数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐docxWord文档格式.docx
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考点一倒序相加法
例题1：
等差数列求和Sn=a1∙a2•…∙an
变式1：
求证：
c：
3Cn5C2（2n1）Cn=（n1）2n
变式2：
数列求和Sin1sin2sin3Sin89
考点二错位相减法
例题2：
试化简下列和式：
Sn-12x3χ2亠■亠nχn'
（x^O）
变式1:
已知数列1,3a,5a2,,（2n-1）an4（^τj0）,求前n项和。
变式3：
求和：
Sn
考点三：
分组划归法
1++的和.
例三：
求数列1,1,1-
5,55,555,5555,∙∙∙,-（10n-1）,…；
9
变式2：
13,24,35,,n（n2）「；
数列1,（1+2）,（1+2+22）,……（1+2+22+∙∙∙+2「1）,……前n项的和是（）
A.2nB.2n—2C.2n+1—n—2D.n2n
考点四:
奇偶求合法
例四：
Sn=1-357（T）n'
（2n-1）
变式1求和：
SrI∙w•…（-1）n（（4n-3）n∙n
已知数列｛an｝中a1=2,an+0n1=1,Sh为｛an｝前n项和，求Sn
已知数列｛an｝中a1=1，a2=4，an=a∩-2+2（n≥3），Snl为｛an｝前n项和，求SI
考点五：
裂项相消法
ZtIIII
例五：
｛an｝为首项为aι,公差为d的等差数列，求Sn:
数列通项公式为an
求该数列前
n项和
3-132a?
a3a3a4a^^an
:
（2n）2
（2n-1）（2n1）
考点六：
分类讨论法
例六：
在公差为d的等差数列｛a*｝中，已知aι=10,且aι,2a?
+2,5a3成等比数列.
（1）求d,an；
⑵若d<
0,求|ai|+|a2∣+|a3∣+∙∙∙+|an|.
变式1在等差数列｛a*｝中，ai6-a仃■ai8=ag--36,其前n项和为Sn.
（1）求Sn的最小值，并求出Sn的最小值时n的值；
（2）求Trl=印+a?
]+…+an.
变式2:
设数列｛an｝满足ai-5,ani=2anWn1,已知存在常数p,q使数列
｛an+pn+q｝为等比数列•求a1+a2+…÷
an.
、1
变式3:
已知等比数列｛an｝中，a1=64,q=,设bn=log2an,求数列｛∣bn|｝的前n项和Sn.
2
答案及解析
考点一
例一：
等差数列求和
Sn=a1∙a?
：
；
…：
‘an
=a1（a1d）--[a1（n-1）d]①
把项的次序反过来，则：
Sn=an'
（an-d）[an-（n-1）d]②
①+②得：
n个
2Sn=Qan（aιa.）“印an）
=n佝an）
n（aιan）
思路分析：
由Cm=Cnld可用倒序相加法求和。
证：
令Sn=Cnl+3C11+5C：
十…÷
（2n+1）Cnn
（1）
则Sn=（2n1）C：
（2n-1）C：
5C；
3C：
Cnl⑵
n-m
n
（1）⑵有:
2Sn=（2n2）Cl（2n2）C：
（2n2）C「（2n2）Cn
■Sn-（n1）[C∏C1C2-C；
^（n1）2n等式成立
设S=Sin21sin22Sin23sin289,
又∙.∙S=Sin289sin288Sin287亠亠Sin21,
C89
∙∙∙2S-89,S=——.
