中考数学专题训练--函数综合题文档格式.doc

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图7

7．在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点，经过点A、的抛物线与轴的交点的纵坐标为2．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标

为，且，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标。

8．在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P。

（1）求二次函数的解析式及点P的坐标；

（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）过点A作轴的平行线交抛物线于另一点C，

3

4

5

6

7

-1·

-2·

-3·

-4·

图8

①求△ABC的面积；

②在轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．

10．在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．

（1）求△ABC面积；

（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

11．如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B（6，m）与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；

（3）设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．问：

在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，O

请说明理由．

12．二次函数图像过A（2，1）B（0，1）和C（1，-1）三点。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后，原二次函数图像上的A、B两点相应平移到A1、B1处，求∠BB1A1的余弦值。

13．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点A作CA⊥AB，CA＝,并且作CD⊥轴.

（1）求证:

△ADC∽△BOA

（2）若抛物线经过B、C两点.

①求抛物线的解析式；

②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°

，请直接写出点M的坐标.

14．如图，已知二次函数y=ax2-2ax+3（a<

0）的图像与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图像经过点A、点B．

（2）求顶点P的坐标；

AB

P

（第15题图）

（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=，求点M的坐标．

15．如图16，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°

，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP，D点是线段AB上一点，连结PD.

（图16）

（1）求点B的坐标；

（2）当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.

16.如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点.

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：

（其中是原点）；

（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：

是否存在这样的点，使？

若存在，请求出点的坐标；

若不存在，请说明理由.

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点逆时针旋转后得到矩形，且点落在轴上的点，点的对应点为点，点的对应点为点.

（1）求、、三点的坐标；

（2）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；

E

F

（3）在轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形的面积等于矩形的面积？

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）.

将△AOC绕AC的中点旋转180°

，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点.

（1）求证：

四边形ABCO是平行四边形；

（2）求a的值并说明点B在抛物线上；

（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；

（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标.

14/14

19．已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标，C的坐标，直线与边BC相交于点D，

（1）求点D的坐标；

（2）抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由。

20．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．二次函数的图象经过点B和点C（-1，0），顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；

