最新北师大版八年级数学(上)第二章实数教案文档格式.doc
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在右1的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段
【画一画2】：
在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1）
2．三边长都是有理数2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数4．三边长都不是有理数
【仿一仿】：
例：
在数轴上表示满足的
解：
（右2）
仿：
【赛一赛】：
右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把
它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？
试试看！
（右3）
进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上，加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．
四：
课堂小结
1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？
2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？
3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？
五：
布置作业
习题2.1
2.1认识无理数
（二）
（一）知识目标：
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
2.会判断一个数是有理数还是无理数.
（二）能力训练目标：
1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.
（三）情感与价值观目标：
1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.
2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.
1.无理数概念的探索过程.
2.用计算器进行无理数的估算.
3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.
1.无理数概念的建立及估算.
2.用所学定义正确判断所给数的属性.
第一环节：
创设问题情境，引入新课
内容:
想一想：
1.有理数是如何分类的？
整数（如，0，2，3，…）
有理数
分数（如，，，0.5，…）
2.除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数?
如圆周率，0.020020002…上节课又了解到一些数，如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？
那么它们究竟是什么数呢？
本节课我们就来揭示它们的真面目.
意图：
通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了
（2）”.
第二个环节：
活动与探究
1.探索无理数的小数表示
内容：
借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
边长a的取值范围大致是多少?
如何估算的？
是否存在一个小数的平方等于2?
说说你的理由.
边长a
面积s
1<
a<
2
s<
4
1.4<
1.5
1.96<
2.25
1.41<
1.42
1.9881<
2.0164
1.414<
1.415
1.999396<
2.002225
1.4142<
1.4143
1.99996164<
2.00024449
归纳总结:
a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.
效果：
学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.
2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
请同学们以学习小组的形式活动：
一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.
议一议：
分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？
探究结论：
分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：
像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.（圆周率=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数）.
通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.
第三个环节：
知识分类整理
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
（按小数的形式来分）.
有理数：
有限小数或无限循环小数
无理数：
无限不循环小数
数
整数
分数
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?
培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.
第四个环节：
知识运用与巩固
课本随堂练习.
第五个环节：
本节课你有哪些收获?
1．无理数的定义.
2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？
3．请把已学过的数怎样分类？
第六个环节：
习题2.21.2.3.
附：
板书设计
1.数不够用了
（2）
一、导入
二、新课
1.有理数的定义：
有限小数或无限循环小数.
2.无理数的定义：
无限不循环小数.
3.数的分类：
三、例题讲述
四、小结
一、例题讲练：
二、小结：
2.2平方根
（一）
教学目标：
1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；
了解算术平方根的性质．
2、在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；
在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
3、让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．
教学重点：
算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。
教学难点：
算术平方根的概念、性质。
教学过程：
一、创设问题情境，导入新课
1.教师活动：
回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：
面积为13的正方形的边长究竟是多少？
学生活动：
（1）完成课本填空：
a2=_____b2=____，
c2=_____d2=_____
e2=______，f2=______
（2）a，b，c，d，e，f中哪些是有理数，哪些是无理数？
你能表示它们吗？
2.师生互动
集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。
二、初步探究
内容1：
情境引出新概念
，，，，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？
让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
内容2：
在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
内容3：
简单运用巩固概念
例1求下列各数的算术平方根：
（1）900；
（2）1；
（3）；
（4）14．
解：
（1）因为，所以900的算术平方根是30，即；
（2）因为，所以1的算术平方根是1，即；
（3）因为，所以的算术平方根是，即；
（4）14的算术平方根是．
内容4：
回解课堂引入问题
，，，那么，，．
三、深入探究
例2自由下落物体的高度（米）与下落时间（秒）的关系为．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
用算术平方根的知识解决实际问题．
学生多能利用等式的性质将进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
将代入公式，得，所以正数（秒）．
即铁球到达地面需要2秒．
观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：
中的是一个非负数，的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
四、反馈练习：
随堂练习
五、课堂小结：
1、这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
（1）算术平方根的概念，式子中的双重非负性：
一是a≥0，二是≥0．
（2）算术平方根的性质：
一个正数的算术平方根是一个正数；
0的算术平方根是0；
负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
2、方法归纳：
转化的数学方法：
即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。
六、作业：
习题2.3
2.2平方根
（二）
1、了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．
2、进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．
3、经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．
了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。
平方根和算术平方根的区别。
负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。
一、复习提问，导入新课
1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？
算术平方根有什么性质。
2、9的算术平方根是，3的平方是，
还有其他的数的平方是9吗？
二、探究新知：
1.想一想
平方等于的数有几个？
平方等于0.64的数呢？
学生思考，然后交流，得出平方根的定义。
2.教师活动：
形成概念
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么，这个数就叫做的平方根。
也叫做二次方根。
而把正的平方根叫做a的算术平方根．
表达式为:
若x=a，那么x叫做a的平方根．记作．
3和—3的平方都是9，即9的平方根有两个3和—3；
9的算术平方根只有—个，是3。
3.学生活动：
求出下列各数的平方根。
16，0，，—25，
4.概念辨析
平方根与算术平方根的联系与区别
联系1．包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．
2．只有非负数才有平方根和算术平方根．
3．0的平方根是0，算术平方根也是0．
区别1．个数不同：
一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．
2．表示法不同：
平方根表示为，而算术平方根表示为．
三、议一议：
（1）一个正数的有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
★教师活动：
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。
☆学生活动：
正数的两个平方根有什么关系吗？
讨论，交流得出：
一个正数有两个平方根，一个是的算术平方根，“”，另一个是“”，它们互为相反数。
这两个平方根合起来，可以记做“”，读作“正、负根号”。
开平方：
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
其中叫做被开方数。
（已知指数和幂，求底数的运算是开方运算）
★教师活动
开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。
四、例题和新知巩固：
例1求下列各数的平方根：
（1）64，
（2），（3）0.0004,（4）（-25）2,（5）11
五、随堂练习：
要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。
师生互动，讨论交流得出：
≥0）
六、小结：
引导学生总结本课时的知识、方法．让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．如：
1.平方根的定义、表示方法、求法、性质。
及平方根和算术平方根的区别和联系。
2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。
七、作业：
习题2.4
2.3立方根
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；
会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；
区分立方根与平方根的不同；
2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；
3.立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；
重点：
立方根的概念及求法.
