相似三角形基础训练Word格式文档下载.doc
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（C）各有一个角是45°
（D）邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似
7．如图，□ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是……………（ ）
（A）△ABE∽△DGE （B）△CGB∽△DGE
（C）△BCF∽△EAF （D）△ACD∽△GCF
8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为………（ ）
（A）1 （B） （C）2 （D）
9．如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件
（1）∠ACD＝∠B，
（2）AC2＝AD·
AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B＝∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是……………（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，CD⊥AB于D，且AD︰BD＝9︰4，则AC︰BC的值为………（ ）
（A）9︰4 （B）9︰2 （C）3︰4 （D）3︰2
11．如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC的周长为l，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为…………………………（ ）
（A）l （B）3l （C）2l （D）l
12．如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于……………………………（ ）
（A）1︰2︰3︰4 （B）2︰3︰4︰5 （C）1︰3︰5︰7 （D）3︰5︰7︰9
【提示】＝（）2，＝（）2．【答案】C．
【点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方（即对应边上的高的比的平方）．
（二）填空题：
（每题2分，共20分）
13．如果x︰y︰z＝1︰3︰5，那么＝___________．
14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）．
15．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，＝2，则AB＝___________．
16．如图，已知DE∥BC，且BF∥EF＝4︰3，则AC︰AE＝__________．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°
，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______．
18．如图，在矩形ABCD中，E是BC中点，且DE⊥AC，则CD︰AD＝__________．
【提示】Rt△CDE∽Rt△DCA，并设AD为a，用a表示出EC和CD的长，或．
【答案】．
【点评】本题要求运用直角三角形的判定定理．
19．如图∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝__________．
【提示】由△ABC∽△CBD，得BC2＝BD·
AB．
【答案】2．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质．
20．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，
DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝__________cm．
【提示】∠EAD＝∠FAD＝∠ADE，
∴ ED＝AE＝AC＋CE．
再利用△ABC∽△EDC．
【答案】48．
【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质．
21．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么
△MON∽△AOC面积的比是____________．
【提示】利用三角形中位线定理．
【答案】1︰4．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．
22．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是_____________．
【提示】△BGC∽△FGA，推出FG＝BG，得连结FC．S△BCF＝S正方形，再列出
S△CDF与S正方形的关系式．或由△BGC∽△FGA得，所以
S△AFG＝S△BCG＝S△AGB，又 S△ACD＝S△ACB，从而得出S四边形CGFD＝5S△AFG，
S△BCG＝4S△AFG．
【答案】4︰5．
【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质．
（三）计算题（每题6分，共24分）
23．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．
【提示】先求出FC．
【答案】∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∴ FC＝DE＝5cm．
∵ DF∥AC，
∴ ＝．
即 ＝，
∴ BF＝10（cm）．
【点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．
24．如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD与CE相交于F，求＋的值．
【提示】作EG∥BC交AD于G．
【答案】作EG∥BC交AD于G，则由＝，即＝，得
EG＝BD＝CD，
∴ ＝＝．
作DH∥BC交CE于H，则DH＝BE＝AE．
∴ ＝＝1，
∴ ＋＝＋1＝．
【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．
25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
【提示】
（1）考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系．
（2）利用相似三角形的性质“对应角相等”．
【答案】∵ ∠ACP＝∠PDB＝120°
，
当＝，即＝，也就是CD2＝AC·
DB时，△ACP∽△PDB．
∴ ∠A＝∠DPB．
∴ ∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB
＝∠APC＋∠A＋∠CPD
＝∠PCD＋∠CPD
＝120°
．
【点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．
26．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．
【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S△ABC．
【答案】∵ 矩形PQMN，
∴ PN∥QM，PN＝QM．∵ AD⊥BC，
∴ AE⊥PN．∵ △APN∽△ABC，
设ED＝x，又 矩形周长为24，则
PN＝12－x，AD＝16＋x．
∴ ＝．即 x2＋4x－32＝0．解得 x＝4．
∴ AD＝AE＋ED＝20．∴ S△ABC＝BC·
AD＝100．
【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比．
（四）证明题：
（每题6分，共24分）
27．已知：
如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：
△ADQ∽△QCP．
【提示】先证＝．
【答案】在正方形ABCD中，
∵ Q是CD的中点，∴ ＝2．
∵ ＝3，∴ ＝4．
又 BC＝2DQ，∴ ＝2．
在△ADQ和△QCP中，＝，∠C＝∠D＝90°
∴ △ADQ∽△QCP．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理．
28．已知：
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：
BP2＝PE·
PF．
【提示】先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF．
【答案】连结PC．
∵ AB＝AC，AD是中线，∴ AD是△ABC的对称轴．
∴ PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵ CF∥AB，
∴ ∠PFC＝∠ABP．∴ ∠PCE＝∠PFC．
又 ∠CPE＝∠EPC，∴ △EPG∽△CPF．
∴ ＝．即 PC2＝PE·
PF．∴ BP2＝PE·
【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．
【提示】先证△ABD∽△ACE，再证△ADE∽△ABC．
【答案】∵ ∠ADB＝∠AEC＝90°
，∠A＝∠A，
∴ △ABD∽△ACE．∴ ＝．
又 ∠A＝∠A，∴ △ADE∽△ABC．∴ ∠AED＝∠ACB．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．
30．已知：
如图，在△ABC中，∠C＝90°
，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．
求证：
FG＝FC．
【提示】证明＝．
【答案】∵ FG∥BE，∴ ＝．∵ FC∥ED，∴ ＝．
∴ ＝．又 EB＝ED，∴ FG＝FC．
（五）解答题（8分）
31．
（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：
如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交
OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：
点G是线段BC的一个三等分点．
证明：
在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵ ＝，∴ ＝＝．∴ ＝．
……
（2）请你仿照
（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
【提示】先证FG∥DC，再证＝或＝．
【答案】
（1）补全证明过程，方法一：
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
∵ AB＝DC，
又 FG∥AB，
方法二：
∵ E是BC的中点，
∴ ＝＝＝．
∴ 点G是BC的一个三等分点．
（2）如图，中点I．
9
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