数学八年级下册第十八章《平行四边形》期中复习题文档格式.doc

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（1）连接GD，求证：

△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；

（3）如图

（2），将图

（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？

若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；

若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

9．（2010•大田县）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．

①求证：

DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断

（1）中的结论①、②是否分别成立？

若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

10（2009•通州区二模）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．

探究：

设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？

试证明你的猜想；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

第十八章《平行四边形》复习题

参考答案与试题解析

考点：

轴对称-最短路线问题；

正方形的性质．5283015

专题：

压轴题；

探究型．

分析：

过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．

解答：

解：

作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，

∵DD′⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，

∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAD′=45°

，

∴AP′=P′D′，

∴在Rt△AP′D′中，

P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，

∵AP′=P′D'

2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，

∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2．

故选C．

点评：

本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

正方形的性质；

三角形的面积；

全等三角形的判定与性质；

含30度角的直角三角形；

勾股定理．5283015

证明题；

压轴题．

根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；

过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；

过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°

∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=CE，∴①正确；

∵过F作FH⊥BC于H，

∵BF=BC=1，

∴∠BFC=∠FCB=15°

∴FH=BF=，∴②错误；

∵Rt△BHF中，

FH=，BF=1，

∴CF==2+

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴AE=CE，

在EF上取一点N，使BN=BE，

又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°

+15°

=60°

∴△NBE为等边三角形，

∴∠ENB=60°

又∵∠NFB=15°

∴∠NBF=45°

又∵∠EBC=45°

∴∠NBF=∠EBC，

又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°

可证△FBN≌△CBE，

∴NF=EC，

故BE+EC=EN+NF=EF，

∴③正确；

过A作AM⊥BD交于M，

根据勾股定理求出BD=，

由面积公式得：

AD×

AB=BD×

AM，

AM==，

∵∠ADB=45°

，∠AED=60°

∴DM=，EM=，

∴S△AED=DE×

AM=+，∴④错误；

S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×

1×

﹣×

[1﹣]=，∴⑤正确．

故选B．

本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．

三角形内角和定理；

直角三角形斜边上的中线；

等腰直角三角形．5283015

根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；

取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠AMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；

