OC),∠CAO=30°
,将Rt△OAC折叠,使OC边落在AC边上,点O与点D重合,折痕为CE.
(1)求线段OA和OC的长;
(2)求点D的坐标;
(3)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出符合条件的点M的坐标;
17.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB,过点B作y轴的垂线,垂足为D,直线AB的解析式为y=﹣3x+30,点C在线段BD上,点D关于直线OC的对称点在腰OB上.
(1)求点B坐标;
(2)点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动,当一点停止运动时,另一点也随之停止运动.设△PQC的面积为S,运动时间为t,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,连接PQ,设PQ与OB所成的锐角为α,当α=90°
﹣∠AOB时,求t值.(参考数据:
在(3)中,取.)
18.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过点A(2,﹣3),与x轴交于点B,且与直线平行.
(1)求:
直线l的函数解析式及点B的坐标;
(2)如直线l上有一点M(a,﹣6),过点M作x轴的垂线,交直线于点N,在线段MN上求一点P,使△PAB是直角三角形,请求出点P的坐标.
19.已知如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.
(1)求点P的坐标;
(2)求S△OPA的值;
(3)动点E从原点O出发,沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,F的坐标为(a,0),矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.求:
S与a之间的函数关系式.
20.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,0),C(0,1),以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC,点D(x,0)(x>0),以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM,作直线MA交y轴于点N,连接ND.
(1)求证:
①A、B、M、D四点在同一圆周上;
②ON=OA;
(2)若0<x≤4,记△NDM的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并求出△NDM面积的最大值;
(3)再点D运动过程中,是否存在某一位置,使DM⊥DN?
若存在,请求出此时点D的坐标;
21.如图
(1),直线y=kx+1与y轴正半轴交于A,与x轴正半轴交于B,以AB为边作正方形ABCD.
(1)若C(3,m),求m的值;
(2)如图2,连AC,作BM⊥AC于M,E为AB上一点,CE交BM于F,若BE=BF,求证:
AC+AE=2AB;
(3)经过B、C两点的⊙O1交AC于S,交AB的延长线于T,当⊙O1的大小发生变化时,的值变吗?
若不变证明并求其值;
若变化,请说明理由.
22.如图:
直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点;
直线y=2x分别与AB交于C点,与过点A且平行于y轴的直线交于D点.点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动,过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位),点E的运动时间为t(秒).
(1)当0<t<12时,求S与t之间的函数关系式;
(2)求
(1)中S的最大值;
(3)当t>0时,若点(10,10)落在正方形PQMN的内部,求t的取值范围.
23.直线l:
y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,等腰直角△CDM斜边落在x轴上,且CD=6,如图1所示.若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动,同时点C从(6,0)开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动,如图2所示,设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点,以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ.设运动时间为t秒.
(1)求运动后点M、点Q的坐标(用含t的代数式表示);
(2)若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t相应的取值范围;
(3)若直线l和△CDM运动后,直线l上存在点T使∠OTC=90°
,则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时,求t的取值范围.
24.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且A点的坐标是(1,0).
(1)直线经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的解析式;
(3)若直线l1经过点F()且与直线y=3x平行.将
(2)中直线l沿着y轴向上平移1个单位,交x轴于点M,交直线l1于点N,求△NMF的面积.
25.如图,直线l1的解析表达式为:
y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.
(1)求直线l2的解析表达式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,求出点P的坐标;
(4)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点H的坐标;
26.如图,直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F,点A的坐标为(﹣6,0),P(x,y)是直线y=x+6上一个动点.
(1)在点P运动过程中,试写出△OPA的面积s与x的函数关系式;
(2)当P运动到什么位置,△OPA的面积为,求出此时点P的坐标;
(3)过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D.是否存在这样的点P,使△COD≌△FOE?
若存在,直接写出此时点P的坐标(不要求写解答过程);
27.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:
y=x交于点C.
(1)若直线AB解析式为y=﹣2x+12,
①求点C的坐标;
②求△OAC的面积.
(2)如图,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;
若不存在,说明理由.
28.已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动.当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动.
(1)求B点坐标;
(2)设运动时间为t秒;
①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半;
②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积;
③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动.在②的条件下,PM+PN的长度也刚好最小,求动点P的速度.
29.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线AP交x轴于点P(p,0),交y轴于点A(0,a),且a、b满足.
(1)求直线AP的解析式;
(2)如图1,点P关于y轴的对称点为Q,R(0,2),点S在直线AQ上,且SR=SA,求直线RS的解析式和点S的坐标;
(3)如图2,点B(﹣2,b)为直线AP上一点,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C在第一象限,D为线段OP上一动点,连接DC,以DC为直角边,点D为直角顶点作等腰三角形DCE,EF⊥x轴,F为垂足,下列结论:
①2DP+EF的值不变;
②的值不变;
其中只有一个结论正确,请你选择出正确的结论,并求出其定值.
30.如图,已知直线l1:
y=﹣x+2与直线l2:
y=2x+8相交于点F,l1、l2分别交x轴于点E、G,矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2,顶点A、B都在x轴上,且点B与点G重合.