（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且AD∥BP，求PD的长；

参考答案

1、解：

（1）由点在反比例函数图像上，则，—（1分）

又点与在一次函数图像上，则，—（2分）解得.（1分）

∴一次函数解析式为.——（1分）

（2）由,———（2分）消元得,—（1分）

解得（舍去）,——（1分）∴点的坐标是.——（1分）

2．解：

（1）∵一次函数y=（1-2x）m+x+3即y=（1-2m）x+m+3图像不经过第四象限

且函数值y随自变量x的减小而减小∴1-2m>

0，m+3≥0,（2分）

∴………（2分）

根据题意，得：

函数图像与y轴的交点为（0，m+3），与x轴的交点为…（1分）

则………（1分）解得m=0或m=-24（舍）…（1分）

第3题

∴一次函数解析式为：

y=x+3……（1分）

3．解：

（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．……1′

∵点A的坐标为（2，2），∴点E的坐标为（2，0）．…1′

∵AB=AC，BC=8，∴BE=CE，………1′点B的坐标为（-2，0），……1′

点C的坐标为（6，0）．…1′

设直线AC的解析式为：

（），将点A、C的坐标代入解析式，

得到：

．…1′∴点D的坐标为（0，3）．……1′

（3）设二次函数解析式为：

（），

∵图象经过B、D、A三点，∴…2′解得：

……1′

∴此二次函数解析式为：

……1′顶点坐标为（，）．…………1′

（图八）

4．解：

（1），∴OB=OC=3,∴B（3,0）………（2分）

将B（3,0）代入，∴……（1分）

∴；

∴…（1分）∴D（1,4），A（-1,0）…（2分）

将D（1,4）代入，∴，……………（2分）

（2）…………………（4分）

5．解：

（1）过点A作AH⊥x轴，过点B作BM⊥y轴，

由题意得OA=OB,∠AOH=∠BOM,∴△AOH≌△BOM-------------1分

∵A的坐标是（-3，1），∴AH=BM=1,OH=OM=3∴B点坐标为（1，3）---------2分

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

则--------3分得∴抛物线的解析式为-----2分

第23题

（3）对称轴为-------1分∴C的坐标为（）--------1分

∴--------------2分

6．解：

（1）∵点C（1，5）在直线上，

∴，∴，…1′∴.…1′

∵点A（a，0）在直线上，∴.…1′∴.………1′

（2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9，设点D（9，y），………1′

∴.∴点D（9，）.……1′代入，可解得：

，………1′

.………1′可得：

点A（10，0），点B（0，）.………2′

∴=…1′

====.……1′

7．解：

（1）设抛物线的解析式为

点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点（3，a）…………（1分）

∵抛物线与轴的交点的纵坐标为2∴…………（1分）

∵图像经过点A（－1，a）、（3，a）∴…（1分）解得……（2分）

∴…………………（1分）

（2）由=得P（1，3）……………（1分）

∵△ABP是等腰三角形,点B的坐标为,且

（Ⅰ）当AP=PB时，，即…（1分）∴……（1分）

（Ⅱ）当AP=AB时

解得……（1分）不合题意舍去，∴………（1分）

（Ⅲ）当PB=AB时解得………（1分）

综上：

当或-5或时，△ABP是等腰三角形.

8．解：

（1）由题意，得 （2分）解得， （1分）

∴二次函数的解析式是 （1分）

，∴点P的坐标是（1，4） （2分）

（2）P（1，4），A（-1，0）∴=20．（1分）设点Q的坐标是（x，0）∠PAQ=90°

不合题意

则， （1分）

当∠AQP=90°

时，，，解得，（舍去）

∴点Q的坐标是（1，0） （2分）

当∠APQ=90°

时，，，解得，

∴点Q的坐标是（9，0） （2分）

综上所述，所求点的坐标是（1，0）或（9，0）．

9．解：

（1）将，，代入，解得，．…………2分

∴抛物线的解析式为．………1分∴顶点坐标为．……1分

（2）①由对称性得．……1分∴．…1分

②将直线AC与轴交点记作D，∵，∠CDB为公共角，

∴△ABD∽△BCD．∴∠ABD=∠BCD．………1分

1°

当∠PAB=∠ABC时，，

∵，，

∴，∴．…………2分

2°

当∠PAB=∠BAC时，，∴，∴，∴．……2分

综上所述满足条件的点有，．…………1分

10．解：

平移后抛物线的解析式为．……2分∴A点坐标为（2，1），……1分

设直线OA解析式为，将A（2，1）代入得，直线OA解析式为，

将代入得，∴C点坐标为（3，）．…………1分

将代入得，∴B点坐标为（3，3）．…1分∴…2分

（2）∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC

当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，

∴四边形PACB是平行四边形，∴．…1分∴．…1分

当∠APB=∠BAC时，，∴．

又∵，∴…1分∴…1分

综上所述满足条件的点有，．…………1分

11．解：

（1）由直线OA与反比例函数的图像交于点A（3，3），得直线OA为：

，

双曲线为：

，点B（6，m）代入得，点B（6，），……（1分）

设直线BC的解析式为，由直线BC经过点B，将，代入

得…（1分）所以，直线BC的解析式为…（1分）

（2）由直线得点C（0，），设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为

将A、B两点的坐标代入，得…（1分）解得（1分）

所以，抛物线的解析式为………（1分）

（3）存在把配方得，所以得点D（4，），

对称轴为直线…（1分）得对称轴与轴交点的坐标为E（4，0）.………（1分）

由BD=，BC=，CD=,得，所以，∠DBC=……（1分）

又∠PEO=，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：

①即得，有（4，），（4，）

②即得，有（4，12），（4，）.…（3分）

所以，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，）.

12．

（1）设y=ax2+bx+c…1’，代入A、B、C坐标得解得

得…1’

（2）BB1=…1’cos∠BB1A1=…3’

