九年级数学教学案Word下载.docx

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求证：

AO=CO，BO=DO

思考与表达

怎样想怎样写

要证AO=CO，BO=DO

只需证△AOB≌△COD

只需证AB=CD

只需证△ABC≌△CDA

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：

平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

例1：

已知：

如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。

BE=DF

分析：

可根据证明△ABE≌△CDF得到结论。

若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=

AD，CF=

BC”，是否还能得到同样的结论？

练习：

P15

（2）

例2、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。

例3如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交于AD点E．

（1）△CDE∽△FAE

（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：

∠F=∠BCF

证明:

（1）∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD，

∴∠D=∠EAF

∵∠DEC=∠AEF，

∴△CDE∽△FAE

（2）∵△CDE∽△FAE

∴

∵E是AD的中点

∴AF=DC

∵AD=BC,BC=2CD

∴AD=2AF

∴AE=AF

∴∠F=∠AEF

∵AD∥CB，

∴∠AEF=∠BCF

∴∠F=∠BCF

说明平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便.

1、已知：

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠C＝1200，

求BC边上的高AH的长；

求平行四边形ABCD的面积

2、如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）

A．6B．8C．9D．10

三、分层训练

1．□ABCD的周长为50cm，且AB:

BC=3:

2，则AB=______cm，BC=______cm.；

2．已知□ABCD中，AB=8，BC=10，∠B=45°

□ABCD的面积为_________.

3.在

中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是（）

A.5B.10C.15D.20

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，

若∠DAB＝120°

，∠CFE＝135°

，AB＝1，则AC的长为（）

（A）1　　　　　（B）1.2　　　　（C）

　　　　　（D）1.5

5.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交

于点O，边AB可以看成由_____________平移得来的，△ABC可以看成由__________绕点O旋转______________得来；

6.平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O，已知AB=8，BC=6，△AOB的周长为18，求△AOD的周长。

7.已知：

如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.

BE=DF.

四、小结

引导学生自我归纳总结

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

五、课堂检测

六、教后感

总课时第6课时

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定

（2）课型：

教学目标：

1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生的逻辑推理能力。

2.能将矩形的判定定理和性质定理综合应用,激发学生的探索精神

教学重点：

矩形的本质属性

教学难点：

矩形性质定理的综合应用

教学过程：

知识回顾：

1、__________________________________________________叫矩形，（八上P117）由此可见矩形是特殊的____________________________因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质

①______________________②____________________③____________________这三个性质。

2、证明：

矩形的四个角都是直角

如图：

已知__________________________________________________________

__________________________________

图形：

画在下面方框内

2、证明：

矩形对角线相等

已知_____________________________________________________________

新授内容

观察能力训练

如图矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些？

准备说说看。

将目光锁定在Rt△ABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？

现在我们借助于矩形来证明

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

”（如何证明？

）

例1图

例1、已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

且AC=2AB.求证：

△AOB是等边三角形

利用矩形的性质：

矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”即可证得。

本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°

”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？

P16页1、2

例2、如图在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在边BC上，

1如果FE⊥AE，求证FE=AE。

②如果FE=AE你能证明FE⊥AE吗？

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°

，AB＝4cm，求矩形对角线的长？

2、如图BD，CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，求证ME=MD

四、分层训练

1.已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度数。

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

3.如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．

（A）98（B）196（C）280（D）284

（1）

（2）（3）

4.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．

5.如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．

6.已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．

（1）求证：

△ADE≌△BCF；

（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．

7.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．

8.阅读下列过程:

如图①，小肖过AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成甲、乙两部分．

如图②，小徐过A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成丙、丁两部分．

回答下列问题：

（1）填空：

S甲_____S乙，S丙_____S丁（填“〉”或“〈”或“＝”）；

（2）根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？

请在图③中任意给出一种；

（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？

．9.如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°

（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．

10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3

，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°

．

（1）求BE、QF的长．

（2）求四边形PEFH的面积．

五、小结

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；

反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。

六、思考△.如图①所示，Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6．

（1）动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x．

①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？

写出你的理由．

（2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有多少个？

（直接写出结果，不要求说明理由）

总课时第7课时

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）课型：

教学目标

1、会归纳菱形的特性并进行证明

2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性

教学重、难点

菱形的性质定理证明

性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化

一、

情境创设

1．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形?

