课题二次函数的概念课型新授Word文档格式.docx
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二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数．
巩固对二次函数概念的理解：
1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．
2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．
3．在y=50x2＋100x＋50中，a=50，b=100，c=50．
4．为什么二次函数定义中要求a≠0？
（若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了）
5．b和c是否可以为零？
由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
四、巩固新课
例1下列函数中哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数，指出a、b、c．
（1）y=1-3x2；
（2）y=x（x-5）；
（3）y=3x（2-x）＋3x2；
（4）y＝（x＋2）（2-x）；
（5）y=x4＋2x2＋1．（可指出y是关于x2的二次函数）
例2．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析若函数是二次函数，须满足的条件是：
．
解若函数是二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是二次函数．
回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
延伸：
已知函数是二次函数，求m的值．
例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
例4．篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m2）与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
例5．已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；
x=1时，y=2；
x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．
五、布置作业
1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y（cm2）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．
2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值．
3．已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k．
4．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；
当x=1时，y=1；
当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值
5.当k为何值时，函数为二次函数？
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质
（1）——二次函数y=ax2的图象课型新授
教学目标1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．
2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．
3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．
会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
渗透数形结合思想．
一、情境导入
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？
以什么数为中心？
当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
二、新课
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？
有何不同点？
（1）
（2）
共同点：
都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：
的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；
在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；
在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思
：
在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．
分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；
画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解
（1）由题意，得．
列表：
C2468…
14…
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
补充例题
1．已知点M（k，2）在抛物线y=x2上，
（1）求k的值．
（2）点N（k，4）在抛物线y=x2上吗？
（3）点H（-k，2）在抛物线y=x2上吗？
2．已知点A（3，a）在抛物线y=x2上，
（1）求a的值．
（2）点B（3，-a）在抛物线y=x2上吗？
三、小结
1．抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，顶点是原点．
2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上．
3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
四、作业：
1、已知函数是二次函数，求m的值．
2、已知二次函数，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值．
3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4、用一根长为40
cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？
请写出半径r的取值范围．
五、教学注意问题
1．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax2中a＞0时，y=ax2的图象开口向上；
当a＜0时，y=ax2的图象开口向下，等等．
2．注意训练学生对比联想的思维方法．
课题二次函数的图象与性质
（2）—二次函数的图象课型新授
教学目标会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
通过画图得出二次函数性质
识图能力的培养
一、情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？
，那么与的图象之间又有何关系？
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解列表．
x…-3-2-10123…
…188202818…
…20104241020…
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？
反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同
的？
又有哪些不同？
你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
谈下你有哪些收获？
四、作业
1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
2、
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质（3）二次函数的图象课型新授
我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数
平移而得呢？
画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
二、实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
…202…
…028…
…820…
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；
对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2；
顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思对于抛物线，当x时，函数值y随x的增大而减小；
当x时，函数值y随x的增大而增大；
当x
时，函数取得最值，最值y=．
探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
练习：
1．画图填空：
抛物线的开口，对称轴是，顶点是，它可以看作是由抛物线向平移
个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
三、小结与作业
1．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
2．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．
课题二次函数的图象与性质（4）—函数+k的图象课型新授
教学目标1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点和难点重点：
函数形如y=a（x－h）2＋k图象的性质。
难点：
学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
1、函数y=ax2＋k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值）
2、说出函数y=－x2，y=－x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
3、由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；
函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数
的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．
…8202…
…60-20…
它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、
、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
+k中k的值；
左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
小结：
y=a（x－h）2＋k
（1）开口方向由a决定，
（2）对称轴是直线x=h，当h<
0时，在y轴左侧，当h>
0时在y轴右侧，（3）顶点坐标为（h,k
），（4）最值:
当a>
0时，x=h时y最小值=k,当a<
0时，x=h时y最大值=k。
形如y=a（x－h）2＋k（a≠0）的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标。
三、例题讲解
例1、已知抛物线开口大小与y=x2的开口大小一样，但方向相反，且当x=－2时，y有最值4，求抛物线的解析式。
例2、抛物线y=（x－1）2+5是由一抛物线向左平移2个单位，再向下移2个单位得到的，求原抛物线的解析式。
例3、已知二次函数的图象对称轴为x=2，且图象上有两点（1，4）（2，1）求此二次函数的解析式。
例4、求抛物线y=－3（x－4）2+5的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
四、小结
函数形如y=a（x－h）2＋k图象的性质。
五、作业
a）已知二次函数图象顶点坐标为（—1，—6）并且图象过点（0，5）求函数解析式。
b）把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．
课题二次函数的图象与性质（5）—函数y＝ax2＋bx＋c的图象1课型新授
教学目标1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的性质以及它的对称轴（顶点坐标分别是x＝－、（－，）是教学的难点。
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；
1．你能说出函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
（函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，1）。
2．函数y＝－4（x－2）2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
（函数y＝－4（x－2）2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的）
3．函数y＝－4（x－2）2＋1具有哪些性质?
（当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1）
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[因为y＝－x2＋x－＝－（x－1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）]
5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、实践与探素
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
请你完成填空：
对称轴，顶点坐标
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析顶点在坐标轴上有两种可能：
（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；
（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
四、课堂练习
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．
2.已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
五、小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？
有何体会？
六、作业
1．P习题。
2．选用课时作业优化设计。
第四课时作业优化设计
1．填空：
（1）抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；
（2）抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；
（3）抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；
（4）抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；
（5）二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．
2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。
3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）y＝3x2＋2x；
（2）y＝－x2－2x
（3）y＝－2x2＋8x－8（4）y＝x2－4x＋3
4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3（m＞0）的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。
课题二次函数的图象与性质（6）—函数y＝ax2＋bx＋c的图象2课型新授
教学目标1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数
．那么，此问题可归结为：
自变量x为何值时函数y取得最大值？
你能解决吗?
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解
（1）二次函数中的二次项系数2＞0，
因此抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线有最高点，即函数有最大值．
所以当时，函数有最大值是回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，
a＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
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