中心对称与中心对称图形中档题30道解答题附答案Word格式.doc
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①九瓣图形是 _________ ；
②十二瓣图形是 _________ ；
③十五瓣图形是 _________ ；
④二十六瓣图形是 _________ ．
8．（2011•芜湖县校级模拟）一天，上九年级的聪聪和明明在一起下棋，这时聪聪灵机一动，象棋中也有很多数学知识，如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．
（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标 _________ ；
（2）明明想了想，我还有两个问题呢：
①如果顺次连接
（1）中的所有点，你知道得到的图形是 _________ 图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）；
②指出
（1）中关于点P成中心对称的点 _________ ．
9．（2011•垫江县校级模拟）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
10．（2012•钦州模拟）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：
BF=DE．
11．已知△ABC，∠ACB=90°
，把△ABC用直线分割成两部分，可以拼成与△ABC等面积的一些四边形．比如图①，
把△ABC用直线EF分割后，利用中心对称知识，拼成了与它等面积的矩形GBCF．请你也利用中心对称知识，按下列要求进行操作：
（1）把图②中的直角△ABC用适当的直线分割成两部分，拼成与△ABC等面积的一个平行四边形；
（2）把图③中的直角△ABC用适当的直线分割成两部分，拼成与△ABC等面积的一个梯形．（图中需作必要的标记，不要求说明理由）
12．（2014春•宜春期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标：
_________ ；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
13．（2009秋•苏州期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
（1）试判断△BEC是否为等腰三角形，请说明理由？
（2）若AB=1，∠ABE=45°
，求BC的长．
（3）在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形，请说明理由．
14．（2011春•武胜县校级期末）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F．
（1）证明：
△DEO≌△BFO；
（2）若DB=2，AD=1，AB=，当DB绕点O顺时针方向旋转45°
时，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
15．（2012秋•简阳市期末）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，
（1）四边形BDEG是菱形吗？
（2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积．
16．（2010秋•庄浪县校级期末）如图所示：
两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心？
并指出图中A，B，C，D的对称点．
17．（2014秋•东西湖区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°
，∠B=30°
，BC=，求BB′的长为 _________ ．
18．阅读下面操作过程，回答后面的问题：
在一次数学实践探究活动中，李小明同学如图1，过AB、CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成a，b两部分；
而王小刚同学如图2，过A、C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成c，d两部分．
（1）a，b，c，d的面积关系是Sa _________ Sb _________ Sc _________ Sd．
（2）根据这两位同学的分割原理，你能探索出多少种分割方法？
请写出你的推理结果或猜想，并任意画出一种；
（3）由上述的实验操作过程，你能发现什么规律？
19．
（1）能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有 _________ 条，它们的共同特点是 _________ ．
（2）如图，已知：
AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：
对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）．
（3）自己设计一个图形A（由至少两个基本的中心对称图形B、C组成），并作出可以将图形A面积分成相等两部分的直线．
20．（2014春•定陶县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？
说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？
21．（2011秋•庄浪县校级期末）如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．
22．（2009秋•和县期末）用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC、BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形；
若移动AC、DE这两根，能不能也达到要求呢？
（画出图形）
23．（2009秋•泗阳县校级期中）如图，AC=BD，∠A=∠B，点E、F在AB上，且DE∥CF，试说明这是中心对称图形．
24．（2010秋•白下区校级期中）如图，已知△ABC和点O．
（1）在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于O点中心对称；
（2）点A、B、C、A′、B′、C′能组成哪几个平行四边形？
请用符号表示出来 _________ ．
25．（2009秋•琼海期中）如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心、与△ABD成中心对称的三角形．
26．（2011秋•克拉玛依区校级期中）关于点E成中心对称的图形．
27．（2014秋•宜春期末）如图是4×
4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
28．（2010秋•苏州期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添画1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案中改变1个正方形的位置，画成图案③，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
29．（2010秋•宿豫区期中）如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
30．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
（2）在图2中，画出一个直角三角形，使它的三边长都是整数；
（3）在图3中，画出一个中心对称图形．
参考答案与试题解析
考点：
中心对称；
三角形的重心．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据平行四边形的性质可知：
重心是两条对角线的交点．
（2）两模块分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
解答：
（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．（1分）
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
点评：
本题考查了中心对称与重心之间的关系，有一定难度，注意掌握一些特殊图形的性质．
