三角形内角和定理、外角练习文档格式.doc

三角形内角和定理、外角练习文档格式.doc

《三角形内角和定理、外角练习文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形内角和定理、外角练习文档格式.doc（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

6、（2013•西青区二模）如图，小明将一张三角形纸片（△ABC），沿着DE折叠（点D、E分别在边AB、AC上），并使点A与点A′重合，若∠A=70°

，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．140°

B．130°

C．110°

D．70°

7、（2013•南漳县模拟）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（　　）

A．∠A=∠1+∠2

B．∠A=∠2-∠1

C．2∠A=∠1+∠2

D．3∠A=2（∠1+∠2）

8、（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°

，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．360°

B．250°

C．180°

D．140°

9、（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°

A．150°

B．210°

C．105°

D．75°

10、（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：



探究1：

如图

（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：

∠BOC=90°

+

1

2

∠A（不要求证明）．

探究2：

如图

（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？

请说明理由．

探究3：

如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？

（只写结论，不需证明）．结论：

．

11、如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．

（1）若∠ABC=45°

，∠ACB=65°

，求∠HFG的度数；

（2）根据

（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；

（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．

12、问题1

如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．

研究

（1）：

如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是

研究

（2）：

如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是

研究（3）：

如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．

猜想：

理由

问题2

研究（4）：

将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是

．

13、已知：

如图1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分线，点P是AD上的一点，过点P画PH⊥BC于H

（1）求证：

∠DPH=

（∠B-∠C）；

（2）如图2，当点P是线段AD的延长线上的点时，过点P画PH⊥BC于H，上述结论任然成立吗？

请你作出判断并加以说明．

【

（1）证明：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵PH⊥BC于H，

∴∠DPH=90°

-∠PDH，

∵∠DAC=

∠BAC=

（180°

-∠B-∠C），

-∠PDH

=90°

-（∠DAC+∠C）

-

-∠B-∠C）-∠C

=

（∠B-∠C）．

（2）解：

上述结论仍然成立．

证明：

-∠PDH=90°

-∠DAC，

（∠B-∠C）．】

14、已知，如图，∠XOY=90°

，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？

如果保持不变，请给出证明；

如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．

【解：

∠C的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90°

+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=

∠ABY=

（90°

+∠OAB）=45°

∠OAB，

即∠ABE=45°

+∠CAB，

又∵∠ABE=∠C+∠CAB，

∴∠C=45°

，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°

．】

15、

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°

，则∠ABC+∠ACB=150°

，∠XBC+∠XCB=90°

．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；

若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．（不变化，60°

）

16、已知：

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB、如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

；

（2）在图2中，若∠D=40°

，∠B=30°

，试求∠P的度数；

（写出解答过程）

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论即可）

（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由

（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，

又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P-∠D=∠B-∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°

