人教版七年级(下)相交线与平行线知识点及典型例题Word文档格式.doc
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反之如果∠α+∠β=180°
，则∠α与∠β不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
练习：
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有（）毛
图1-1
A.1个 B.2个C.3个D.4个
2．如图1-1，直线AB、CD、EF都经过点O，
图中有几对对顶角？
（图1-2）
3．如图1-2，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，
OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，
并且∠BOE=∠COE，∠DOE=72°
。
求∠COE的度数。
A
B
C
D
O
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：
如图所示：
AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）
⑶垂线性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：
垂线段最短。
3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；
⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
P
画法：
⑴一靠：
用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
⑵二移：
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
⑶三画：
沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
⑴垂线与垂线段
区别：
垂线是一条直线，不可度量长度；
垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：
具有垂直于已知直线的共同特征。
（垂直的性质）
⑵两点间距离与点到直线的距离
两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
联系：
都是线段的长度；
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。
⑶线段与距离：
距离是线段的长度，是一个量；
线段是一种图形，它们之间不能等同。
例已知：
如图，在一条公路的两侧有A、B两个村庄.
<
1>
现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P，同时修建车站P到A、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，（保留作图的痕迹）．并在后面的横线上用一句话说明道理．.
<
2>
为方便机动车出行，A村计划自己出资修建
一条由本村直达公路的机动车专用道路，你能帮
助A村节省资金，设计出最短的道路吗？
，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在
后面的横线上用一句话说明道理．.
二、平行线
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
⑴相交；
⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；
反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
3、平行公理――存在性与惟一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如左图所示，∵∥，∥
∴∥
5
6
7
8
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了
同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
9
F
E
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型；
内错角是“Z”型；
同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成
这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或
把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
例如：
如图，判断下列各对角的位置关系：
⑴∠1与∠2；
⑵∠1与∠7；
⑶∠1与∠BAD；
⑷∠2与∠6；
⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；
∠1与∠7是同位角；
∠1与∠BAD是同旁内角；
∠2与∠6是内错角；
∠5与∠8对顶角。
图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，
不是两直线被第三条直线所截而成。
同位角、内错角和同旁内角的判断
1．如图3-1，按各角的位置，下列判断错误的是（）
（A）∠1与∠2是同旁内角（B）∠3与∠4是内错角
（C）∠5与∠6是同旁内角（D）∠5与∠8是同位角
2.如图3-2，与∠EFB构成内错角的是____,与∠FEB构成同旁内角的是____.
图3-1
图3-2
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：
同位角相等，两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：
内错角相等，两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵∠3＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的判定是由角相等，然后得出平行。
即先写角相等，然后写平行。
⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：
①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
例题：
判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
三、平行线的性质
1、平行线的性质：
性质1：
两直线平行，同位角相等；
性质2：
两直线平行，内错角相等；
性质3：
两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言：
∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）
G
H
2、两条平行线的距离
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，
则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，
过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也
就是直线AB与CD间的距离。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等；
两直线平行 内错角相等；
两直线平行 同旁内角互补。
其中：
由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；
由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
（图4-2）
练习题
1.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°
，
则另一个角为_______.
2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，
角平分线互相平行的两个角是（）
A.同位角B.同旁内角
C.内错角D.同位角或内错角
3．如图4-2，要说明AB∥CD，需要什么条件？
试把所有可能的情况写出来，并说明理由。
4．如图4-3，EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°
图4-3
∠DGF=60°
试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。
5．如图4-4，AB∥DE，∠ABC=70°
，∠CDE=147°
，求∠C的度数．
图4-4
图4-5
6．如图4-5，CD∥BE，则∠2+∠3−∠１的度数等于多少？
图4-6
7．如图4-6：
AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：
BE∥CF．
9.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：
直线，
8.如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．
解：
∠B＋∠E＝∠BCE过点C作CF∥AB，
则____（）
又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）
∴∠E＝∠____（ ）
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2即∠B＋∠E＝∠BCE．
10.阅读理解并在括号内填注理由：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．
证明：
∵AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MFD（ ）
又∵∠1＝∠2， ∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2， 即 ∠MEP＝∠______
∴EP∥_____．（ ）
四、命题：
⑴命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成：
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；
结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，
那么……”的形式。
命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；
命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
五、平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
②过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
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