西城区初三二模数学试题及答案word版Word文件下载.doc
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10．若把代数式化为的形式，其中，为常数，则=．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°
，点D，E分别是AB，
AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°
，
则∠FAE的度数为°
．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，
点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°
．⊙P1是△OAB
的内切圆，且P1的坐标为（3,1）．
（1）OA的长为，OB的长为；
（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为．（用含n的式子表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：
．
14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，
∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．
求证：
AD=BE．
15．已知，求代数式的值．
16．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为负整数时，求方程的两个根．
17．列方程（组）解应用题：
水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：
一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有人；
（2）在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；
（3）统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴交于点A（,0），
与轴交于点B，且与正比例函数的图象的交点为C（,4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的
等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．
20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°
，∠BCD=90°
，AB=BC=2，
tan∠BDC=．
（1）求BD的长；
（2）求AD的长．
21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，
⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，
过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：
DE⊥AC；
（2）连结OC交DE于点F，若，求的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点经过变换得到点，该变换记作，其中为常数．例如，当，且时，．
（1）当，且时，=；
（2）若，则=，=；
（3）设点是直线上的任意一点，点经过变换得到点．若点与点重合，求和的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数的图象上，
其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且AC=1．
（1）若=2，则AO的长为，△BOD的面积为；
（2）如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；
（3）如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．
图2
图1
24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
（1）如图1，当∠BAC=60°
时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
（2）如图2，当∠BAC=120°
时，求证：
AF=EH；
备用图
（3）当∠BAC=36°
时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，
直接写出GM的长．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．
（1）当时，求抛物线的解析式和AB的长；
（2）当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
（3）过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．
北京市西城区2013年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准2013.6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
9
10
11
12
2n+3
阅卷说明：
第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.
13．解：
原式=………………………………………………4分
=．………………………………………………5分
14．证明：
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC.…………………………1分
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，
即∠ACD=∠BCE.…………………2分
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE.………………………………………………4分
∴AD=BE.………………………………………………5分
15．解：
……………………………………………2分
.……………………………………………………3分
∵，即，……………………………………………4分
∴原式.………………………………5分
16．解：
（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴.….….…..…..…………..……………………1分
∴.…..….….…..…………..……………………2分
（2）∵为负整数，
∴..….……..…..…………..……………………3分
_
此时方程为..…….…..…………………4分
解得x1=3，x2=4..…….…..…………………5分
17．解：
设租用4座游船条，租用6座游船条..….…..…..……………………1分
依题意得….………..……………………3分
解得..…………..……………………4分
答：
该公司租用4座游船5条，6座游船3条..….….…..…..…………………5分
18．解：
（1）80；
……………………………………………………………………1分
（2）54；
……………………………………………………………………3分
（3）．……………………………………………………………………5分
19．解：
（1）∵点C（,4）在直线上，
∴，解得.………………1分
∵点A（,0）与C（3,4）在直线上，
∴………………2分
解得
∴一次函数的解析式为.………………………………………3分
（2）点D的坐标为（,）或（,）.………………………………………5分
两个点的坐标各1分.
20．解：
（1）在Rt△BCD中，∠BCD=90°
，BC=2，tan∠BDC=，
∴.
∴CD=.……………………………………1分
∴由勾股定理得BD==.………2分
（2）如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E.
∵∠BAD=135°
∴∠EAD=∠ADE=45°
.
∴AE=ED.…………………………………………………………………3分
设AE=ED=x，则AD=x.
∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+（x+2）2=（）2.…………………………………………………4分
解得x1=3（舍），x2=1.
∴AD=x=.…………………………………………………………5分
21．
（1）证明：
连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°
.……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点，.
∴OD∥AC.
∴∠DEC=∠ODE=90°
.
∴DE⊥AC.………………………………………………………………2分
（2）连接AD.
∵OD∥AC，
∴.……………………………………………………………………3分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC==，
故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.…………………………………………4分
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED.
∴.
∴.…………………………………………………………………5分
22．解：
（1）=；
………………………………………1分
（2）=，=；
………………………………………3分
（3）∵点经过变换得到的对应点与点重合，
∵点在直线上，
∴………………………………………4分
即
∵为任意的实数，
∴解得
∴，.………………………………………5分
23．解：
（1）AO的长为，△BOD的面积为1；
…………………………2分
（2）∵A，B两点在函数的图象上，
∴点A，B的坐标分别为，.…………………3分
∵AO=AB，
由勾股定理得，，
∴.
解得或.……………………………………………4分
∵，
∴.…………………5分
（3）∵OC=4，
∴点A的坐标为.
∴.
设点B的坐标为，
∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且，
点M的纵坐标为，点N的横坐标为.
∵点M，N在函数的图象上，
∴点M的坐标为，点N的坐标为.
∴，…………………………6分
其中.
∵，而，
∴当时，的最大值为1.……………………………………7分
24．解：
（1）补全图形见图1，………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM；
………2分
（2）连接MF（如图2）.
∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，
且∠BAC=120°
∴∠1=∠2=60°
，∠3=∠4.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC.
∵NG⊥EC，
∴∠MDC=∠NGM=90°
∴∠4+∠6=90°
，∠5+∠6=90°
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∵NA=NC，∠2=60°
∴△ANC是等边三角形.
∴AN=AC.
在△AFN和△AMC中，
∴△AFN≌△AMC.……………………………………………3分
∴AF=AM.
∴△AMF是等边三角形.
∴AF=FM，∠7=60°
∴∠7=∠1.
∴FM∥AE.
∵FH∥CE，
∴四边形FHEM是平行四边形.………………………………………4分
∴EH=FM.
∴AF=EH.……………………………………………5分
（3）GM的长为.……………………………………………7分
25．解：
（1）∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，
∴点A的坐标为.
∴抛物线的解析式为.……………………………1分
∵点B在直线上，
∴设点B的坐标为.
∵点B在抛物线:
上，
解得或.
∵点A与点B不重合，
∴点B的坐标为.……………………………2分
∴由勾股定理得AB=.……………………3分
（2）点A的坐标为.……………………………4分
（3）①方法一：
设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为，.
∴OP=OQ=2.
∴∠OPQ=45°
∵AC⊥轴，
∴AC∥轴.
∴∠EAB=∠OPQ=45°
∵∠DEA=∠AEB=90°
，AB=，
∴EA=EB=1.
∵点A在直线上，且点A的横坐标为，
∴点B的坐标为.
∵AC∥轴，
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上，
∴点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵BD⊥AC，
∴点D的横坐标为.
∵点D在直线上，
∴点D的坐标为.……………………………………………5分
∵点D在抛物线：
解得或.
∵当时，点C与点D重合，
∴.……………………………………………6分
方法二：
设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）
则∠ANB=90°
，∠ABN=∠OPB.
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.
∵在抛物线随顶点A平移的过程中，
AB的长度不变，∠ABN的大小不变，
∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标
的差以及纵坐标的差都保持不变.
同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.
由
（1）知当点A的坐标为时，点B的坐标为，
∴当点A的坐标为时，点B的坐标为.
∴点C的纵坐标为.
∴点C的坐标为.
令，则点C的坐标为.
∴设点D的坐标为.
∵点C与点D不重合，
∴点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.……5分
②的取值范围是或.…………………………………8分
说明：
设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.
初三二模数学试卷第14页（共6页）
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