+30°

）÷

2=35°

（3）2∠P=∠B+∠D．】

17、已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：

个；

（3）在图2中，若∠D=40°

，∠B=36°

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）

（1）结论：

∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）结论：

六个；

（3）由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD=∠COB），

由∠1=∠2，∠3=∠4，

∴40°

+2∠1=36°

+2∠3

∴∠3-∠1=2°

（1）

由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②

∴∠P=∠B+∠4-∠2=36°

+2°

=38°

（4）由①∠D+2∠1=∠B+2∠3，

由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1

①+②得：

∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1

∠D+2∠B=2∠P+∠B．

∴∠P=

∠D+∠B

18、如图：

AB∥CD，直线l交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）

（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM=∠AEF，说明理由；

（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由．

（1）∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠MFN=180°

∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°

∴∠FMN+∠FNM=∠AEF．

（2）∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°

理由：

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠MFN．

∴∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°

】

19、把一副学生用三角板（30°

、60°

、90°

和45°

、45°

）如图

（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G，O是AC中点，AC=8．

（1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°

）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标；

（2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？

若改变，请说明理由；

若不改变，请求出其值．

（1）∵OG∥BC，AC=8，

∴∠B=∠AGO=45°

∴OA=OG=4．

∵S△AFH=8，S△AGH=10，

∴GH=5，FH=4．

∴OH=1，OF=5，

∴F（-5，0），H（-1，0），B（8，-4）．

（2）不变，∠N+∠M=97.5°

理由如下

设∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°

∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°

+α．

∵HM平分∠AHF，

∴∠FHM=

∠FHA=45°

α．

∵GM平分∠AGH，

∴∠HGM=

∠AGO=22.5°

∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，

∴45°

α=∠M+22.5°

∴∠M=22.5°

又FN平分∠EFO，

∴∠NFO=

∠EFO=

（∠FOA+∠FAO）

+α）=60°

α，

∴∠N=180°

-∠NFO-∠NOF

=180°

-（60°

α）-45°

=75°

∴∠N+∠M=（75°

α）+（22.5°

α）=97.5°

20、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，

问：

点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？

若不发生变化，请求出其值；

若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？

请写出你的结论并说明理由．

（1）解方程组：

x+2y−5＝0

2x−y＝0

得：

x＝1

y＝2

（3分）

∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）∠P的大小不发生变化，

∠P=180°

-∠PAB-∠PBA

（∠EAB+∠FBA）

（∠ABO+90°

+∠BAO+90°

+180°

-90°

-135°

=45°

（3）∠AGH=∠BGC，理由如下：

作GM⊥BF于点M．

由已知有：

∠AGH=90°

∠EAC

-∠BAC）

∠BAC，

∠BGC=∠BGM-∠CGM

∠ABC-（90°

∠ACF）

（∠ACF-∠ABC）

∠BAC

∴∠AGH=∠BGC．

注：

不同于此标答的解法请比照此标答给分．】

21、如图，△ABC中，∠A=35°

，∠B=69°

，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，求∠ECD的度数，

探究：

（1）若点F是线段CE上的任意一点（不与端点C、E重合），FM⊥AB于M，求∠EFM的度数；

（2）若点G是线段CE延长线上的任意一点（不与端点E重合），GN⊥AB于N，直接写∠EGN的度数．

（在右图中直接画出图形再计算）

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=

∠ACB，又∠A=35°

∴∠ACB=180°

-35°

-69°

=76°

，∴∠ACE=∠BCE=

×

76°

又∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°

，∴∠DCB=90°

=21°

∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=38°

-21°

=17°

（1）∵FM⊥AB于M，∴FM∥CD，∴∠EFM=∠ECD=17°

（2）∵GN⊥AB，∴GN∥CD，∴∠EGN=∠ECD=17°

22、

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中，∠A=40°

，则∠ABC+∠ACB=度，∠XBC+∠XCB=度；

（2）如图2，改变

（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；

（3）如果

（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°

”改成“∠A=n°

”，请直接写出∠ABX+∠ACX的大小．

23、 

如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠．

（1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°

，∠2=24°

，求：

∠A′的度数；

（2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？

请说明你的理由；

（3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？

直接写出你的结论．

24、 

将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．

（1）如图1，当∠A=45°

时，∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度；

（2）如图2，改变直角三角板DEF的位置，使该三角板的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD的大小是否发生变化？

若没有变化，请探究∠ABD+∠ACD与∠A的关系．

25、 

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0．

（1）求a，b的值；

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=

△ABC的面积，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=

△ABC的面积仍然成立？

若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，

∠OPD

∠DOE

的值是否会改变？

若不变，求其值；

若改变，说明理由．

26、如图：

已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a-b|+（b-4）2=0．

（1）求点A、点B的坐标．

（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S阴=

S四边形OCAB，求点P移动的时间？

（3）在

（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断

∠N−∠APB−∠PAQ

∠AQC

是否为定值，若是定值求其值；

若不是定值，说明理由．