考点二
例二：
Sn=12x3x2nxn'
（x=O）
解：
①若x=1,则Sn=1+2+3+∙∙∙+n=
n（n1）
②若χ≠1,则Sh=1∙2x∙3χ2•…∙nχn'
23h
XSn=X2x3x「-nx
两式相减得:
（1_x）Sn=IXX+…+χnj1_nxh
1-x
-nx
nn
S1-xnx
思路分析：
已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列a0,a,a2,…，an^1对应项
积，可用错位相减法求和。
解：
Sn=13a5a2（2n-1）anj1
aSn=a3a25a（2n-1）an2
1-2:
（^a）Sn=12a2a22a32an'
-（2n-1）an
1a-（2n1）an（2n-1）an1
两式相减得
（1_a）Sn=aa2a3…an_na
n1a（1-a
n）
-nan1,
∙Snan^-（n+1）an*+a
…Sn—
（1-a）2
SnJ
a
⑴
3n
+p+…+—
aa
a=1时，Sn
=I
_2_
a2
1
—+
1Sn
由①一②得:
（I）Sn
所以
A
a3
（1-
亠•亠n
an
n—1_+
1n）
a（an-1）
an1
-n（a1）
an（a-1）2
综上所述,
SI=
-1）-n（a-1）
a（an
n.八2
a（a-1）
a=1）
考点三
例三:
求数列1,21-,1
111+
24
+产的和.
11
•••
an=1丄1
1心
22
1-1
=（2-I）（^i）（^^）
=2n_（111…」
2心
=2n_2~rr
n个n个
I.r⅜≡-a厂I-r⅜≈-a
5
Sn=555555555（99999—999）
=5[（10-1）（102-1）（103一1）"
-h（1On-1）]
523n50n5
[1010210310n-n]（10n-1）n.
9819
τn（n2）=n2n,
2222n（n+1）（2n+7）
•••原式=（122232-n2）2（123…n）≡
6
C
考点四
当n=2k（kN+）时，
&
=S2k=（1-3）（5-7）
■-[（4k-3）-（4k-1）]
=-2k=-n
当n=2k-1（kN.）时,
S^=S>
k4=S2k-a2k=-2k-[-（4k-I）]
=2k-1
=n
综合得：
S1=（-1）n1n
当n为偶数时：
Sn=：
i1_5■9_13「..亠「.n_-：
n-4--：
n-1
当n为奇数时：
S=（1书严（9一13）七十（4n曲]+（处3）二~（-4^（4n-3）=2n_i
①当n为偶数时：
aIa2a3a4•….an」an
FIa2）伽E…乩石专V
②当n为奇数时：
S=α■（a2a3）（a4a5）（an」■an）
=2
∙an-a∣n-2=2（n≥3）
②n为偶数时:
Sn=（123…n）-2
∙∙∙aι,a3,a5,…,a2n-ι为等差数列；
a2,a4,a6,…,a2n为等差数歹U
①n为奇数时:
考点五
...1_1=1_ak∙d-ak
akak1ak（akd）da/akd）
d'
akakd八&
da?
da?
a3
+…+-（——-—）dan1an
d[（---）
a?
a?
（）]
anJan
da1
IT
a1[a1（n-1）d]
ak
（2k）（2k-1）（2k1）
（2k）-11=1.1才1（丄
（2k-1）（2k1）（2k-1）（2k1）22k-1
2k1
）"
n尹「）
2n1
2n（n1）
考点六
（1））由题意得aι∙5a3=（2a2+2）,即d-3d—4=0.
所以d=-1或d=4.
所以an=—n+11,n∈N或an=4n+6,n∈N.
n+11,则
（2）设数列｛an｝的前n项和为S.因为d<
0,由
（1）得d=—1,an=—当n≤11时，∣a1|+|a2∣+阴+∙∙∙+Ianl
1221
=—尹+尹
t丄1221
110.
当n≥12时，|a1∣+|a2∣+|a3∣+…+|an|=—Sn+2S1=^n—㊁n，
—尹+尹n≤11,综上所述，|a1∣+|a2∣+|a3∣+∙∙∙+|an|=
n—n+110,n≥12.
.22
2*1
3n211^60,n3
nd7-n
an=a1q=2
CO
OVUq甘卜AU≡Q）
Cxl
ZU-US甘旨
u—卜“Ue⅛0-HUq•••
∙∙∙Sn=1（11）（V1丄）
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