13．

（1）∵CD⊥AB∴∠BAC＝90°

∴∠BAO＋∠CAD＝90°

………（1分）

∵CD⊥x轴∴∠CDA＝90°

∴∠C＋∠CAD＝90°

……（1分）∴∠C＝∠BAO……（1分）

又∵∠CDO＝∠AOB＝90°

∴△ADC∽△BOA…………（1分）

（2）①由题意得，A（－8，0），B（0，4）…（1分）∴OA＝8，OB＝4，AB＝……（1分）

∵△ADC∽△BOA，CA＝∴AD＝2，CD＝4∴C（－10，4）……（1分）

将B（0，4），C（－10，4）代入

∴∴………（1分）

③M（0，），M（0，）M（,0），M（,0）……（4分）

14．解：

（1）y=ax2-2ax+3，当时,∴………（1分）∴，

又OB=3OA，∴∴………（2分）

设直线AB的解析式，解得，

∴直线AB的解析式为．………（1分）

（2），∴，∴∴…（2分）

∴抛物线顶点P的坐标为（1，4）．…………（1分）

（3）设平移后的直线解析式点P在此直线上，∴，

∴平移后的直线解析式…………（1分）

设点M的坐标为，作ME轴-

若点M在轴上方时，，

在Rt△AME中，由，∴……（1分）∴……（1分）

若点M在轴下方时，，

在Rt△AME中，由，∴∴……（1分）

综上所述：

M的坐标是或……（1分）

15．解：

（1）作BQ⊥x轴于Q.∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAQ=∠COA=60°

在Rt△BQA中，BA=4，BQ=AB·

sin∠BAO=4×

sin60°

=…（1分）

AQ=AB·

cos∠BAO=4×

cos60°

=2，……（1分）∴OQ=OA－AQ=7－2=5

点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，）……（1分）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP

而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°

∴∠OCP=∠APD……（1分）

∵∠COP=∠PAD……（1分）∴△OCP∽△APD……（1分）∴，

∴OP·

AP=OC·

AD……（1分）∵∴BD=AB=，AD=AB－BD=4－=

∵AP=OA－OP=7－OP∴OP（7－OP）=4×

…（1分）解得OP=1或6

∴点P坐标为（1，0）或（6，0）…………（2分）

16、解：

（1）∵点与在二次函数图像上，∴，解得，

∴二次函数解析式为.————（2+1+1分）

（2）过作轴于点，由

（1）得，———（1分）

则在中，，

又在中，，———（1分）

∵，—（1分）∴.———（1分）

（3）由与，可得直线的解析式为，—（1分）

设，则，

∴.∴.——（1分）

当，解得（舍去），∴.———（1分）

当，解得（舍去），∴.———（1分）

综上所述，存在满足条件的点，它们是与.

17．解：

（1）联结,矩形---------------（1分）

矩形绕点逆时针旋转后得到矩形,落在轴上的点

----------------（1分）

过D点作DH⊥X轴于H，，∽

----------------（1分）

同理求得-------------（1分）

（2）因为抛物线经过点、、

求得：

--（3分）所求抛物线为：

-（1分）

（3）因为在轴上方的抛物线上有点Q，使得三角形的面积等于矩形的面积

设三角形的OB边上的高为，则，所以--------------（1分）

因为点Q在轴上方的抛物线上,------（1分）

所以Q的坐标是或------------------（2分）

18．

（1）证明：

∵△AOC绕AC的中点旋转180°

，点O落到点B的位置，

∴△ACO≌△CAB.………1′∴AO=CB，CO=AB，……1′

∴四边形ABCO是平行四边形.…………1′

（2）解：

∵抛物线经过点A，点A的坐标为（2，0），……1′

∴，解得：

.…1′∴.

∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥CB.

∵点C的坐标为（1，），…………1′∴点B的坐标为（3，3）.………1′

把代入此函数解析式，得：

.

∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上.…1′∴顶点D的坐标为（1，-）.…1′

（3）联接BO，B

第25题

过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.

tan∠BOE=，tan∠DAF=，∴tan∠BOE=tan∠DAF.∴∠BOE=∠DAF.…1′

∵∠APD=∠OAB，∴△APD∽△OAB.……1′

设点P的坐标为（x，0），∴，∴，解得：

………1′

∴点P的坐标为（，0）.

（4），，………2′19．解：

（1）D在BC上，BC∥轴，C∴设D（，-2）---------（1分）

D在直线上∴------（2分）∴D（3，-2）-----（1分）

（2）抛物线经过点A、D、O

∴解得：

------（3分）所求的二次函数解析式为----（1分）

（3）假设存在点，使、、、为顶点的四边形是梯形

①若以OA为底，BC∥轴，抛物线是轴对称图形∴点的坐标为（）--------（1分）

②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M

直线OD为∴直线AM为∴

解得：

（舍去）∴点的坐标为（）----------（2分）

③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M

直线AD为∴直线OM为∴

解得：

（舍去）∴点的坐标为（）-----------（1分）

∴综上所述，当点的坐标为（）、（）、（）时以、、、为顶点的四边形是梯形

20.解：

（1）因为直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．

由得，，得，所以………1分

把代入中，得

，解得……2分∴这个二次函数的解析式为……1分

，P点坐标为P………1分

（２）设二次函数图象的对称轴与直线交于E点，与x轴交于F点

把代入得，，　∴，∴………1分

∵PE//OB，OF=AF，　∴∵AD∥BP，∴，…2分