求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．

∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，

∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=∠90°

=∠BEF，

∵∠APD=∠EPB，

∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，

∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADF，∴①正确；

∴AE=AF，BE=DF，

∴∠AEF=∠AFE=45°

取EF的中点M，连接AM，

∴AM⊥EF，AM=EM=FM，

∴BE∥AM，

∵AP=BP，

∴AM=BE=DF，

∴∠EMB=∠EBM=45°

∴∠AMB=90°

+45°

=135°

=∠AMB，

∵BM=BM，AM=MF，

∴△ABM≌△FBM，

∴AB=BF，∴②正确；

∴∠BAM=∠BFM，

∵∠BEF=90°

，AM⊥EF，

∴∠BAM+∠APM=90°

，∠EBF+∠EFB=90°

∴∠APF=∠EBF，

∵AB∥CD，

∴∠APD=∠FDC，

∴∠EBF=∠FDC，

∵BE=DF，BF=CD，

∴△BEF≌△DFC，

∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°

④正确；

故选D．

本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

等边三角形的性质；

计算题．

根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．，

∴AC⊥BD，OA=OC，

∴C、A关于BD对称，

即C关于BD的对称点是A，

连接AE交BD于P，

则此时EP+CP的值最小，

∵C、A关于BD对称，

∴CP=AP，

∴EP+CP=AE，

∵等边三角形ABE，

∴EP+CP=AE=AB，

∵正方形ABCD的面积为16，

∴AB=4，

∴EP+CP=4，

故选A．

本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．

5．（2010•鞍山）如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为　　．

等腰三角形的性质．5283015

几何综合题．

过E作EF⊥BC于F，由S△BPC+S△BPE=S△BEC推出PQ+PR=EF，在Rt△BEF中求EF．

根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，

∵S△BPC+S△BPE=S△BEC

∴=BC•EF，

∵BE=BC=1，

∴PQ+PR=EF，

∴∠DBC=45°

∵在Rt△BEF中，∠EBF=45°

，BE=1，

sin45°

=，

∴=，

∴EF=，即PQ+PR=．

∴PQ+PR的值为．

故答案为：

．

解答本题的难点是证明底边上任意一点到等腰三角形两腰的距离等于一腰上的高．在突破难点时，充分利用正方形的性质和三角形面积公式．

6．（2005•宿迁）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　16　．

全等三角形的判定与性质．5283015

由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°

，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°

，而∠EAF=90°

由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°

，∠BAE+∠BAF=90°

，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠D=∠ABC=90°

，AD=AB，

∴∠ABE=∠D=90°

∵∠EAF=90°

∴∠DAF+∠BAF=90°

∴∠DAF=∠BAE，

∴△AEB≌△AFD，

∴S△AEB=S△AFD，

∴它们都加上四边形ABCF的面积，

可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．

16．

本题需注意：

在旋转过程中一定会出现全等三角形，应根据所给条件找到．

7．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=　16　．

直角三角形的性质；

计算题；

在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=6，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．

在AC上截取CG=AB=4，连接OG，

∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°

∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°

∴B、A、O、C四点共圆，

∴∠ABO=∠ACO，

∵在△BAO和△CGO中

∴△BAO≌△CGO，

∴OA=OG=6，∠AOB=∠COG，

∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°

∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°

即△AOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

AG==12，

即AC=12+4=16，

本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

三．解答题．8（2009•宁德）如图

（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

矩形的性质．5283015

动点型．

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．

（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：

CH．

（1）证明：

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG．

（2）解：

∠FCN=45°

理由是：

作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°

∴∠BAE+∠AEB=90°

，∠FEH+∠AEB=90°

∴∠FEH=∠BAE，

又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°

∴△EFH≌△ABE，

∴FH=BE，EH=AB=BC，

∴CH=BE=FH，

∵∠FHC=90°

∴∠FCN=45°

（3）解：

当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°

结合

（1）

（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射线CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH=AD=BC=b，

∴CH=BE，

∴==；

在Rt△FEH中，tan∠FCN===，

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．

本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

线段垂直平分线的性质．5283015

（1）由正方形的性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故有PA=PG，PC=CF，易得PA=EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：

PC=CE+PA；

（2）同

（1）证得DF=EF，三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE．

（1）如图2，延长FP交AB于点Q，

①∵AC是正方形ABCD对角线，

∴∠QAP=∠APQ=45°

∴AQ=PQ，

∵AB=QF，

∴BQ=PF，

∵PE⊥PB，

∴∠QPB+∠FPE=90°

∵∠QBP+∠QPB=90°

∴∠QBP=∠FPE，

∵∠BQP=∠PFE=90°

∴△BQP≌△PFE，

∴QP=EF，

∵AQ=DF，

∴DF=EF；

②如图2，过点P作PG⊥AD．

∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，

∵四边形DFPG为矩形，

∴PA=PG，PC=CF，

∵PG=DF，DF=EF，

∴PA=EF，

∴PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA，

即PC、PA、CE满足关系为：

（2）结论①仍成立；

结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE．

如图3：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，

∴B、P、C、E四点共圆，

∴∠PEC=∠PBC，

在△PBC和△PDC中有：

BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°

（已证），PC边公共边，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴∠PBC=∠PDC，

∴∠PEC=∠PDC，

∵PF⊥DE，

②同理：

PA=PG=DF=EF，PC=CF，

∴PA=EF=（CE+CF）=CE+CF=CE+PC

PA﹣PC=CE．

10，（2009•通州区二模）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．

代数几何综合题；

（1）PQ=PB，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，可以证明Rt△MBP≌Rt△NPQ；

（2）S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ分别表示出△PBC于△PCQ的面积就可以．

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，

②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，就可以用x表示出面积．

（1）PQ=PB，（1分）

过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，

在正方形ABCD中，AC为对角线，

∴AM=PM，

又∵AB=MN，

∴MB=PN，

∵∠BPQ=90°

∴∠BPM+∠NPQ=90°

；

又∵∠MBP+∠BPM=90°

∴∠MBP=∠NPQ，

在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，

∵

∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）

∴PB=PQ．

（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，

∵AP=x，

∴AM=x，

∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣x，

又∵S△PBC=BC•BM=•1•（1﹣x）=﹣x，

S△PCQ=CQ•PN=（1﹣x）•（1﹣x），

=﹣+，

∴S四边形PBCQ=﹣x+1．（0≤x≤）．（4分）

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．

①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，

PQ=QC，此时，x=0．（5分）

②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）

有：

QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣CN=x﹣（1﹣x）=x﹣1，

∴当﹣x=x﹣1时，x=1．（7分）．