（同桌互相帮助。

2．探索。

请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。

（从边、对角线入手。

（1）边：

都相等；

（2）对角线：

互相垂直。

（学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

问题：

你怎样发现的?

又是怎样验证的?

（可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。

3．概括。

菱形特征1：

菱形的四条边都相等。

菱形特征2：

菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

引导学生剖析矩形与菱形的区别。

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；

菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。

4．请你折—折，观察并填空。

（引导学生归纳。

（1）菱形是不是中心对称图形?

对称中心是_______。

（2）是不是轴对称图形?

对称轴有几条?

_______。

问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？

（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）

问题二证明：

菱形的4条边都相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；

第二条定理可利用“三线合一”证得。

问题三已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？

（可得到边长为5；

面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？

如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？

由此可得：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

例1、如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

练习P181、2

例2、已知：

如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点，DF交AC于点E。

求证：

∠AGD=∠CBE

1、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，

如果EF=2，那么ABCD的周长是（D）

A．4B．8

C．12D．16

2、如图，已知菱形的两条对角线长为

，

，你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？

画图说明

（拼出一种图形即可）；

在此过程中，你能发现菱形的面

积与

的关系吗？

　　　　　　　　　　　　拼法

（1）　　　　　　　　　拼法

（2）　

或

结论：

菱形的面积等于两对角线乘积的一半．

3、己知：

如图，菱形ABCD中，∠B=600，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为.

1．已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_____cm．

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．

3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．

4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：

BD=4：

3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．

5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°

，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____，∠DAB的度数为______；

对角线BD=_______，AC=_______；

菱形ABCD的面积为_______．

6．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

7．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积．

菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。

六、作业

七、教后感

总课时第8课时

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）课型：

1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力

有条理地、清晰地阐述自己的观点

一、情境创设

这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。

一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。

大姐想出了一个好办法：

“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。

”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

探索正方形的性质

（1）边的性质：

；

（2）角的性质：

（3）对角线的性质：

（4）对称性：

。

例1、已知：

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；

正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：

F是CD的中点

（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？

（1）方法一∵OB=OC,E是BC的中点

∴OE⊥BC,∠OEC=90°

∵∠EA’F=∠ECF=90°

∴∠OFC=90°

∵OC=OD

∴F是CD的中点

方法二∵∠EA’F=90°

AC⊥BD

∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°

∴∠EOC=∠DOF

又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°

∴△OCE≌△ODF（ASA）

∴DF=CE=

BC=

CD,即F是CD的中点。

（2）证明方法同前方法二。

由

（1）、

（2）可以得到什么结论？

（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

练习

如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A．

cm2B．

cm2

C．

cm2D．

cm2

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.

AF﹦BC+FC.

例3、求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：

BE＝GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？

请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？

其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°

到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

B．

C．1-

D．1-

2、已知：

如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？

若能求出，它的周长是多少？

若不能求出，请说明理由．

1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°

AF交对角线BD于E,交CD于F,则∠BEC=度.

3、如图：

正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=。

可以用一句话概括：

正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于

D

N

A

4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:

（1）∠E=22.50.

（2）∠AFC=112.50.（3）∠ACE=1350（4）AC=CE（5）AD∶CE=1∶

.其中正确的有（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个

5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

6、（2006·

济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°

角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是cm

；

若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？

．

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。

（请填写它们之间的关系）

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对

（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

六、教后感

总课时第9课时

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）课型：

1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法

2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明

3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程

平行四边形判定定理的证明，反证法

用反证法证明

回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：

条件

结论

四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O

四边形ABCD是平行四边形

问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？

证明：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见