（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为 （7，﹣2） ；
勾股定理．菁优网版权所有
（1）根据中心对称的性质直接就得出答案即可；
（2）利用点C的坐标为（0，0），即可得出点B′的坐标；
（3）利用勾股定理求出即可．
解：
（1）△ABC与△A′B′C′成中心对称；
（2）根据点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为：
（7，﹣2）；
（3）线段CC′的长为：
=2．
此题主要考查了勾股定理以及中心对称图形的定义以及点的坐标特点等知识，中心对称图形的性质是初中阶段考查重点应熟练掌握．
中心对称图形；
轴对称图形；
作图-平移变换．菁优网版权所有
网格型．
（1）从A和A′的位置，确定平移方法，然后按平移条件找出其他顶点的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形；
（2）观察图形即可．
（1）如图所示．（作图正确3分）
（2）新图形是轴对称图形．（6分）
本题的关键是作各个关键点的对应点，从而做出正确判断．
中心对称．菁优网版权所有
连接AD、BC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形求出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的中心对称性判断出E、F是对称点，然后根据轴对称性解答．
证明：
如图，连接AD、BC，
∵AC与BD互相平分且相交于点O，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∵AE=CF，
∴点E、F是对称点，
∴点E、O、F在同一直线上且OE=OF．
本题考查了中心对称，主要利用了平行四边形的判定与中心对称性，对称点的连线比过对称中心并且被对称中心平分，熟记性质并作辅助线构造出平行四边形是解题的关键．
证明题．
根据题意推知四边形AEDF是平行四边形，则该四边形关于点O对称．
如图，连接EF交于点O．
∵DE∥AC交AB与E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴点E，F关于AD的中心对称．
本题考查了中心对称．平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
判断两个四边形是否关于点O中心对称可以转换为判断两个四边形的顶点是否关于点O对称即可．
这两个四边形关于点O成中心对称．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵EF、AC、BD都经过点O，
∴EO=FO，
∴点A与点C，点B与点D，点E与点F均关于点O成中心对称，
∴这两个四边形关于点O成中心对称．
本题考查了中心对称的知识，解题的关键是判断对应的顶点关于O点中心对称，难度不大．
（1）以上5个图形中是轴对称图形的有 A，B，C，D，E ，是中心对称图形有 A，C，E ．（分别用图形的代号A、B、C、D、E填空）．
（2）若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据上题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 当花瓣是偶数个，则即是中心对称图形也是轴对称图形，若花瓣是奇数个，则是轴对称图形 ．
①九瓣图形是 是轴对称图形 ；
②十二瓣图形是 既是轴对称图形也是中心对称图形 ；
③十五瓣图形是 是轴对称图形 ；
④二十六瓣图形是 既是轴对称图形也是中心对称图形 ．
轴对称图形．菁优网版权所有
规律型．
（1）根据轴对称图形和中心对称图形的性质可知三个图形中轴对称的为A，B，C，D，E．是中心对称的为A，C，E；
（2）利用轴对称图形和中心对称图形的性质得出规律即可；
（3）利用
（2）中规律直接判断得出即可．
（1）以上5个图形中是轴对称图形的有A，B，C，D，E，是中心对称图形有A，C，E．
故答案为：
A，B，C，D，E；
A，C，E；
（2）若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据上题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．当花瓣是偶数个，则即是中心对称图形也是轴对称图形，若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
当花瓣是偶数个，则即是中心对称图形也是轴对称图形，若花瓣是奇数个，则是轴对称图形；
①九瓣图形是轴对称图形；
②十二瓣图形是轴对称图形也是中心对称图形；
③十五瓣图形是轴对称图形；
④二十六瓣图形是轴对称图形也是中心对称图形．
①轴对称图形；
②轴对称图形也是中心对称图形；
③轴对称图形；
④轴对称图形也是中心对称图形．
本题主要考查了中心对称和轴对称的关键，做这些题时，掌握他们的性质是关键．所以学生对一些定义，性质类的知识一定要牢记．
（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标 （0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0） ；
①如果顺次连接
（1）中的所有点，你知道得到的图形是 轴对称 图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）；
②指出
（1）中关于点P成中心对称的点 （0，0）点和（4，2）点；
（0，2）点和（4，0）点 ．
压轴题；
数形结合．
（1）马走日，就是说在平面直角坐标系中要走到与P相邻正方形的对角位置，
（2）连线可以看出是轴对称图形．
（1）根据分析可得，下一步“马”可能到达的点的坐标：
（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）；
（2）连线可以看出得的图形为轴对称；
根据中心对称的定义可得，
（1）中关于点P成中心对称的点为：
（0，0）点和（4，2）点；
（0，2）点和（4，0）点．
本题主要考查轴对称的性质和坐标确定位置等知识点，不是很难，做题要细心．
思路1：
先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可；
思路2：
先将图形补充成一个大矩形，分别找出图中两个矩形各自的对称中心，过两个对称中心做直线即可．
如图所示，有三种思路：
本题需利用矩形的中心对称性解决问题．
全等三角形的判定与性质；
平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴BO=DO，
∵点E、F关于点O中心对称，
∴OF=OE，
在△BOF和△DOE中，，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF=DE．
本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形，然后证明得到BO=DO是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．
（1）根据中心对称的定义和性质，找直角△ABC两条边的中点作图是解题的关键；
（2）根据中心对称的定义和性质，找直角△ABC一条边的中点，另一条边非中点作图是解题的关键．
（说明：
两图各（2分）；
图中没有标记点中点，累计扣（1分），未利用中心对称扣1分．）
参考图：
中心对称的定义：
把一个图形绕着某个点旋转180°
，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称点．
中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（6，4） ；
待定系数法求一次函数解析式；
矩形的性质．菁优网版权所有
（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；
（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线比过中心作出直线m即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线m的解析式为y=﹣x+6．
本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．
等腰三角形
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