(1)求点F的坐标和∠GEF的度数;
(2)求矩形ABCD的边DC与BC的长;
(3)若矩形ABCD从原地出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤6)秒,矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s,求s关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
答案与评分标准
(2)若AB中点为M,连接CM,动点P、Q分别从C点出发,点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动,点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动,当Q点运动到D点时,P、Q同时停止,设△PQO的面积为S(S≠0),运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
考点:
一次函数综合题。
分析:
(1)先求出点B的坐标,再代入一次函数的解析式即可;
(2)根据AB中点为M,求出点M的坐标,再求出CM的解析式,过点P做PH⊥CO交CO于点H,用t表示出OQ和PH的长,根据S=OQ•PH即可求出S与T的函数关系式;
(3)此题需分四种情况分别求出T的值即可.
解答:
解:
(1)∵∠AOB=90°
,
∴∠AOC+∠BOC=90°
∵∠BOD=90°
∠OBD+∠BOD=90°
∠AOC=∠BOD,
∵OA=OB∠AOC=∠BOD=90°
∴△AOC≌△OBD,
∴AC=OD,CO=BD
∵A(﹣3,1),
∴AC=OC=1,OC=BD=3,
∴B(1,3),
∴y=x+;
(2)M(﹣1,2),C(﹣3,0),
∴直线MC的解析式为:
y=x+3
∴∠MCO=45°
过点P做PH⊥CO交CO于点H,
S=OQ•PH=(3﹣t)×
t=t2+t(0<t<3)
或S=(t﹣3)t=t2﹣t(3<t≤4);
(3)t1=,t2=,t3=,t4=2.
点评:
此题考查了一次函数的综合应用,解题时要注意分类讨论,关键是能用t表示出线段的长度求出解析式.
(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ,根据全等三角形的性质求OQ,CQ的长,确定C点坐标;
(2)同
(1)的方法证明△BCH≌△BDF,再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE,得出结论;
(3)依题意确定P点坐标,可知△BPN中BN变上的高,再由S△PBN=S△BCM,求BN,进而得出ON.
(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,
∵∠OBA+∠OAB=90°
,∠OBA+∠QBC=90°
∴∠OAB=∠QBC,
又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°
∴△ABO≌△BCQ,
∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,
∴C(﹣3,1),
由A(0,2),C(﹣3,1)可知,直线AC:
y=x+2;
(2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,
∵AC=AD,AB⊥CB,
∴BC=BD,
∴△BCH≌△BDF,
∴BF=BH=2,
∴OF=OB=1,
∴DG=OB,
∴△BOE≌△DGE,
∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:
y=﹣x﹣,P(,k)是线段BC上一点,
∴P(﹣,),
由y=x+2知M(﹣6,0),
∴BM=5,则S△BCM=.
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,
则BN•=×
∴BN=,ON=,
∵BN<BM,
∴点N在线段BM上,
∴N(﹣,0).
本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形,利用全等三角形的性质求解.
一次函数综合题;
待定系数法求一次函数解析式;
三角形的面积。
专题:
动点型。
(1)将B点坐标代入y=kx+6中,可求k的值;
(2)用OA的长,y分别表示△OPA的底和高,用三角形的面积公式求S与x的函数关系式;
(3)将S=9代入
(2)的函数关系式,求x、y的值,得出P点位置.
(1)将B(﹣8,0)代入y=kx+6中,得﹣8k+6=0,解得k=;
(2)由
(1)得y=x+6,又OA=6,
∴S=×
6×
y=x+18,(﹣8<x<0);
(3)当S=9时,x+18=9,解得x=﹣4,
此时y=x+6=3,
∴P(﹣4,3).
本题考查了一次函数的综合运用,待定系数法求一次函数解析式,三角形面积的求法.关键是将面积问题转化为线段的长,点的坐标来表示.
反比例函数与一次函数的交点问题;
等边三角形的性质。
存在型。
(1)若△ABE为等边三角形,由等边三角形的性质可求E点坐标,用“两点法”求直线l解析式;
(2)分别过A、B两点作x轴的垂线,与直线l相交,可得两个直角三角形,若直线l上有一点F(2,1),可得△ABF为等腰直角三角形,用“两点法”求直线l解析式;
(3)①当直线l∥x轴时,直线l与函数的图形有一个交点,②当直线l与x轴不平行时,设直线l解析式为y=kx+,与函数联立解方程组,得出唯一解时k的值即可.
(1)当直线l上存在一点E,使△ABE为等边三角形时,E(2,),
设直线l解析式为y=kx+,
将E(2,),代入2k+=,
解得k=﹣,
∴直线l解析式为(4分)
(2)当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时,
设直线l上的点为F,则A、B、F都可能作为直角顶点,
当F为直角顶点时,△ABF为等腰直角三角形,此时F(2,1),
将F(2,1)代入直线l解析式为y=kx+中,
得k=﹣+,
∴y=(﹣+)x+;
(8分)
(3)①当直线l∥x轴时,直线l与函数的图形有一个交点,
此时,直线l解析式为,
②当直线l与x轴不平行时