难点：
立方根与平方根的区别.
教学过程设计
创设问题情境
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？
如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
（球的体积公式为，R为球的半径）
提问：
怎样求出半径R？
学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识．
通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望，从而顺利引入新课．
第二环节：
复习引入、类比学习
提问：
（1）什么叫一个数a的平方根？
如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?
（2）正数的平方根有几个？
它们之间的关系是什么？
负数有没有平方根？
0的平方根是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？
（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？
一个正数的平方根有两个，且互为相反数；
一个负数没有平方根；
0的平方根是0．
（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cuberoot,也叫做三次方根）．如：
2是8的立方根，，0是0的立方根．
学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．
第三环节：
初步探究
1、做一做：
怎样求下列括号内的数？
各题中已知什么数？
求什么数？
（1）；
（2）；
（3）．
通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法．
2、议一议：
（1）正数有几个立方根？
（2）0有几个立方根
提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．
3、在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理
（1）每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”．例如x3=7时，x是7的立方根，即=x；
与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±
”符号，但根指数3不能省略．
（2）正数的立方根是正数；
0的立方根是0；
负数的立方根是负数．
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方（extrctionofcubicroot）,其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一个数的立方根．
第四环节：
尝试反馈，巩固练习
例1求下列各数的立方根：
XkB1.com
（1）；
（2）；
（3）；
（4） ；
（5）．
（1）因为，所以的立方根是，即；
（2）因为，所以的立方根是，即；
（3）因为，所以的立方根是，即；
（4）因为，所以的立方根是，即；
（5）的立方根是．
例2求下列各式的值：
（1）
（2）（3）；
（4）．
（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=9．
第五环节：
深入探究
想一想：
（1）表示a的立方根，那么等于什么？
呢？
（2）与有何关系？
第六环节：
课堂小结
通过本节课的学习你学到了哪些知识？
归纳、总结学生的回答，得出下列内容：
1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．
2．在学习中应注意以下5点：
（1）符号中根指数“3”不能省略；
（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；
（3）平方根和立方根的区别：
正数有两个平方根，但只有一个立方根；
负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式：
（）3=a,，=；
（5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
回顾引例
第七环节：
作业布置：
习题2.5
2.4估算
1.会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题．
2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．
3.体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情．
1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.
2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.
掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.
一、情境引入
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?
长是多少?
给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．
给出引导问题：
公园的宽有1000米吗？
（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．
设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：
x·
2x=400000，即2x=400000，
所以x=．
那么=?
从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．
二、活动探究
1．探究一个无理数估算结果的合理性．
2．学会估算一个无理数的大致范围．
例1下列结果正确吗？
你是怎样判断的？
与同伴交流．
①≈20；
②≈0.3；
③≈500；
④≈96．
解答：
这些结果都不正确．
怎样估算一个无理数的范围?
例2你能估算它们的大小吗？
说出你的方法．
①；
②；
③；
④．
（①②误差小于0.1；
③误差小于10；
④误差小于1．）
≈6.3；
≈0.9；
≈310；
≈9．
说明：
误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。
同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．
用估算来解决数学的实际问题．
例1你能比较与的大小吗？
你是怎样想的？
小明是这样想的：
与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，
因为＞2，所以-1＞1，＞．
∵5＞4，即（）＞2，
∴＞2，
-1＞1，即 ＞．
例2解决引入时“公园有多宽？
”的问题情境中提出的问题．
=?
（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？
（大约440米或450米）
只要是440与450之间的数都可以．
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
（15米或16米）
只要是15与16之间的数都可以．
例3给出新的问题情境——画能挂上去吗？
生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
6
×
x
设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理：
+（×
6）=6，即+4=36，
所以=32，得x=，
因为
因为，所以画不能挂上去
学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决
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