特殊平行四边形知识归纳和题型精讲Word文档下载推荐.doc

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互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·

有三个角是直角;

是平行四边形且有一个角是直角;

是平行四边形且两条对角线相等.

四边相等的四边形；

是平行四边形且有一组邻边相等；

是平行四边形且两条对角线互相垂直。

是矩形，且有一组邻边相等；

是菱形，且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

一.矩形

矩形定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:

（具有平行四边形的一切特征）

性质1:

矩形的四个角都是直角．性质2:

矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．方法1：

对角钱相等的平行四边形是矩形．方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．方法3：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．方法4：

对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

例4、如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：

AB=CF；

（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

二．菱形

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

方法1:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．方法2:

四边都相等的四边形是菱形．

例1 

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

求证：

∠AFD=∠CBE．

例2已知：

如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：

四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

AM=BE。

例5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°

=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段的长．

例6、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？

并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

正方形的判定方法：

1）有一个角是直角的菱形是正方形；

2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

例1已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

OE=OF．

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

①PE=PD；

②PE⊥PD；

（2）设AP=x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

A

B

C

P

D

E

例4：

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．

梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°

，AD＝5，求CD的长．

课后训练

1、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是____厘米.

2、菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是，对角线的长是．

3、已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是cm；

4、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．

5、已知：

如图，菱形ABCD的对角线交于O点，菱形的周长为40cm,BD=0.75AC,求菱形ABCD的面积。

6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：

四边形AEFG为菱形．

7、如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，双向延长AD，使DE=DA=AF．求证：

BE⊥CF

8、如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，

（1）若∠EAF=45°

，求证：

EF=BE＋DF

（2）若△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半，求证：

∠EAF=45°

。

9、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于；

②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．

（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理？

若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．